Решение Для полного исследования функции и построения ее графика применя ется следующая примерная схема
 Скачать 1.65 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова» _____________________________________________________ (наименование высшей школы / филиала / института / колледжа) КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА По дисциплине/междисциплинарному курсу/модулю Математика На тему Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. Дифференциальные уравнения. Вариант 8 Выполнил (-а) обучающийся (-аяся): (Ф.И.О.) Направление подготовки / специальность: (код и наименование) Курс: Группа: Руководитель: (Ф.И.О. руководителя, должность / уч. степень / звание) Отметка о зачете (отметка прописью) (дата) Руководитель (подпись руководителя) (инициалы, фамилия) Архангельск 2022 Задание 1 8. а) , б) , в) Решение а) Используя правило дифференцирования частного, правило дифферен- цирования сложной функции и табличные формулы, получим: б) Используя правило дифференцирования произведения, правило диффе- ренцирования сложной функции и табличные формулы, получим: в) Функция задана неявно в виде Дифференцируем обе части данного уравнения, считая функцией от : 2 Выразим из уравнения : 3 Задание 2 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график, используя результаты исследования. 8. Решение Для полного исследования функции и построения ее графика применя- ется следующая примерная схема: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность и определить характер точек разрыва; 3) исследовать функцию на четность и нечетность, периодич- ность; 4) найти точки пересечения графика функции с осями координат; 5) исследовать функцию на монотонность и экстремум; 6) найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба; 7) найти асимптоты графика функции; 8) по полученным данным построить график функции. Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции. 1) 2) Функция не определена в точке . Следовательно, есть точка разрыва функции. Исследуем характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы функции в этой точке: Следовательно, – точка разрыва второго рода; 3) .Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая. 4) 4 С осью Ох точек пересечения нет. С осью Оу: Точка – точка пересечения с осью Оy. 5) Находим производную. при и не существует при Критических точек нет. – – –2 Функция убывает на всех 6) Находим вторую производную. при и не существует при Критическая точка второго рода: - + + -2,5 -2 Функция вогнута на интервалах , функция выпукла на интервале Точка перегиба , 5 7) Так как точка - точка разрыва второго рода, то прямая - вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты Тогда - горизонтальная асимптота 8) По полученным данным строим график функции. X Y -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 6 Задание 3 Найдите неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием. 8. а) ; б) ; в) ; г) Решение а) Применим подстановку : Проверка: б) ; Применим формулу интегрирования по частям Проверка: 7 в) Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей: Коэффициенты , найдем из условия: Приравняем коэффициенты с одинаковыми степенями при x: откуда Таким образом, г) ; Для преобразования подынтегральной функции применим формулы универсальной тригонометической подстановки 8 9 Задание 4 Вычислите определенные интегралы. 8. Решение Находим интеграл с помощью формулы интегрирования по частям и применим формулу Ньютона-Лейбница: Ответ: 0. 10 Задание 5 Найдите общее решение дифференциального уравнения. 8. а) ; б) Решение а) Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Будем искать решение в виде , тогда . После подстановки и выражения для производной в уравнение получим Потребуем: Получаем систему: Решим уравнение Получаем: откуда при C =0: и искомая функция будет иметь вид: 11 После подстановки функции во второе уравнение, получим . Решим последнее уравнение: , Тогда – общее решение исходного уравнения. б) Имеем дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, так как не содержит Введем подстановку: , Получаем: Получаем: Разделяя переменные, последовательно находим: ; ; ; ; 12 С учетом подстановки: – общий интеграл. При решении было упущено решение: 13 Задание 6 Решите задачу Коши 8. Решение. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение y(x) исходного линейного неоднородного дифференци- ального уравнения имеет вид: , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение исходного неоднородного уравнения. 1) Найдем – общее решение соответствующего однородного уравне- ния, т.е. уравнения: Для этого составляем характеристическое уравнение: Получаем: Эти корни являются действительными разными, поэтому система реше- ний, соответствующая этим корням, будет иметь вид: 2) Найдем – частное решение исходного неоднородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде В нашем случае так как один раз встречается среди корней характеристического уравнения. Итак, , где это многочлен второй степени. Находим: 14 Подставляем в исходное уравнение: Общее решение y(x) исходного линейного неоднородного дифференци- ального уравнения имеет вид: Воспользуемся начальными условиями: Тогда искомое частное решение: Ответ: 15 |