математика краткая теория 2 курс. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Название	Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Дата	12.05.2023
Размер	1.36 Mb.
Формат файла
Имя файла	математика краткая теория 2 курс.doc
Тип	Документы #1123886
страница	2 из 4

1 2 3 4

Примеры

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными 1.1.

а)

; б)

; в)

; г)

;

Решение

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это линейное уравнение I порядка 1.2. Замена

. Решаем

. Подставляем

, т.е.

;

, тогда решение

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Решаем по 2.1).

Решение. а) Однородное уравнение

(2.1.1). Характеристическое уравнение

.

б) Частное решение неоднородного уравнения (2.1.2)

;

.

Ищем

;

. Подставим в неоднородное уравнение:

.Приравниваем коэффициенты при

в левой и правой части тождества

. Итак,

.

в) Общее решение:

.

г) Найдём частное решение при начальных условиях (по 2.1.3):

. Подставим начальные условия:

. Частное решение: при

;

.
ЗАДАНИЯ (только четные №)

Сдать 23.10.2020 до 15.00

Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка.
Найти частное решение дифференциального уравнения II порядка , удовлетворяющее начальным условиям .

.№ вар-та	Задания
1	1) ; 2)
2	1) ; 2)
3	1) ; 2)
4	1) ; 2)
5	1) ; 2)
6	1) ; 2)
7	1) ; 2)
8	1) ; 2)
9	1) ; 2)
10	1) ; 2)

Тема: «Теория вероятностей. Случайные величины»
Краткая теория и методические указания.

Случайные величины (СВ)
1. Случайной величиной Х называется величина, которая случайно принимает какое-то значение из совокупности своих значений.
2. Функция распределения . Функция распределения – неубывающая, непрерывная слева функция, определённая на всей числовой оси, при этом .

1.2.1 Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале

равна

Дискретные случайные величины (ДСВ). Значениями их являются только отдельные точки числовой оси.

1.3.1 Закон распределения ДСВ Х можно задать в виде ряда распределений

				…
				…

В первой строке таблицы указаны все значения х ДСВ Х, а во второй строке – вероятности

принятия значения

.

1.3.2 Функция распределения ДСВ Х выражается формулой

.

График

представляет собой ступенчатую линию.

Непрерывные случайные величины (НСВ). Значениями НСВ могут быть любые точки какого-то интервала на числовой оси.

1.4.1 Закон распределения НСВ задаётся функцией плотности распределения

.

1.4.2 Функция распределения НСВ вычисляется по формуле

. График

НСВ представляет собой непрерывную неубывающую кривую.

.

1.4.3 Площадь под графиком

равна 1, так как

.

1.4.4 Вероятность того, что НСВ Х примет значения в интервале

равна

. При

. Вероятность отдельного значения равна нулю.

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание – это среднее значение совокупности значений СВ.

Для ДСВ

, для НСВ

Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ от своего среднего значения . Пусть .

Для ДСВ:

, для НСВ:

Среднее квадратическое отклонение . – это абсолютное отклонение СВ от своего среднего значения.

Нормальное распределение

Обозначается

, где

– параметры нормального распределения,

Функция плотности вероятностей . определена на всей числовой оси, ; . Функция достигает при максимума, равного и имеет точки перегиба в точках и . При изменении значения график целиком перемещается вдоль оси х. При изменении значения график изменяется так: при увеличении значения в k раз максимальное значение уменьшается в k раз и график выполаживается.
Математическое ожидание , дисперсия .
Функция распределения .
Нормированное нормальное распределение . – функция Гаусса,

– функция Лапласа.

. Составлены таблицы этих функций. Они используются для вычисления задач для

. При этом

Вероятность того, что примет значения в интервале .

Примеры решения заданий
Задание 1. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения.

	-2	-1	0	1
	0,15	0,2	0,4	0,25

Найти функцию распределения

, построить её график. Вычислить

, математическое ожидание

, дисперсию

, средне квадратическое отклонение

.

Решение: Найдём функцию распределения

(по 2.3.2). Рассмотрим

в интервалах между значениями

по (2.2.1)

.

М
График

атематическое ожидание по (3.1) .

;

.

Д
0,5
исперсия по (3.2)

x
.

С
1

-1

-2
реднее квадратическое отклонение (по 3.3)

.

Задание 2. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятностей.

. Найти число k, функцию распределения

случайной величины Х. Построить график

. Вычислить математическое ожидание

и дисперсию

.

Решение: Найдем число

по (2.4.3)

;

. Найдем

по (2.4.2)

. Рассмотрим

при значениях х на данных интервалах

;

.

Г

1

4 х
рафики

х

4

Математическое ожидание по (3.1)

.

Дисперсия по (3.2)

.

Задание 3. Дана нормальная случайная величина

. Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал

. Построить схематический график плотности вероятности

.

Решение: Вероятность попадания случайной величины

по (4.5)

. Значение

находится по таблице функции Лапласа из приложения I. Схематический график

– колоколообразная кривая (по 4.1)

. Точка перегиба

;

f(x)

0,5

1

1,5

ЗАДАНИЯ (Каждая выбирает свой вариант по номеру в журнальном списке)

Сдать 06.11.2020 до 15.00
Задание 1. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

	-1	0	1	2