математика краткая теория 2 курс. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

• Название: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
• Дата: 12.05.2023
• Размер: 1.36 Mb.
• Имя файла: математика краткая теория 2 курс.doc
• Тип: Документы; #1123886
• страница: 1 из 4

Тема: «Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных»
Краткие теоретические сведения.

1. 
   Частные производные первого порядка. Дана функция .
   

При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной

(аргумент у – постоянная величина); (аргумент х – постоянная величина)

Например: 1) , ;

2) , (используем формулу ).

Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка.

; ; ; .

Пример, ,

; ; ;

; . .

2. 
   Градиент скалярного поля – вектор с координатами . Этот вектор направлен по нормали к линии уровня и характеризует направление наибольшего возрастания функции z.
   

.

Пример 2: Дана функция . Найти в точке .

; ; ; ;

(использовалась формула ).

Производная по заданному направлению вектора находятся по формуле , где – направляющие косинусы вектора , .

Пример: Дана функция . Найти производную по направлению вектора в точке .

; ;

; (использовалась формула ).

; ;

.

ЗАДАНИЯ (только четные №)
Задание 1. Даны две функции и . Для каждой функции проверить равенство смешанных производных второго порядка .

Задание 2. Даны: функция , точка и вектор . Найти: 1) в точке А; 2) производную по направлению вектора в точке А.

№ вар-та	Задания
1	1) ; 2) .
2	1) ; 2) .
3	1) ; 2) .
4	1) ; 2) .
5	1) ; 2) .
6	1) ; 2) .
7	1) ; 2) .
8	1) ; 2) .
9	1) ; 2) .
10	1) ; 2) .

Тема: «Дифференциальные уравнения»
Краткая теория и методические указания для решения:

1. 
   Дифференциальные уравнения I порядка: или . Общее решение – это совокупность решений или , зависящих от произвольной постоянной С.
   

Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений I порядка:

1. 
   Уравнения с разделяющимися переменными
   

Алгоритм решения:

а) ; Умножим на обе части уравнения. Получим б) ;

в) Разделим переменные, чтобы слева были функции, зависящие от у, а справа – от х. Для этого разделим обе части уравнения на . Получим ;

г) Произведя интегрирование (слева по , справа по ) получим решение

.

2. 
   Линейные дифференциальные уравнения I порядка ( и у входят в первой степени). Методом Бернулли заменой приводим к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными относительно и затем . . Подставим в уравнение: или (1.2.1) . Определим таким образом: . Решив это уравнение, одно частное решение подставим в (1.2.1) . Получим уравнение относительно : . Определим общее решение . Общее решение уравнения 1.2 есть .
   

2. 
   Дифференциальные уравнения II порядка. . Общее решение – это совокупность решений вида , где и – произвольные постоянные.
   

2.1 Дифференциальные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. , и – постоянные числа. Если , то уравнение называется однородным, если , то неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения , где – общее решение однородного уравнения, – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка



Составим и решим характеристическое уравнение .

Дискриминант .

Могут быть 3 случая:

а) , два разных действительных корня и , ;

б) , два равных действительных корня: = , ;

в) , два комплексных корня: и , – мнимая единица, , – действительная, – мнимая часть комплексного числа; . Если , .

2.1.2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов в зависимости от вида правой части уравнения .

и – корни характеристического уравнения.

2.1.2.1. (а и – данные числа)

а) , , ;

б) , или .

2.1.2.2.

а) , , ;

б) , или .

в) .

2.1.2.3. (а, , – данные числа, а или может быть равно 0).

а) , , ;

б) или .

Коэффициенты M и N находят методом неопределённых коэффициентов. Подставим , , в уравнение 2.1. получим . Приравняем коэффициенты в левой и правой части при одинаковых степенях х, или при , или при , или при , или при , или при , или при и при .

2.1.3. Частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Выпишем общее решение неоднородного уравнения: , найдем . Подставим начальные условия в выражение для и , получим систему двух уравнений относительно и . Найдя и , подставим их значения в решение у.