Контрольная 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной

• Название: Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной
• Дата: 29.01.2023
• Размер: 269.22 Kb.
• Имя файла: Контрольная 2.docx
• Тип: Контрольная работа; #910220

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»

Высшая школа энергетики нефти и газа
_____________________________________________________

^{(наименование высшей школы / филиала / института / колледжа)}
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине/междисциплинарному курсу/модулю		Высшая математика
На тему	Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. Дифференциальные уравнения. Вариант 8

	Выполнил (-а) обучающийся (-аяся): Заболотский Юрий Иванович
	(Ф.И.О.)
	Направление подготовки / специальность: 13.03.01 Теплоэнергетика теплотехника
	(код и наименование)
	Курс: 1
	Группа:113205
	Руководитель: Попов Василий Николаевич, профессор
	(Ф.И.О. руководителя, должность / уч. степень / звание)

Отметка о зачете
		(отметка прописью)		(дата)
Руководитель
		(подпись руководителя)		(инициалы, фамилия)

Архангельск 2022


Задание 1
8. а) , б) , в) .
Решение
а) .

Используя правило дифференцирования частного, правило дифференцирования сложной функции и табличные формулы, получим:



б) .

Используя правило дифференцирования произведения, правило дифференцирования сложной функции и табличные формулы, получим:



в) .

Функция задана неявно в виде .

Дифференцируем обе части данного уравнения, считая функцией от :



Выразим из уравнения :


Задание 2

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график, используя результаты исследования.

8.
Решение

Для полного исследования функции и построения ее графика применяется следующая примерная схема:

1. 
   найти область определения функции;
   
2. 
   исследовать функцию на непрерывность и определить характер точек разрыва;
   
3. 
   исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность;
   
4. 
   найти точки пересечения графика функции с осями координат;
   
5. 
   исследовать функцию на монотонность и экстремум;
   
6. 
   найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
   
7. 
   найти асимптоты графика функции;
   
8. 
   по полученным данным построить график функции.
   

Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции.

1. 
   .
   
2. 
   Функция не определена в точке . Следовательно, есть точка разрыва функции. Исследуем характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы функции в этой точке:
   

Следовательно, – точка разрыва второго рода;

3. 
   .Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.
   
4. 
   
   

С осью Ох точек пересечения нет.

С осью Оу: .

Точка – точка пересечения с осью Оy.

5. 
   Находим производную.
   

при и не существует при .

Критических точек нет.




– –



–2

Функция убывает на всех .

6. 
   Находим вторую производную.
   

при и не существует при .

Критическая точка второго рода: .




- + +



-2,5 -2
Функция вогнута на интервалах , функция выпукла на интервале .

Точка перегиба , .

7. 
   Так как точка - точка разрыва второго рода, то прямая - вертикальная асимптота.
   

Найдем наклонные асимптоты





Тогда - горизонтальная асимптота

8. 
   По полученным данным строим график функции.
   

Задание 3

Найдите неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.

8. а) ; б) ;
в) ; г) .

Решение

а) .

Применим подстановку :



Проверка:



б) ;

Применим формулу интегрирования по частям .



Проверка:



в) .

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:



Коэффициенты , найдем из условия:

.

Приравняем коэффициенты с одинаковыми степенями при x:

откуда

Таким образом,

.



г) ;

Для преобразования подынтегральной функции применим формулы универсальной тригонометической подстановки .


Задание 4

Вычислите определенные интегралы.

8. .

Решение

Находим интеграл с помощью формулы интегрирования по частям и применим формулу Ньютона-Лейбница:



Ответ: 0.

Задание 5

Найдите общее решение дифференциального уравнения.

8. а) ; б) .

Решение

а) .



Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Будем искать решение в виде , тогда . После подстановки и выражения для производной в уравнение получим

.

.

Потребуем: .

Получаем систему:



Решим уравнение .

Получаем:

.

.

.

откуда при C =0: и искомая функция будет иметь вид:

.

После подстановки функции во второе уравнение, получим

. Решим последнее уравнение:

,



Тогда – общее решение исходного уравнения.

б) .

.

Имеем дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, так как не содержит

Введем подстановку: , .

Получаем:

.

Получаем:



Разделяя переменные, последовательно находим:

;

;

;

;



С учетом подстановки:

.

– общий интеграл.

При решении было упущено решение: .

Задание 6

Решите задачу Коши

8.

Решение.

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение y(x) исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где – общее решение соответствующего однородного уравнения,

– частное решение исходного неоднородного уравнения.

1) Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения:



Для этого составляем характеристическое уравнение:



Получаем: .

Эти корни являются действительными разными, поэтому система решений, соответствующая этим корням, будет иметь вид:

.

2) Найдем – частное решение исходного неоднородного уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

В нашем случае так как один раз встречается среди корней характеристического уравнения.

Итак, , где это многочлен второй степени.

Находим: .

.

Подставляем в исходное уравнение:

.



.

.

Общее решение y(x) исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:





Воспользуемся начальными условиями:





Тогда искомое частное решение:

.

Ответ: .