конспект изучения деления. Методика изучения деления (2) (1). Деление Смысл действия деления. Табличное деление. Приемы запоминания таблицы деления. Смысл действия деления
 Скачать 60.21 Kb.
|
|
Деление в столбик Вычисления результатов деления многозначного числа на однозначное или многозначного числа на многозначное требует применения письменных приемов вычислений (письменного алгоритма деления). Этот алгоритм построен на основе правил деления суммы на число, деления числа на произведение и приемов нахождения результатов деления с остатком. Используемые математические законы и правила Правило деления суммы на число: (а + b + с) : d = а : d + b : d + с : d При делении суммы на число можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. В качестве суммы рассматривается трехзначное (многозначное) число, представляемое в виде суммы разрядных или удобных слагаемых. Деление, таким образом, представленного многозначного числа на однозначное выполняется в соответствии с правилом деления суммы на число. Например: 396:3 = (300+ 90+ 6): 3 = 300:3+ 90:3+ 6:3=100+ 30+ 2 = 132 365 : 5 = (350 + 15) : 5 = 350 :5 + 15 :5 = 70 + 3 = 73 Переводя данный способ деления в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) деления на однозначное число. Правило деления числа на произведение: а : (b•с) =(а :b) :с При делении числа на произведение можно разделить это число сначала на один множитель, а затем полученный результат разделить на второй множитель. Например: 5 400 : 600 = 5 400 : (6 • 100) = 5 400 : 100: 6 = 54 : 6 = 9 600 : 24 = 600 : (6 • 4) = (600 : 6) : 4 = 100 : 4 = 25 Использование данного правила позволяет устно выполнять деление, которое в общем случае требует письменных вычислений. Деление с остатком является основным видом действий, последовательно выполняемым при письменном делении. Приемы вычислений Письменное деление на однозначное число Прием письменного деления включает такие операции: замену делимого суммой удобных слагаемых (это чаще называют выделением неполных делимых), деление на делитель каждого слагаемого (неполного делимого) и сложение полученных частных. Для получения цифр частного используют прием подбора. Не всегда получается сразу подобрать оптимальную цифру частного. Каждую подобранную цифру частного проверяют, умножая ее на делитель находят разницу между неполным делимым и полученным произведением. Если этот остаток меньше делимого, то цифра частного выбрана верно, ее можно записывать в частное и продолжать процесс со вторым неполным делимым и т. п. Письменное деление может быть с остатком и без остатка. Письменное деление всегда начинают с высших разрядов, в отличие от письменного умножения. В традиционном учебнике математики использован поэтапный подход к формированию письменного алгоритма деления: 1-й этап: рассматриваются случаи вида 794 : 2; 984 : 4 — первое неполное делимое однозначное 2-й этап: рассматриваются случаи вида 376 : 4; 198 : 6 — первое неполное делимое двузначное; 3-й этап: рассматриваются случаи с нулями в частном (на конце или в середине); 4-й этап: рассматривается деление чисел, оканчивающихся нулями. Учебник математики для 3 класса содержит подробное описание процесса деления «в столбик», пошагово оговаривающее каждое умственное действие по выполнению подбора и проверки цифр частного, нахождения количества разделенных разрядных единиц, нахождения остатка. Например: Рассмотрим как выполнено деление с объяснением: _748| 2 6 374 _14 14 _8 8 0 1. Делю сотни: 7 сот. делю на 2, можно взять по 3 сот. В частном будет 3 сот. Проверяю, сколько сотен разделилось: 3 сот. •2 = 6 сот. Нахожу остаток от деления сотен: 7 сот. - 6 сот. = 1 сот. 2. Делю десятки: 1 сот. = 10 дес. и еще 4 дес. — это 14 дес. 14 дес. делю на 2 — можно взять по 7. Записываю в частном 7 в разряде десятков. 7 дес. • 2 = 14 дес. Нахожу остаток: 14 дес. - 14 дес. = 0. Десятки разделились все. 3. Делю единицы — единиц 8. 8 делю на 2, можно взять по 4. Проверяю: 4•2 = 8. Пишу в частном 4 в разряде единиц. Единицы разделились все: 8-8 = 0. Остатка нет. Деление закончено. Ответ: 374. При делении вида 45 6 : 8 ход рассуждений аналогичен, только первое неполное делимое — 45 десятков, поскольку 4 сотни нельзя разделить на 8 так, чтобы получить в частном сотни. Таким образом, первая значащая цифра частного в этом случае будет цифрой десятков. При делении многозначных чисел для самопроверки полезно заранее определить, сколько цифр должно получиться в записи частного. Выделение первого неполного делимого и определение его десятичного состава как раз и является приемом, позволяющим определить количество цифр частного. Например: В случае деления 748 : 2 первое неполное делимое — 7 сотен, поскольку 7 сотен можно разделить на 2 так, чтобы в частном получились сотни. Следовательно, первой значащей цифрой частного будет цифра сотен, тогда в частном будет три цифры (сотни, десятки и единицы). Во втором случае деления 456 : 8 первое неполное делимое — 45 десятков, следовательно первой значащей цифрой частного будет цифра десятков, тогда в частном будет две цифры (десятки и единицы). Обучение ребенка этому приему самопроверки является важным способом формирования осознаваемой вычислительной деятельности. Особенно важен этот прием при выполнении деления, приводящего к случаям получения нулей в частном. Первое неполное делимое 56 сотен (поскольку 5 тысяч нельзя разделить на 8 так, чтобы получить в частном тысячи), значит, первой цифрой частного будет цифра сотен. Следовательно, в частном будет три цифры (сотни, десятки и единицы). Данное рассуждение полезно отметить постановкой соответствующего количества точек в частном. Это предупредит распространенную в таких случаях ошибку — потерю цифры частного. Далее деление выполняется по общему алгоритму: 5648 8 56 706 - 0 -48 При объяснении получения нуля в частном следует в речевом сопровождении компенсировать условность сокращенной записи деления в столбик: 4 десятка нельзя разделить на 8 так, чтобы в частном получились целые десятки, поэтому в разряде десятков частного ставим 0. 4 десятка — это 40 единиц, да еще 8 единиц — делим 48 на 8... При делении чисел, оканчивающихся нулями, следует постоянно применять прием «прикидки» цифр частного, это поможет ребенку не терять нули в конце деления. Деление на двузначное и трехзначное число В основе устного деления на двузначное и трехзначное число лежит свойство деления числа на произведение: а : (b• с) = (а :b) :с При делении числа на произведение можно разделить это число сначала на один множитель, а затем полученный результат разделить на второй множитель. Например: 240 : 30 = 240 : (3 • 10) = (240 :10) : 3 = 24 : 3 = 8 2700 : 900 = 2700 : (9 • 100) - 2700 : 100 : 9 = 27 : 9 = 3 Однако в основе письменного деления на разрядные числа лежит не данный устный прием, а общий алгоритм деления на однозначное число. При ознакомлении с делением на двузначное число сначала рассматривают случаи, когда в частном получается одна цифра. Например: 492 82 -492 6 Эту цифру частного находят приемом подбора с последующей проверкой. При этом можно использовать два приема, облегчающих ребенку подбор цифры частного: 1) Прием ориентировки на таблицу умножения однозначных чисел. В этом случае ориентируются на последнюю цифру делителя, подбирая такую цифру частного, чтобы при умножении на нее получался результат, совпадающий с последней цифрой делимого. Например, при делении 492 : 82 это может быть только 6, так как2•6 = 12. Проверка этой цифры частного при умножении 82 • 6 дает делимое 492. Приведем еще один пример: 384:96 В таблице умножения числа 6 только множитель 4 дает в результате умножения число, оканчивающееся на 4: 6 • 4 = 24. Проверка цифры 4 в качестве пробной цифры частного дает делимое: 96 • 4 = 384. Следовательно 384 : 96 = 4. Этот прием помогает быстро найти цифры частного, если речь идет о делении без остатка. 2) Прием замены делителя ближайшим разрядным числом. В этом случае делитель заменяется на ближайшее разрядное число (в данном случае вместо 96 можно брать 90). В отношении разрядного числа легче найти пробную цифру частного. В данном случае деление 38 дес. на 9 дес. дает пробную цифру частного — 4. Затем ее проверяют, умножая на нее делитель. Цифра может подойти, а может и не подойти, поскольку ближайшее разрядное число берут не по правилу округления, а по принципу отбрасывания единиц. В этом случае проводится коррекция и уточненная цифра частного записывается в ответ. Процесс деления многозначных чисел на двузначное и трехзначное технически очень сложный и трудоемкий. В старших классах на уроках физики и химии, где бывают нужны многозначные вычисления детям рекомендуют пользоваться калькуляторами. Эти же приемы облегчения поиска пробной цифры частного можно использовать при делении на трехзначное число. Например: 738:246 Заменим число 246 ближайшим разрядным числом — это 200. 200 это 2 сот. Разделим 7 сот. на 2 сот. В частном можно пробовать цифру 3. Проверим эту пробную цифру: умножим 246 на 3, получим 738. Значит 738 : 246 = 3 Прием замены делителя на ближайшее разрядное число часто приводит к тому, что первая подобранная таким путем цифра частного не подходит и ее нужно изменять. Это происходит потому, что замена происходит не по правилам округления, а простым отбрасыванием единиц делителя. Заменим 47 на ближайшее разрядное число — это 40, т. е. 40 — это 4 дес. Разделим 28 дес. на 4 дес, получим 7 — это пробная цифра частного. Проверяем, подходит ли цифра 7. 47•7 = 329 — это больше, чем 282, значит, в частном должно быть меньше, чем 7. Проверяем, подходит ли цифра 6. 47 • 6 = 282. Значит, 282:47 = 6. Использование первого из обозначенных приемов в сочетании с приемом замены делителя на ближайшее разрядное число позволит уменьшить затраты сил и времени на поиски пробных цифр частного. Использование общего приема округления делителя также позволит быстрее и точнее искать пробную цифру частного. В частности, в данном случае по правилам округления следовало округлять 47 до 50, а значит первая пробная цифра частного — это 6 : 50 • 6 = 300 > 282, но округление произведено с увеличением, а результат близок к делимому, значит можно пробовать 6 в качестве цифры частного. Наиболее трудоемки случаи, требующие нескольких прикидок по цифрам частного. Особо рассматривается случай, когда при первой пробе получается число 10. цифра. Прием округления, как и прием замены делителя на ближайшее разрядное число, дает в качестве делителя число 100. Первая пробная цифра частного в этом случае получается 10. Но число 10 содержит две цифры, поэтому оно не подходит. Пробуем в качестве цифры частного 9. Проверяем: 127 •9 = 1143 > 1016, значит, цифра 9 не подходит. Пробуем 8. 127 • 8 =1016. Значит 1016 : 127 = 8. При делении на двух- и трехзначное число в случаях, когда в частном получается не одна цифра, проще ориентироваться при подборе пробной цифры частного на первые цифры делимого и делителя. Письменные алгоритмы умножения и деления на двузначное и трехзначное число дети изучают в конце 4 класса, поэтому учитель не всегда успевает уделить им достаточно много времени. Большие затраты времени при непродуктивном поиске пробных цифр частного приводят к тому, что на одном уроке дети успевают решить 2—3 примера. Большее количество примеров может быстро привести к утомлению детей и соответственно большому количеству ошибок при вычислениях. Использование продуктивных вычислительных приемов при выполнении письменных вычислений поможет ребенку в овладении осознанной вычислительной деятельностью. |