В.Н. Ардеев Расчет элементов деревянных конструкций. Деревянных конструкций методические указания и задания к практическим занятиям по курсу Конструкции из дерева и пластмасс для всех форм обучения по специальности 290300 Составитель В.
 Скачать 363.56 Kb.
|
|
3. РАСЧЕТ НА ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ 3.1. Общие сведения Изгибаемые элементы - балки, прогоны, доски настилов и обшивок- наиболее распространенные элементы деревянных конструкций. В изгибаемом элементе от нагрузок, действующих поперек его продольной оси, возникают изгибающие моменты Ми поперечные силы Q, определяемые методами строительной механики. От действия изгибающего момента в сечениях элемента возникают напряжения изгиба, которые состоят из сжатия в верхней половине сечения и растяжения в нижней. В результате элемент изгибается. Изгибаемые элементы работают еще более надежно, чем сжатые, и предупреждают об опасности разрушения заранее большими прогибами. Изгибаемые элементы, как и сжатые, рекомендуется изготовлять из древесины го сорта. В малоответственных элементах можно применять древесину го сорта. Изгибаемые элементы рассчитываются по первой и второй группе предельных состояний. 3.2. Расчетные формулы 3.1.1. Расчет по первой группе предельных состояний 1. Расчет изгибаемых элементов, обеспеченных от потери устойчивости плоской формы деформирования, на прочность по нормальным напряжениям следует производить по формуле М/W расч и, (3.1) где М - расчетный изгибающий момент и - расчетное сопротивление изгибу W расч - расчетный момент сопротивления поперечного сечения элемента. Рис. 3.1. Схема изгибаемого элемента 14 Для цельных элементов W расч = W нт . При наличии ослаблений в пределах длины равной 0,20 м в разных сечениях, при определении W нт все ослабления на этой длине суммируются. 2. Расчет изгибаемых элементов на прочность по скалыванию следует выполнять по формуле Q·S бр /(I бр b расч ) ≤ R ск, (3.2) где Q - расчетная поперечная сила S бр - статический момент брутто сдвигаемой части поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси I бр - момент инерции брутто поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси b расч - расчетная ширина сечения элемента R ск - расчетное сопротивление скалыванию при изгибе. При высоте сечения h = <(R ск / и расчет на скалывание можно не проводить. 3. Расчет на устойчивость плоской формы деформирования изгибаемых элементов прямоугольного сечения следует производить по формуле М/(φ м W бр ) и, (3.3) где М - максимальный изгибающий момент на рассматриваемом участке р W бр - максимальный момент сопротивления брутто на рассматриваемом участке р . Коэффициент φ м изгибаемых элементов прямоугольного поперечного сечения, шарнирно закрепленных от смещения из плоскости изгиба и закрепленных от поворота вокруг продольной оси в опорных сечениях, следует определять по формуле м l р h)k ф , (3.4) где р - расстояние между опорными сечениями элемента, а при закреплении сжатой кромки элемента в промежуточных точках от смещения из плоскости изгиба - расстояние между этими точками b - ширина поперечного сечения h - максимальная высота поперечного сечения на участке р ф - коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке р, определяемый по табл. 3 прил. 4 [1]. Расчет на устойчивость плоской формы изгиба элементов прямоугольного сечения можно не проводить, если выполняется условие р ≤ 140(b 2 /h). (3.5) 15 4. Прогиб изгибаемых элементов следует определять по моменту инерции поперечного сечения брутто. Наибольший прогиб шарнирно-опертых и консольных изгибаемых элементов постоянного и переменного сечений следует определять по формуле f = (f o /k)[1+c(h/l) 2 ], где f o - прогиб балки постоянного сечения высотой h без учета деформаций сдвига h - наибольшая высота сечения l - пролет балки k - коэффициент, учитывающий влияние переменности высоты сечения, 1 для балок постоянного сечения k = 1; с - коэффициент, учитывающий влияние деформаций сдвига от поперечной силы. Значения коэффициентов k и с для основных расчетных схем балок приведены в табл. 3 прил. 4 [1]. Прогибы элементов зданий и сооружений не должны превышать величин, приведенных в табл. 16 [1]. При h <( 1/20)l влияние деформаций сдвига можно не учитывать, принимая f=f o . 3.3. Рекомендации по подбору сечения 1. Подбор сечения изгибаемых элементов производят либо методом попыток, либо определением высоты сечений через расчетный изгибающий момент и расчетное сопротивление древесины изгибу, задавшись его шириной. В первом случае, ориентируясь на рекомендуемые значения высоты сечения и на величину нагрузки, задаются размерами сечения, которое проверяют по формуле (3.1): М/W рас и. Несоблюдение условия требует увеличения сечения, предпочтительно высоты. Большой запас несущей способности (более 20%) требует уменьшения размеров сечения. При назначении размеров сечения надлежит руководствоваться сортаментом пиломатериалов по ГОСТ 24454-80 (приложение I). Подбор сечения следует считать законченным, если различие между нормальным напряжением и расчетным сопротивлением не превышает 20% в сторону недонапряжения. Во втором случае требуемую высоту сечения балки определяют, задавшись предварительно шириной сечения, по формуле (для прямоугольного сечения) 16 b расч тр bR М h / 6 = , (3.7) где М расч - изгибающий момент от расчетной нагрузки. 2. После выбора по сортаменту сечения определяют нормальные напряжения и оценивают их величину в сопоставлении си. Затем, если требуется, делают проверку на скалывание и устойчивость плоской формы деформирования и при несоблюдении этих условий увеличивают ширину сечения. 3. Проверку прогиба балок производят при действии нормативных нагрузок по формуле (1.2). Предельные значения прогибов следует делить на коэффициент надежности по ответственности γ n 4. При подборе сечений целесообразно использовать рекомендации, изложенные в книге [3] и приведенные ниже. Наименьшую рекомендуемую высоту балки цельного сечения при полном использовании ее расчетной несущей способности (когда и можно получить, приняв прогиб балки равным предельному значению. Например, для балки с равномерно распределенной нагрузкой при полном использовании расчетной несущей способности минимальная высота, обеспечивающая ей необходимую жесткость, равна h=кR и l / (γ fср E[f/l]), (3.8) при этом ширина сечения b=(6M расч /h 2 R и )γ n , где l - расчетный пролет балки к - числовой коэффициент, зависящий от схемы нагрузки γ n - коэффициент надежности по ответственности здания М - расчетный изгибающего момента от действия нормативных нагрузок Е - модуль упругости древесины γ fср - отношение расчетной нагрузки к нормативной. При действии на балку сосредоточенных нагрузок в этих формулах будет изменяться лишь числовой коэффициент. Так, для балки на двух опорах, нагруженной сосредоточенной нагрузкой посередине пролета, он будет равен 1/6, двумя сосредоточенными грузами в третях пролета - 23/108. Для балок-консолей, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, этот коэффициент равен 1/2, а для консолей, нагруженных сосредоточенным грузом на конце, - 2/3. Минимальная рекомендуемая высота балки увеличивается с уменьшением предельного прогиба, а также с увеличением прочности материала балки. 17 3.4. Задание Подобрать прямоугольное сечение балки и проверить его на прочность по скалыванию, устойчивость плоской формы деформирования и жесткость. Исходные данные взять из табл. 3.1, 2.1. 3.5. Пример расчета Исходные данные Однопролетная шарнирно опертая балка междуэтажного перекрытия из древесины пихты го сорта. Балка имеет пролет l = 6 ми загружена двумя сосредоточенными силами в третях пролета. Величина нормативной и расчетной нагрузки Р н = 3,7 кН; Р = 6,7 кН. Условия эксплуатации конструкции класс ответственности здания III; температурно-влажностный режим здания А установившаяся температура воздуха 35 о С; отношение постоянных и длительных нагрузок к полной <0,8. Решение 1. Подберем сечения по прочности. Расчетное сопротивление изгибу из табл. 3 [1] - и T = 15 МПа. Расчетное сопротивление скалыванию R ск T = 1,8 МПа Определяем значение расчетного сопротивления с учетом коэффициентов условий работы и коэффициента надежности по ответственности. и R и Т в Д = 13·1·1·1·0,8/0,9 = 13,33 МПа. R ск = R ск Т в Д = 1,8·1·1·1·0,8/0,9 = 1,6 МПа. Изгибающий момент от расчетной нагрузки М = Pl/3 = 6,7·6/3 = =13,4 кН·м = 0,0134 МН·м. Задаемся шириной сечениям. Требуемая высота сечения по формуле (3.7) b расч тр bR М h / 6 = = 13,33 25 0,0134/0,1 6 ⋅ ⋅ = 0,22 м. Принимаем по сортаменту ближайшее большее сечение с размерами х h = 0,125 хм Момент сопротивлениям Напряжение изгиба и = M/W = 0,0134/1055 10 -6 = 12,7 МПа < и МПа. 2. Так как высота сечения h = 0,225 < (R ск / им, то расчет на скалывание можно не проводить. 3. Расчет на устойчивость плоской формы деформирования можно не проводить, так как балки междуэтажного перекрытия имеют сплошное раскрепление верхней сжатой зоны досками настила. 4. Проверка прогиба. Так как h = 0,225 < l/20 = 0,30 м, при определении прогиба деформации сдвига не учитываем. Момент инерции I = з =0,125·0,225 3 /12 = 11865·10 -8 м 4 Модуль упругости Е = 10 4 МПа. Относительный прогиб f/l= (1/20,8) Р н I 2 /(EI) = (1/20,8) 0,0037 6 2 / /(1 ⋅ 10 4· 11865·10 -8 ) =1/185 = [f/lγ n ] = 1 /(250·0,9) >1/225. Необходимо увеличить сечение для обеспечения жесткости. Принимаем по сортаменту ближайшее большее сечение х h = =0,125 хм. Момент инерции I = з =0,125·0,25 3 /12=16276·10 -8 м 4 Относительный прогиб f/l= (1/20,8) Р н I 2 /(EI) = (1/20,8) 0,0037 6 2 / /(1 ⋅ 10 4· 16276·10 -8 ) =1/254 < [f/l](1/γ n )=(1/250)(1/0,9) = 1/225. 5. Наименьшую рекомендуемую высоту балки цельного сечения при полном использовании ее расчетной несущей способности можно получить, приняв прогиб балки равным предельному по формуле (3.8). h = 5R и l/(24γ f.ср E[f/l]) = 5·1,33·6/(6,7/3,7)·10000(1/250) = 0,235 м, при этом ширина сечения b = 6M расч /h 2 R и .= 6·0,0134·0,9/(0,235 2 ·13,33) = 0,111 м. Принимаем по сортаменту ближайшее большее сечение х h = =0,125 хм. Как видим, мы получили тот же результат. 19 Исходные данные к заданию по подбору сечения изгибаемого элемента Таблица 3.1 Нагрузка Значения q – кН/м; Р - кН Номер задания Пролет элементам Назначение Вид** нормативная расчетная 1 2 3 4 5 6 1 3,0 ПП q 3,0 3,2 2 6,0 БЧП P 10,0 11,3 3 4,5 БМП 2P 3,7 5,7 4 4,5 БЧП q 1,8 2,6 5 3,0 БМП q 2,4 3,2 6 3,0 ПП 2P 3,2 3,8 7 6,0 БМП P 3,6 5,8 8 6,0 БЧП P 4,5 4,9 9 4,0 БЧП q 1,2 1,9 10 6,0 ПП P 7,0 7,7 11 4,5 ПП P 6,6 9,0 12 6,0 БМП 2P 2,6 3,6 13 3,0 ПП 2P 2,4 4,4 14 4,5 БЧП q 1,5 2,6 15 5,5 БЧП q 2,1 2,8 16 6,0 БМП P 13,0 15,0 17 4,5 БЧП P 4,5 4,9 18 3,0 БЧП q 2,9 3,75 19 6,0 БМП 2P 3,2 4,4 20 4,5 БМП 2P 11,2 12,0 21 5,0 БМП q 5,0 6,0 22 5,5 БЧП P 4,2 5,2 23 4,0 ПП P 4,4 5,8 24 3,0 ПП q 1,0 1,9 25 6,0 БЧП 2P 9,0 11,5 26 6,0 БМП 2P 4,7 5,3 * БМП – балка междуэтажного перекрытия БЧП - балка чердачного перекрытия ПП – прогон покрытия. ** q – равномерно распределенная нагрузка Р – сосредоточенная сила в середине пролета Р – сосредоточенные силы в третях пролета. 20 4. РАСЧЕТ НА СЖАТИЕ С ИЗГИБОМ И ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ 4.1. Общие сведения Сжато-изгибаемые элементы работают одновременно на сжатие и изгиб. Так работают, например, верхние пояса ферм, в которых кроме сжатия действует еще изгиб от внеузловой нагрузки отвеса покрытия. В элементах, где сжимающие силы действуют с эксцентриситетом относительно их осей, тоже возникает сжатие с изгибом. Поэтому они называются также внецентренно сжатыми. Внецентренное сжатие может возникнуть в сечении элемента, имеющего несимметричное ослабление. Рис. 4.1. Сжато-изгибаемый элемента схема работы б – эпюры нормальных напряжений В сечении сжато-изгибаемого элемента действуют продольные сжимающие силы N, от которых возникают равномерные напряжения сжатия и изгибающий момент Мот которого возникают и сжимающие, и растягивающие напряжения, максимальные в крайних волокнах и нулевые на нейтральной оси прямоугольного сечения. Максимальные сжимающие напряжения возникают в крайних волокнах сечения вместе действия максимального изгибающего момента. Разрушение сжато-изгибаемого элемента начинается с потери устойчивости сжатых волокон, что обнаруживается появлением складок и повышенными прогибами, после чего элемент ломается. Такое разрушение частично пластично. Поэтому сжато-изгибаемые элементы работают более надежно, чем растянутые, и их рекомендуется изготовлять из древесины го сорта. 4.2. Расчетные формулы Сжато-изгибаемые элементы рассчитываются по первой и второй группе предельных состояний. 1. Расчет сжато-изгибаемого элемента производится на действие максимальных продольных сжимающих сил N и изгибающих моментов Мот расчетных нагрузок по формуле σ = N/A расч +M Д /W расч = с (4.1) где N - расчетная сжимающая сила М Д - расчетный изгибающий момент от совместного действия поперечной нагрузки и сжимающей силы A расч и W расч - соответственно площадь поперечного сечения и момент сопротивления (нетто для элементов цельного сечения. Для шарнирно-опертых элементов при симметричных эпюрах изгибающих моментов синусоидального, параболического, полигонального и близких к ним очертаний, а также для консольных элементов М Д следует определять по формуле М Д = М (4.2) где М - изгибающий момент в расчетном сечении без учета дополнительного момента от продольной силы ξ - коэффициент, изменяющийся от 1 до 0, учитывающий дополнительный момент от продольной силы вследствие прогиба элемента, определяемый по формуле ξ = 1- λ 2 N/(3000R c A бр ). (4.3) 2. В случаях, когда в шарнирно-опертых элементах эпюры изгибающих моментов имеют треугольное или прямоугольное очертание, 22 коэффициент ξ по формуле (4.3) следует умножать на поправочный коэффициент- где α n - коэффициент, который следует принимать равным 1,22 при эпюрах изгибающих моментов треугольного очертания (от сосредоточенной силы) и 0,8 при эпюрах прямоугольного очертания (от постоянного изгибающего момента. 3. При отношении напряжений от изгиба к напряжениям от сжатия менее 0,1 сжато-изгибаемые элементы следует также проверять на устойчивость по формуле (2.2) без учета изгибающего момента. 4. Расчет на скалывание при изгибе следует проводить по формуле (3.2), при этом поперечную силу определяют по формуле Д = Q/ ξ, (4.5) где Q - максимальная поперечная сила от поперечной нагрузки. 5. Сжато-изгибаемый элемент должен быть также проверенна прочность и устойчивость только при сжатии продольной силой в направлении из плоскости действия изгибающего момента по формуле (2.2). 6. Проверка устойчивости плоской формы деформирования цельных сжато-изгибаемых элементов, как правило, не требуется. 7. Прогиб сжато-изгибаемых элементов следует проверять по формуле Д = f / lξ, ≤ [f/l](1/γ n ), (4.6) где f - прогиб, определяемый по формуле (3.5). 4.3. Указания по подбору сечения Подбор сечений сжато-изгибаемых элементов производят методом последовательных приближений (попыток. Назначенное сечение проверяют по условию прочности (4.1). При несоблюдении условия прочности размеры сечения увеличивают с учетом сортамента пиломатериала. Цель расчета – получение сечения с наименьшей площадью при условии, чтобы суммарные краевые напряжения сжатия были как можно ближе к значению расчетного сопротивления материала. Как правило, рациональной формой сечения будет прямоугольное сечение с высотой в плоскости действия поперечной нагрузки. 23 4.4. Задание Подобрать прямоугольное сечение сжато-изогнутого деревянного элемента. Исходные данные взять по варианту из табл. 4.1 и 2.1. 4.5. Пример расчета Исходные данные. Стержень из древесины лиственницы го сорта длиной l = мне имеет ослабления, и концы его закреплены шарнирно. На стержень от расчетных нагрузок действует продольная сжимающая сила N = 59,4 кН = 0,0594 МН и сосредоточенная сила в середине пролета Р = 10,5 кН= 0,0105 МН в направлении большего размера сечения. Нормативная нагрузка составляет 70% от расчетной. Условия эксплуатации конструкции класс ответственности здания III; температурно-влажностный режим здания А установившаяся температура воздуха < 35 о С; отношение постоянных и длительных нагрузок к полной >0,8. Решение 1. Подберем сечения по прочности. Задаемся размерами сечения по сортаменту хм. Расчетное табличное значение сопротивление изгибу древесины сосны го сорта с T = 15 МПа. Определяем значение расчетного сопротивления с учетом коэффициентов условий работы, породы и коэффициента надежности по ответственности. с R с Т m T m в m Д m n /γ n = 15·1,0·0,9·0,8·1,2/0,9 = 14,4 МПа. R ск = R ск Т m T m в m Д m n /γ n = 1,8·1·1·1·0,8/0,9 = 1,6 МПа. Изгибающий момент от расчетной нагрузки М = Pl/4 =10,5·5,5/4 = =14,43 кН·м = 0,01443 МН·м. Площадь и момент сопротивления сечения определяются по формулам A = bh = 0,15·0,25 = 0,0375 мм. Расчетная длина и гибкость элемента в плоскости изгибам пр =150. По формуле (4.3) определяем коэффициент ξ = 1- λ 2 N/3000R c A бр = =1 - 76,1 2 ·0,0594 / (3000·14,4·0,0375)=0,788. 24 По формуле (4.4) определяем коэффициент k α = α n + ξ ( I - α n ) = =1,22 + 0,788(1 – 1,22) = 1,047. Момент с учетом деформаций М Д =М/ξk α = 0,01443 /0,788·1,047 = =0,017499 МН·м. По формуле (4.1) проверяем условие прочности σ = N/A расч +M Д /W расч =0,0594/0,0375 + 0,017499/(1562·10 -6 )= =12,78 МПа < с = 14,4 МПа. 2. Проверка прочности и устойчивости из плоскости изгиба. Расчетная длина, гибкость и коэффициент продольного изгиба следующие l oy = 5,5 м λ y = l oy /0,289b = 5,5/(0,289·0,15) = 126,8 > 70, но < пр =150. Так как λ y > 70, то φ определяем по формуле (2.4) φ y = 3000/(λ y ) 2 = 3000/126,8 2 = 0,187. Проверяем элемент на устойчивость по формуле (2.2) σ c = N/(φ y A расч )= 0,0594/(0,187 ⋅ 0,0375)=8,47 МПа < с = 14,4 МПа. 3. Делаем расчет на прочность по скалыванию. Поперечная сила от опоры до места приложения сосредоточенной нагрузки равна Q = Р = 0,0105/2 = 0,00525 МН. С учетом влияния продольной силы по формуле (определим Д = Q/ξk α = =0,00525/(0,788·1,047) = 0,00636 МН. Формула (3.2) для прямоугольного сечения примет вид τ = 1,5Q/(h·b расч ), тогда τ = 1,5 ⋅ 0,00636/(0,25 ⋅ 0,15) = 0,254 МПа < R ск = 1,6 МПа. 25 4. Проверка прогиба. Нормативная поперечная нагрузка по заданию равна Р = Р = =0,7 ⋅ 0,0105 = 0,00735 МН. Момент инерции I = з =0,15·0,25 3 /12 = =19531·10 -8 м. Модуль упругости Е = 10 4 МПа. Прогиб без учета деформаций сдвига равен f 0 = РЕ) = 735 ⋅ 10 -5 5,5 3 /(48·10 4 ⋅ 19531·10 -8 ) = 0,013 м. Прогиб с учетом деформаций сдвига только от поперечной нагрузки по определяем по формуле (3.5), в которой коэффициент с = 24 принят по табл. 4 прил. 4 СНиП II-22-80. f = f o [1 + c(h/l) 2 ] = 0,013[1 + 24(0,25/5,5) 2 ] = 0,0136 м. Для сжато-изогнутого элемента с учетом дополнительного прогиба от влияния продольной силы по формуле (4.6) получим значение относительного прогиба Д = f/lξk α = 0,0136/(5,5·0,788·1,047) = 1/334 < [f/l](1/γ n ) = 1 /(300·0,9)= =1/270. 26 Исходные данные к заданию по подбору сечения сжато-изгибаемого элемента Таблица 4.1 Расчетная поперечная нагрузка нормативная от расчетной Номер задания Длинам, кН/м Р, кН Расчетная сила сжатия N, кН Предельная гибкость Предельный относительный прогиб, [f/l] 1 2 3 4 5 6 7 1 5,0 - 3,61 37,20 150 1/250 2 4,0 5,37 - 81,00 120 1/200 3 3,5 7,26 - 149,57 150 1/250 4 5,5 - 4,00 118,00 120 1/300 5 4,6 5,40 - 95,80 150 1/250 6 4,5 - 15,20 130,00 150 1/200 7 4,3 7,20 - 131,00 120 1/300 8 3,2 10,70 - 228,30 120 1/250 9 4,0 8,40 - 84,37 150 1/200 10 4,5 3,95 - 81,50 120 1/250 11 4,0 - 5,12 37,20 120 1/300 12 3,0 - 18,78 168,75 120 1/250 13 4,5 - 15,20 131,25 150 1/200 14 3,8 - 17,80 95,80 120 1/250 15 4,4 4,96 - 97,00 120 1/200 16 5,0 2,00 - 56,00 150 1/300 17 4,0 - 10,75 149,50 150 1/300 18 4,5 2,70 - 56,00 120 1/200 19 2,9 - 20,40 157,50 150 1/250 20 4,8 - 5,48 107,30 120 1/200 21 5,2 3,00 - 95,60 120 1/200 22 3,5 5,10 - 56,00 150 1/250 23 4,0 7,66 - 196,80 150 1/300 24 4,5 - 8,55 149,50 150 1/250 25 3,5 10,50 - 123,70 120 1/200 26 5,5 - 10,50 59,40 150 1/300 * q – равномерно распределенная нагрузка Р – сосредоточенная сила в середине пролета. 27 5. РАСЧЕТ НА ЦЕНТРАЛЬНОЕ И ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ 5.1. Общие сведения Растянутые элементы - это нижние пояса ферм, затяжки арок и некоторые стержни других сквозных конструкций. Растягивающие усилия действуют вдоль оси элемента, и во всех точках его поперечного сечения возникают растягивающие нормальные напряжения, которые с достаточной точностью считаются одинаковыми по значению. σ Ν Ν l b Рис. 5.1. Растянутый элемент Древесина работает на растяжение почти как упругий материал и имеет высокую прочность. Разрушение растянутых элементов происходит хрупко, в виде почти мгновенного разрыва наименее прочных волокон по пилообразной поверхности. Однако прочность реальной древесины при растяжении, в которой имеются допускаемые пороки и которая работает длительное время, значительно ниже. Работа деревянных элементов при растяжении является наиболее ответственной. Они разрушаются почти мгновенно, поэтому растянутые элементы надо изготовлять, как правило, из наиболее прочной древесины го сорта. |