Дипломная работа функциональные уравнения на оси и полуоси содержание введение

• Название: Дипломная работа функциональные уравнения на оси и полуоси содержание введение
• Дата: 03.05.2023
• Размер: 3.15 Mb.
• Имя файла: funkcionalnye_uravnenija_na_osi_i_p.rtf
• Тип: Диплом; #1104553
• страница: 3 из 4

, метод приведения к билинейному функциональному уравнению , метод «исключения» аргумента [2][3].

2. Решение Функциональных уравнений Коши на множестве Q рациональных чисел
В нижеследующей главе будут рассмотрены функциональные уравнения
f (x + у) = f (x) + f (y), f (x + у) = f (x) f (y),

f (xy) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x) f (y),
для функций, заданных на множестве рациональных чисел Q.

Впервые эти уравнения были рассмотрены Огюстеном Луи Коши, который и дал их решения в непрерывных функциях. Далее сформулируем и докажем четыре теоремы.
2.1 Решение уравнений вида f(x+y)=f(x)+f(y) на Q
Теорема 2.1. Если функция f(t), заданная для всех значений t Q удовлетворяет уравнению
f (x + у) = f (x) + f (y), (2.1)
тождественно относительно х и у, то она имеет вид f(t) = Ct. Где C - постоянное число.

Доказательство:

►Прежде всего, с помощью метода математической индукции легко обобщить соотношение (2.1) на случай любого числа (=n) слагаемых :
(2.2)
Действительно, если допустить его верность для какого-либо числа (n ≥ 2) слагаемых , то оно окажется верным и для n + 1 слагаемых:

Полагая в (2.2) x=y=…=z, найдем:
f(nx)=n∙f(x) (2.3)
Заменив здесь nна , получим
(2.4)
а затем, если подставить mx (m-натуральное) вместо х и использовать предыдущее равенство, придем к соотношению
(2.5)
Положим теперь в основном уравнении (2.1) x=y=0; получим
f(0)=2f(0), так что f(0)=0. (2.6)
Если же взять y=-x, то, с учетом (3.7), найдем:

f(-x) = - f(x)

так что функция f(x) меняет знак при изменении знака x. А тогда из (2.3) и (2.5) легко вывести:
f(-nx)=-f(nx)= -n∙f(x) (2.7)
и, аналогично, вообще
(2.8)
Полученные соотношения (2.3) - (2.8) могут быть объединены в равенстве f(rx)=r∙f(x) справедливом для любого вещественного значения x, каково бы ни было рациональное число r.

Если здесь взять х=1, и обозначить f(1)=C, то получим
f®=Cr. (2.9)
Теорема доказана. ▲ [4]
Таким образом, мы установили вид функции f , принадлежащей классу функций, заданных на Q ( ). При этом мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет условию (2.1).
2.2 Решение уравнений вида f(x+y)=f(x) ∙ f(y) на Q
Следующей задачей будет нахождение всех заданных на Q функций f(x), удовлетворяющих условию:
f(x+y)=f(x)∙f(y), (2.10)
каковы бы ни были значения х и у. Уравнение (2.10) выражает общеизвестное правило умножения степеней:


Теорема 2.2. Если функция f(t), заданная для всех значений t Q удовлетворяет уравнению
f (x + у) = f (x)∙f (y),
тождественно относительно х и у, то она имеет вид f(t) = а^t, где а - неотрицательная постоянная. Доказательство:

►C помощью метода математической индукции легко обобщить соотношение (2.10) на случай любого числа (=n) слагаемых :
(2.11)
Действительно, если допустить его верность для какого-либо числа (n ≥ 2) слагаемых, то оно окажется верным и для n + 1 слагаемых

Полагая в (2.2) x=y=…=z, найдем:
f(nx)= f(x)ⁿ (2.12)
Заменив здесь nна , получим
(2.13)
а затем, если подставить mx (m-натуральное) вместо х и использовать предыдущее равенство, придем к соотношению
(2.14)
Положим теперь в основном уравнении (2.1) x=x, y=0; получим

f(x+0)= f(x)∙f(0),

так что
f(0)=1. (2.15)
Если же взять y=-x, то, с учетом (2.15), найдем:

= f(0) = f(x-x)=f(x) ∙f(-x) ,

откуда
(2.16)
А тогда из (2.14) и (2.16) легко вывести:
(2.17)
и, аналогично, вообще
(2.18)
Полученные соотношения (2.14) - (2.18) могут быть объединены в равенстве

f(rx)= f(x)^r

справедливом для любого рационального значения x, каково бы ни было рациональное число r.

Если здесь взять х=1, и обозначить f(1)=a, то получим
f(r)=a^r. (2.19)
Теорема доказана.▲

Таким образом, мы установили вид функции f, принадлежащей классу функций, заданных на Q ( ). При этом мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет условию (2.10).
2.3 Решение уравнений вида f(x∙y)=f(x)+ f(y) на Q
Функциональное уравнение
f(xy) = f(x)+f(y). (2.20)
Есть запись логарифмирования произведения:



Теорема 2.3. Если функция f(t), заданная для всех положительных значений t Q, притом не сводящаяся к нулю, удовлетворяет уравнению (2.20) тождественно относительно всех положительных значений х и у, то она имеет вид f(t)=log_at, где а - положительная постоянная.

Доказательство:

►Как и в двух предыдущих случаях, воспользуемся методом математической индукции. Обобщим соотношение (2.20) на случай любого числа (=n) переменных :
(2.21)

Действительно, если допустить его верность для какого-либо числа (n ≥ 2) сомножителей , то оно окажется верным и для n + 1 сомножителей :

Полагая в (2.21) x=y=…=z, найдем:
f(xⁿ)= n∙f(x) (2.22)
Заменив здесь nна , получим
(2.23)
а затем, если подставить mx (m-натуральное) вместо х и использовать предыдущее равенство, придем к соотношению
(2.24)
Положим теперь в основном уравнении (2.20) x=x, y=1; получим

f(x∙1)= f(x)+f(1),

так что f(1)=0. (2.25)

Если же взять y= , то, с учетом (2.25), найдем:

= f(1) = f(x )=f(x)+f( ) ,
откуда (2.26)
А тогда из (2.24) и (2.26) легко вывести:
(2.27)
и, аналогично, вообще
(2.28)
Полученные соотношения (2.23) - (2.28) могут быть объединены в равенстве
f(x^r)=r∙f(x) (2.29)
справедливом для любого положительного рационального значения x, каково бы ни было рациональное число r.

Рассмотрим равенство (2.29) при натуральных значениях rи положительных рациональных значениях x:

Не нарушая общности, можно записать x в виде , где a>0, a≠1 тогда для целого rможно записать:



и переписать равенство (2.29) в виде:
f( )=r∙f( ) (2.30)
введем функцию φ(t)=f(a^t) на всей области определения функции f(x), тогда (2.30) примет вид:
φ(t+t+…+t)=φ(r∙t)=r∙φ(t) (2.31)
функция φ(t) очевидно удовлетворяет уравнению (2.3), а значит и 2.1. то есть

φ(t) = Сt.

φ(log _a t) = С log _a t, тогда(a ^log a ^t) = С log _a t и окончательно:
f(t)= С log _a t (2.32)
Теорема доказана. ▲

Таким образом, мы установили вид функции f , принадлежащей классу функций, заданных на Q ( ) и удовлетворяющей (2.20)
2.4 Решение уравнений вида f(x∙y)=f(x) ∙ f(y) на Q
Наконец, рассмотрим функциональное уравнение
f(x∙y) = f(x) ∙ f(y). (2.33)
(при рациональных положительных x и y), это ничто иное, как правило возведения в степень произведения двух чисел:
,

Теорема 2.4. Если функция f(t), заданная для всех положительных значений t Q , притом не сводящаяся к нулю, удовлетворяет уравнению (2.33) тождественно относительно всех положительных значений х и у, то она имеет вид f(t)=t^μ, где μ - постоянное число.

Доказательство:

►Воспользуемся методом математической индукции. Обобщить соотношение (2.33) на случай любого числа (=n) переменных :
(2.34)
Действительно, если допустить его верность для какого-либо числа (n ≥ 2) сомножителей , то оно окажется верным и для n + 1 сомножителей :

Полагая в (2.21) x=y=…=z, найдем:
f(xⁿ)= f(x)ⁿ (2.35)
Заменив здесь nна , получим
(2.36)
а затем, если подставить mx (m-натуральное) вместо х и использовать предыдущее равенство, придем к соотношению
(2.37)
Положим теперь в основном уравнении (2.33) x=x, y=1; получим f(x∙1)= f(x)∙f(1),
так что f(1)=1. (2.38)
Если же взять y= , то, с учетом (2.38), найдем:
1= f(1) = f(x )=f(x)∙f( ), откуда (2.39)
А тогда из (2.37) и (2.39) легко вывести:
(2.40)
и, аналогично, вообще
(2.41)
Полученные соотношения (2.36) - (2.41) могут быть объединены в равенстве
f(x^r)=f(x)^r (2.42)
В самом деле, если дана определенная положительных для х Q функция f(x), удовлетворяющая условию (2.33), то прибегнув к той же подстановке,

, где a>0, a≠1 тогда для целого rможно записать:



и переписать равенство (2.29) в виде:
f( )= (2.43)
введем функцию φ(t)=f(a^t) на всей области определения функции f(x), тогда (2.30) примет вид:
φ(t+t+…+t)=φ(r∙t)= φ(t)^r(2.44)
функция φ(t) очевидно удовлетворяет уравнению (2.12), а значит и 2.10. то есть

φ(t) = c^t.

φ(log _a t) = c ^log a ^t, тогда(a ^log a^t) = c =

и окончательно:
f(t)= =t^μ (2.45)
(если положить μ=log_a c), что и требовалось доказать. ▲[2][3]

Таким образом, мы установили вид функции f , принадлежащей классу функций, заданных на Q ( ) и удовлетворяющей (2.33)

3. Решение Функциональных уравнений Коши на оси R
Полученные в предыдущей главе результаты, могут быть продолжены для функций, непрерывных на всей числовой оси R.

Если в дополнение к функциональным уравнениям (2.1), (2.10), потребовать еще и непрерывности, то формулировки и доказательства теорем (2.1-2.2) несколько изменятся (даже упростятся), результат же (то есть сами решения уравнений) останется тем же.

Покажем это, решив уравнения.
3.1 Решение уравнений вида f(x+y)=f(x)+f(y) на оси R
Найти все непрерывные в промежутке (-∞, +∞) функции f(x), удовлетворяющие условию:
f(x+y)=f(x)+f(y), (3.1)
каковы бы ни были значения х и у.

Легко видеть, что линейные однородные функции вида
f(x)=c∙x (c=const) (3.2)
удовлетворяют этому уравнению:
с(x+y)=cx+cy,
Для того чтобы установить, что это единственные непрерывные функции, удовлетворяющие (3.1), предположим, что некоторая непрерывная функция f(x) удовлетворяет (3.1), покажем, что она непременно имеет вид (3.2).

Теорема 3.1. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех значений t (- ∞; + ∞). Удовлетворяет уравнению (3.1) тождественно относительно х и у, то она имеет вид f(t) = Ct. Где C - постоянное число.

Доказательство:

►По Теореме 2.1 функция f , принадлежащей классу разрывных функций ( ) и удовлетворяющая условию (3.1), имеет вид f®=cr ,

Пусть теперь s будет любое иррациональное значение аргумента. Легко построить стремящуюся к нему последовательность рациональных чисел.

R₁, r₂, …, r_n, …

(можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби).

F(r_n)=cr_n(n=1,2,3…)

Перейдем к пределу при n→+∞; справа получим cs, слева же, именно ввиду предположенной непрерывности функции f, получится

limf(r_n)=f(s),

так что окончательно,

f(s)=cs.▲

Таким образом, действительно, наша функция при всех вещественных значениях аргумента выражается формулой (3.2). Эта формула дает решение уравнения (3.1) в классе непрерывных функций.
3.2 Решение уравнений вида f(x+y)=f(x) ∙f(y) на оси R
Найти все непрерывные в промежутке (-∞, +∞) функции f(x), удовлетворяющие условию:
f(x+y)=f(x)∙f(y), (3.3)
каковы бы ни были значения х и у.

Оказывается, что функциональным свойством (3.3), вместе со свойством непрерывности, вполне определяется показательная функция
f(x)=а ^x (a > 0) (3.4)
Точнее говоря, единственной функцией, определенной и непрерывной во всем промежутке (-∞, +∞) и удовлетворяющей в нем условию (3.3), является показательная функция (если не считать функции тождественно равной 0).

Иными словами, формула (3.4) - за указанным исключением - дает самое общее решение функционального уравнения (3.3) в непрерывных функциях.

Теорема 3.2. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех значений t (- ∞; + ∞). удовлетворяет уравнению (3.3) тождественно относительно х и у, то она имеет вид f(t) = а^t, где а - неотрицательная постоянная.

Доказательство:

►Для доказательства этого рассмотрим произвольную функцию f(x), Определенную и непрерывную при всех х, удовлетворяющую условию (3.3). Исключается тривиальный случай, когда f(x)≡0.

Итак, при некотором значении x=x₀ эта функция отлична от 0. Полагая в (3.3) y=x₀-x, получим

f(x)∙f(x₀-x) = f(x₀) ≠ 0;

отсюда ясно, что f(x) отлично от нуля при всяком x. Более того, заменяя в (3.3) x и y через , найдем:
,
так что f(x) всегда строго положительна.

Пользуясь этим, прологарифмируем равенство (3.3), например, по натуральному основанию е:

ln f(x+y) = ln f(x)+ln f(y).

Если положить

φ(x) = lnf(x),

то φ(x)есть непрерывная функция (как результат суперпозиции непрерывных) и удовлетворяющая условию:
φ (x+y) = φ (x)+ φ (y),
аналогичному (3.1). В таком случае, как мы установили, необходимо

φ(x) = ln f(x) = cx (c=const)

откуда, наконец,

f(x)=e^cx=a^x

(если положить a=e^c), что и требовалось доказать. ▲

Таким образом, мы показали, что уравнения f(x+y)=f(x)+f(y) и f(x+y)=f(x)∙f(y), имеют одинаковые решения среди функций, определенных на множестве рациональных чисел и на множестве всех действительных чисел. Эти решения имеют вид: f(x)=C∙x и f(x)=a^xсоответственно.

4. Решение Функциональных уравнений Коши на полуоси R₊
Рассмотрим теперь решения уравнений среди функций, определенных, непрерывных и удовлетворяющих этим уравнениям лишь на положительной полуоси R₊.

Сформулируем соответствующие теоремы для уравнений
f(x+y) = f(x) + f(y) (4.1)

f(x + y) = f(x) ∙ f(y) (4.2)

f(x∙y) = f(x) + f(y) (4.3)

f(x ∙ y) = f(x) ∙ f(y) (4.4)
требуя от функций определенности и непрерывности только на (0; +∞)
4.1 Решение уравнений вида f(x+y)=f(x)+f(y) на полуоси r₊
Теорема 4.1. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех значений t (0;+ ∞). Удовлетворяет уравнению f(x+y) = f(x) + f(y) тождественно относительно х и у, то она имеет вид f(t) = Ct. Где C - постоянное число.

Доказательство:

►Доказательство проведем аналогично теоремам (2.1) и (3.1), с учетом требования положительной области определения функции f.

C помощью метода математической индукции легко обобщить соотношение (4.1) на случай любого числа (=n) слагаемых :
(4.5)
Действительно, если допустить его верность для какого-либо числа (n ≥ 2) слагаемых , то оно окажется верным и для n + 1 слагаемых :

Полагая в (4.3) x=y=…=z, найдем:
f(nx)=n∙f(x) (4.6)
Заменив здесь nна , получим
(4.7)
а затем, если подставить mx (m-натуральное) вместо х и использовать предыдущее равенство, придем к соотношению
(4.8)
или

f(rx)=r∙f(x)

справедливом для любого положительного значения x, каково бы ни было положительное рациональное число r.

Если здесь взять х=1, и обозначить f(1)=C, то получим
f(r)=Cr. (4.9)
Пусть теперь s будет любое положительное иррациональное значение аргумента. Легко построить стремящуюся к нему последовательность рациональных чисел.

R₁, r₂, …, r_n, …

(можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби).

F(r_n)=cr_n(n=1,2,3…)

Перейдем к пределу при n→+∞; справа получим cs, слева же, ввиду предположенной непрерывности функции f, получится

limf(r_n)=f(s),

так что окончательно,

f(s)=cs, s>0▲
4.2 Решение уравнений вида f(x+y)=f(x)∙f(y) на полуоси r₊
Теорема 4.2. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех значений t (0; + ∞). удовлетворяет уравнению (4.2) тождественно относительно х и у, то она имеет вид f(t) = а^t, где а - неотрицательная постоянная.

Доказательство:

►Для доказательства этого рассмотрим произвольную функцию f(x), Определенную и непрерывную при всех х, удовлетворяющую условию (4.2). Исключается тривиальный случай, когда f(x)≡0.

Итак, при некотором значении 0<x=x₀ эта функция отлична от 0. Полагая в (4.2) 00 и 00-x, получим
f(x)∙f(x₀-x) = f(x₀) ≠ 0; (4.10)
отсюда ясно, что f(x) отлично от нуля при всяком 00.

C другой стороны,
f(2∙x₀)= f(x₀) ∙ f(x₀) ≠ 0

и вообще
f(n∙x₀)= f(x₀)ⁿ ≠ 0. (4.11)
Равенство (4.11)легко доказывается по индукции (см. теорему 2.2). Из (4.10) и (4.11) имеем: если , , .

Следовательно, функция fвсюду на R₊ отлична от 0.

Более того, заменяя в (4.2) x и y через , найдем:
,
так что f(x) всегда строго положительна.

Пользуясь этим, прологарифмируем равенство (4.2), например, по натуральному основанию е:

ln f(x+y) = ln f(x)+ln f(y).

Если положить

φ(x) = lnf(x),

то φ(x)есть непрерывная функция (как результат суперпозиции непрерывных) и удовлетворяющая условию:
φ (x+y) = φ (x)+ φ (y),
аналогичному (4.1). В таком случае, как мы установили, необходимо

φ(x) = ln f(x) = cx (c=const)

откуда, наконец,

f(x)=e^cx=a^x, x>0

(если положить a=e^c), что и требовалось доказать. ▲

4.3 Решение уравнений вида f(x∙y)=f(x)+f(y) на полуоси r₊
Если
f(x) = log_ax (a>0, a≠1) (4.12)
то при любых положительных значениях x и y f(x) будет удовлетворять уравнению (4.3)

И здесь это равенство, совместно с непрерывностью, вполне характеризует именно логарифмическую функцию.

Теорема 4.3. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех положительных значений t, притом не сводящаяся к нулю, удовлетворяет уравнению (4.2) тождественно относительно всех положительных значений х и у. то она имеет вид f(t)=log_at, где а - положительная постоянная.

Доказательство:

►Для доказательства возьмем произвольную функцию f(x), непрерывную для x>0 и удовлетворяющую этому уравнению. Введем новую переменную ξ, изменяющуюся в промежутке (-∞; +∞), и положим

,

откуда



Непрерывная (как суперпозиция непрерывных) функция φ(ξ) удовлетворяет условию



типа (3.1), значит,

и

если исключить случай с=0 (тогда f(x)≡0), то полученный результат может быть написан в виде

где . Этим все доказано ▲.
4.4 Решение уравнений вида f(x∙y)=f(x) ∙ f(y) на полуоси R₊
Наконец, обратимся к функциональному уравнению (4.4) (при любых положительных x и y)

Уравнение это, в соединении с непрерывностью, в данном случае характеризует степенную функцию.

Теорема 4.4. Если функция f(t), заданная и непрерывная для всех положительных значений t, притом не сводящаяся к нулю, удовлетворяет уравнению (4.4) тождественно относительно всех положительных значений х и у, то она имеет вид f(t)=t^μ, где μ - постоянное число.

Доказательство:

►В самом деле, если дана непрерывная для х>0 функция f(x), удовлетворяющая условию (4.4), то прибегнув к той же подстановке, что и в Теореме 4.3).

, получим:



φ(ξ) удовлетворяет уравнению (4.2), тогда (если исключить тривиальный случай)

, (a>0)

Отсюда

(если положить μ=ln a), что и требовалось доказать. ▲

Из вышеизложенного можно сделать вывод о том, что рассматриваемые уравнения f(x+y) = f(x) + f(y), f(x + y) = f(x) ∙ f(y), f(x∙y) = f(x) + f(y), f(x ∙ y) = f(x) ∙ f(y) будут иметь решения f(x)=C∙x, f(x)=a^x, f(x)=log_ax, f(x)=x^μдаже если требовать от функции f непрерывности только на положительной полуоси.

5. Решение Функциональных уравнений Коши в измеримых функциях
Для того чтобы рассматривать решения уравнений коши на множестве измеримых функций, дадим несколько необходимых определений [5,с.300]:

Определение 1: Пусть X - множество, на котором задана σ-аддитивная мера μ, определенная на σ-алгебре G_μ. Действительная функция f(x) на X называется μ-измеримой, если для всякого борелевского множества А числовой прямой
f^-1(A) .
Иначе: функцию f(x) называют измеримой, если все множества {x:f(x)<c}измеримы при любом действительном с.

Важнейшие свойства измеримых функций:

- Измеримая функция от измеримой функции есть измеримая функция.

Сумма, разность, произведение двух измеримых функций измеримы.

Частное двух измеримых функций, при условии, что знаменатель не обращается в нуль, тоже измеримо.

Предел сходящейся при каждом последовательности измеримых функций измерим

Функция f(x), определенная на некотором измеримом множестве Е и эквивалентная на нем некоторой измеримой функции g(x), тоже измерима (функции называют эквивалентными, если μ{x:f(x)≠g(x)}=0).

Определение измеримой функции, данное в начале главы, относится к функциям на произвольных множествах и в общем случае никак не связано с понятием непрерывной функции. Однако, если речь идет о функциях на отрезке, то имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. Н.Н. Лузиным.

Теорема 5.1. (Теорема Лузина). Для того, чтобы функция f(x), заданная на отрезке [a, b], была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε >0, существовала такая непрерывная на [a, b] функция φ(x), что

μ{x : f(x) ≠ φ (x)}< ε.[5, c.309]

С помощью свойств измеримых функций и воспользовавшись теоремой Лузина, будем искать решения функциональных уравнений Коши в классе измеримых функций:
5.1 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)+f(y) в измеримых функциях
Сформулируем и докажем следующую теорему:

Теорема 5.2. Если измеримая, ограниченная функция φ(x), удовлетворяет условию
ψ(x)+ ψ(y) = ψ(x+y) , (5.1)
то она имеет вид С∙x, где C .

Доказательство:

►Покажем, что всякая измеримая функция, удовлетворяющая (5.1) является непрерывной.

Так как ψ измерима, то она измерима на произвольном отрезке I длины l>0. По теореме Лузина для любого числа ε > 0 найдется замкнутое множество , такое, что сужение ψ на Fявляется непрерывной функцией и мера . Тогда существует последовательность замкнутых множеств , для которых , а сужение ψ на F_nнепрерывно, и более того, в силу компактности F_n равномерно непрерывно. Значит, найдется число , обеспечивающее выполнение неравенства


при и . Зафиксируем число δ_n, удовлетворяющее неравенствам 0 < δ_n< ξ_n = min(η_n, n^-2). Очевидно, что множество точек измеримо и мера не превосходит n^-2 + δ_n< 2∙n^-2. Тогда для , если по построению . Обозначим через множество точек ω, принадлежащих всем кроме конечного числа E_i/ Если ввести множества К_i=I-E_i, H=I-G, то будет множеством точек из I, принадлежащих бесконечно многим K_i: значит,



для всех j=1,2…, поэтому m(H)=0, a m(G)=l. Следовательно, для произвольной последовательности { δ_n }, удовлетворяющей ограничениям 0 < δ_n< ξ_n,
(5.2)
для почти всех .

Пусть теперь I-это отрезок [ω₁ , ω₂], а числа ω₀, ω подчинены неравенствам: ω₁ < ω < ω₀ <ω₂ . Тогда, взяв x= ω₀ -ω, y= ω+ δ_n, из (5.1) получаем

,

если же точка берется из множества G, то, согласно (5.2)

т.е.
(5.3)
для всех . Последовательность положительных чисел { δ_n } здесь не произвольна, поскольку зависит от интервала Iи δ_n . Пусть {θ_n }- любая последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. Предположим, что
(5.4)
Тогда из {θ_n } можно выбрать подпоследовательность {θ_ni } чисел , для которой в силу (5.3) имеем

Аналогичные рассуждения приводят нас к равенству

что противоречит (5.4).Значит, верхний и нижний пределы совпадают, и каждый из них равен ψ(ω₀). Так как от последовательности {θ_n}требуется лишь положительность, то функция ψ(ω) непрерывна справа в произвольной точке ω, поскольку отрезок может быть выбран произвольно.

Для доказательства непрерывности слева положим Ψ(x)= ψ(-x); тогда из (5.1) следует равенство Ψ(x)+ Ψ(y)= Ψ(x+y). Далее, аналогично тому, как это делалось выше, доказывается непрерывность Ψ справа в произвольной точке x₀. Отсюда вытекает непрерывность ψ слева в произвольной точке ω=-x₀. Итак, мы доказали, что произвольная измеримая функция ψ, удовлетворяющая уравнению (5.1) непрерывна. Тогда, по теореме (3.3) она имеет вид ψ(x)= С∙x. Теорема доказана. ▲ [6, c.18-20]
5.2 Решение уравнения вида f(x+y)=f(x)∙f(y) в измеримых функциях
Доказав, что измеримая функция ψ, удовлетворяющая уравнению (5.1) имеет вид ψ(x)= С∙x, мы можем найти также решение уравнения

φ(λ) ∙φ(γ) =φ(λ∙ γ)

в измеримых функциях.

Сформулируем и докажем теорему

Теорема 5.3. Если измеримая, ограниченная функция φ(λ), λ>0, удовлетворяет условию
φ(λ) ∙φ(γ) =φ(λ∙ γ) (5.5)
то она имеет вид λ^ρ, где ρ .
Доказательство:

► Для доказательства этого рассмотрим произвольную измеримую функцию φ(x), удовлетворяющую условию (5.5). Исключается тривиальный случай, когда φ(x)≡0.

Покажем, что если хотя бы в одной точке, то она свюду положительна. Положим в уравнении (5.5) γ=λ, тогда

≤ φ(λ)² =φ(λ²) (5.6)

то есть φ(x) ≥ 0, если х представим в виде квадрата некоторого числа, но по условиям теоремы φ определена на положительной полуоси, а любое положительное число представимо в виде квадрата некоторого числа.

Пусть далее при некотором λ₀>0 φ(λ₀)=0, тогда любое число γ>0 представимо в виде: и (5.5) принимает вид:
(5.7)
Противоречие с тем что φ не равна нулю тождественно.

Таким образом, φ всюду положительна, а значит, ее можно логарифмировать по любому основанию.

После преобразования ψ(x)=log φ(e^x) (5.5) переходит в функциональное уравнение Коши

ψ(x)+ ψ(y) = ψ(x+y) ,

где ψ конечна и измерима, а по теореме (5.2) непрерывна и имеет вид ψ(x)= С∙x.

Значит φ(x)=x^ρ. Теорема доказана. ▲

Аналогично проведем доказательства для двух оставшихся уравнений:
5.3 Решение уравнения вида f(x∙y)=f(x)+f(y) в измеримых функциях
Теорема 5.4. Если измеримая, ограниченная функция φ(x), x>0, удовлетворяет условию
φ(x) +φ(y) =φ(x∙ y) (5.8)
то она имеет вид log _a x, где a>0, a≠1.

Доказательство:

►После преобразования ,откуда



измеримая (как суперпозиция измеримых) функция ψ(ξ) удовлетворяет условию



типа (5.1), значит она непрерывна и имеет вид:

и

если исключить случай С=0 (тогда φ(x)≡0), то полученный результат может быть написан в виде


где . Этим все доказано ▲.
5.4 Решение уравнения вида f(x∙y)=f(x)∙f(y) в измеримых функциях
Теорема 5.5. Если измеримая, ограниченная функция φ(x), удовлетворяет условию
φ(x) ∙ φ(y) =φ(x +y) (5.9)
то она имеет вид a^x, где a>0.

Доказательство:

► Для доказательства этого рассмотрим произвольную измеримую функцию φ(x), удовлетворяющую условию (5.9). Исключается тривиальный случай, когда φ(x)≡0.

Итак, при некотором значении x=x₀ эта функция отлична от 0. Полагая в (5.9) y=x₀-x, получим

φ(x)∙ φ(x₀-x) = φ(x₀) ≠ 0;

отсюда ясно, что φ (x) отлично от нуля при всяком x. Более того, заменяя в (5.9) x и y через , найдем:
,
так что φ(x) всегда строго положительна.

Пользуясь этим, прологарифмируем равенство (5.9), например, по натуральному основанию е:

lnφ(x+y) = lnφ(x)+lnφ(y).

Если положить

ψ(x) = ln φ(x),

то ψ (x)есть измеримая функция (как результат суперпозиции измеримых) и удовлетворяющая условию:

ψ (x+y) = ψ (x)+ ψ (y),

аналогичному (5.1). В таком случае, как мы установили, необходимо

ψ (x) = lnφ (x) = Сx(С=const)

откуда, наконец,

φ (x)=e^cx=a^x

(если положить a=e^c), что и требовалось доказать. ▲

Таким образом, мы установили, что функциональные уравнения Коши:

f (x + у) = f (x) + f (y), f (x + у) = f (x) f (y), f (xy) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x) f (y) имеют решения соответственно вида Cx, e^Cx,