Дипломная работа функциональные уравнения на оси и полуоси содержание введение

• Название: Дипломная работа функциональные уравнения на оси и полуоси содержание введение
• Дата: 03.05.2023
• Размер: 3.15 Mb.
• Имя файла: funkcionalnye_uravnenija_na_osi_i_p.rtf
• Тип: Диплом; #1104553
• страница: 4 из 4

∙lnx, x^a как в множестве функций, непрерывных на Q, так и в множестве функций, непрерывных на всей числовой оси R, на полуоси R₊ , и вообще на любом измеримом множестве (в классе измеримых функций).

6. Некоторые обобщения и приложения
6.1 Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов
Если
f(x) = cos ax или ch ax (a ≥ 0) (6.1)
то, при любых вещественных значениях x и y,удовлетворяется соотношение
f(y+x)+f(y-x)=2f(x)∙f(y) (6.2)
Это с легкостью вытекает из теоремы сложения для обоих косинусов:
(6.3)
Функциональное уравнение (6.2) вместе с требованием непрерывности функции, и на этот раз полностью характеризует оба косинуса:

Единственными функциями, определенными и непрерывными в промежутке (-∞, +∞) и удовлетворяющими в нем уравнению (6.2), являются тригонометрический и гиперболический косинусы (6.1) (если, не считать функции, тождественно равной нулю).

►Итак, пусть f(x) будет непрерывная для всехx функция, удовлетворяющая условию (6.2). Полагая x=0и принимая за у какое либо из значений, для которого f(y)≠0, заключаем, что
f(0)=1. (6.4)
При y=0 в таком случае получается
f(-x)=f(x) (6.5)
так что функция f(x) оказывается четной.

Поскольку непрерывная функция f(x) при x=0 будет положительна, то найдется такое, скажем, положительное число с, что f(x) будет положительна на всем промежутке [0,c]. В дальнейшем исследование пойдет по разным путям, в зависимости от того, будет ли а) f(c) ≤ 1 или б) f(c) > 1. Займемся случаем а).

Так как 0 < f(c) ≤ 1, то найдется такое θ , что
f(c) = cos θ. (6.6)
Приведя затем основное соотношение (6.2) к виду :

f(y +x) = 2 f(x)∙f(y) - f(y - x),

станем в нем последовательно полагать

и т.д. Мы получим (с учетом (6.4) и (6.6))

и т.д. Пользуясь методом математической индукции, легко докажем для любого натурального m формулу
f(mc)=cosmθ(6.7)
если же в (6.2) положить , то получим (снова с учетом (6.4) и (6.6)):

так как f(x) остается положительной между 0 и с, а функция cos x - между 0 и θ, то, извлекая положительные корни в обеих частях, придем к равенству:

совершенно также, полагая в (6.2) x=y= , найдем , что

и т.д. Так, последовательно (математическая индукция!), получим и общее соотношение
(n=1, 2,3,…) (6.8)
Наконец, повторяя тот процесс, с помощью которого мы, отправляясь от (6.6) к (6.7), мы из (6.8) придем к равенству:


Итак, для положительных значений x вида имеем:
f(cx) =cos θx (6.9)
Но так как любое положительное число x можно представить как предел значений этого вида, то, с помощью предельного перехода (и опираясь на непрерывность функций f(x) и cos(x)), установим справедливость формулы (6.9) для всех x>0. Для x<0 она будет верна в силу (6.5), а для x=0 - в силу (6.4).

Если заменить в (6.9) x на и положить , то и получим окончательно:

f(x)=cosax.

В случае б) имеем: f(c)>1; тогда найдется такое θ, что

f(c) = chθ.

Повторяя дословно все проведенные только что рассуждения и опираясь на соотношения для гиперболического косинуса, совпадающие по форме с соответствующими соотношениями для тригонометрического косинуса, мы для рассматриваемого случая найдем, что

f(x)=chax. (a>0)

При a=0, по обеим формулам получили бы: f(x)≡1.▲
6.2 Решение уравнения для синуса на оси R
Наряду с уравнением (6.2), определяющим функции cosax и сhax, рассмотрим дифференциальное функциональное уравнение
f′(x - y)-f′(x + y)=2λf(x)∙f(y) λ≠0 (6.10)
и покажем, что при дополнительном требовании дважды дифференцируемости f(x) оно характеризует функции С sin αxи С sh αx(если не считать функции, тождественно равной 0)

► 1. при у=0, имеем
, f′( x)-f′(x)=2λf(x)∙f(0)=0 f(0)=0 (6.11)
2. при х=0, имеем

, f′(-у)-f′(у)=2λf(0)∙f(у)=0 f′(х)-четная

. продифференцируем (6.10) по у:

-f′′(x-y)-f′′(x+y)=2λf(x)∙f′(y)

при у=0 имеем

-2f′′(x)=2λf(x)∙f′(0)

f′(0)=с

f′′(x)+λ∙с∙f(x)=0

f(0)=0

f′(0)=с

для λ>0, будем рассматривать случаи, когда с=0, с<0, c>0

a) c=0:

f′′(x)=0

f′′(x)=C₁x+C₂

f(0)=f′(0)=0

C₁=C₂=0.

f(x)≡0

b) c<0:

f(x)= (0)=C₁+C₂=0

C₁=-C₂

f(x)= ′(x)= ′(0)= = (x)= ;

положив α=

f(x)= =-β sh λβx ;

b) c > 0:

f(x)= (0)=C₁ =0

f(x)= ′(x)= ′(0)=

C=

f(x)= ;

положив α=

f(x)= , ▲
6.3 Класс уравнений типа Коши
Сделаем далее еще одно обобщение. Классические функциональные уравнения Коши [8] f(x+y)=f(x)+f(y), f(x+y)=f(x)∙f(y), f(x∙y)=f(x)+f(y), f(x∙y)=f(x)∙f(y), имеющие непрерывные решения соответственно с∙x, , с∙lnx, x^с, связывают основные смежные (в смысле распределительного закона) арифметические операции сложения + и умножения ∙ .

В [9] указаны примыкающие к ним: «снизу» - операция x y = ln(e^x+e^y), «сверху» - операция x y=e^(lnx∙lny). Все эти операции являются звеньями «естественной цепи арифметических операций» [10], в которой += ₀, ∙ = ₊₁, так что ₊₁= ₊₂ (и вообще ). Их связывает класс функциональных уравнений типа Коши (название указывает на связь различных арифметических операций)

где m,n - целые числа. Решения некоторых уравнений (с малыми индексами) таковы:

m	n	Решение	m	n	Решение
-1	-2		+1	-2
-1	-1		+1	-1
-1	0		+1	0
-1	+1		+1	+1
-1	+2		+1	+2
0	-2		+2	-2
0	-1		+2	-1
0	0		+2	0
0	+1		+2	+1
0	+2		+2	+2

Наблюдающиеся здесь закономерности справедливы в общем случае.[7]
Заключение
В данной дипломной работе, посвященной решению некоторых функциональных уравнений на оси, был рассмотрен важнейший класс уравнений - класс уравнений Коши.

Были приведены некоторые методы решения функциональных уравнений, с помощью которых впоследствии были решены важнейшие функциональные уравнения элементарной математики,
f(x+у) = f (x) + f (y),

f (x + у) = f (x) f (y),

f (xy) = f (x) + (y),(xy) = f (x) f (y),
показано, что найденные решения могут служить для определения функции f(x)=Cx, а также показательной, логарифмической, степенной функций.

Утверждения были сформулированы в виде теорем для функций, определенных на Q, функций непрерывных на R и R₊, а также для любых измеримых функций. Все теоремы были доказаны и сделан вывод о том что решения имеют один и тот же вид для функций, определенных на Q, функций непрерывных на R и R₊, а также для любых измеримых функций.

Были решены уравнения, определяющие функции тригонометрический и гиперболический косинус. Также решено уравнение f′(x-y)-f′(x+y)=2λf(x)∙f(y), решения которого имеют вид f(x)=-βshλβx, , и f(x)=βsinλβx.

Было приведено также важное обобщение свойств уравнений типа Коши и сделан вывод:
Список использованных источников
1. Энциклопедия элементарной математики. Т.3. Под ред. П.С. Александрова, А.И. Маркушевича, А.Я. Хинчина. Государственное издательство технико-теоретической литературы. М.: 1952.-560 с.

. Функциональные уравнения. Квант, 1985.-- № 7.

. Прасолов, В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005. - 545 с.

. Фихтенгольц, Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М. : Наука, 1970.-616 с.

. Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2006. - 572 с.

. Сенета, Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1985.-143 с.

. Блюмин, С. Л. Класс уравнений типа Коши / Научный журнал "Фундаментальные исследования"// Российская Академия Естествознания [Электронный ресурс]. - Электрон. журн. - 2008. - №2 - Режим доступа: http://www.rae.ru

. Нечепуренко, М. И. Итерации вещественных функций и функциональные уравнения. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 1997.- 228 c.

9. Арнольд, И. В. Теоретическая арифметика. - М.: ГУПИ, 1938. - 480 с.

10. Carroll, M. The Natural Chain of Binary Arithmetic Operations and Generalized Derivatives [arXiv.org/math.HO/0112050]

Все о написании дипломных работ на сайте https://edunews.ru/students/vypusknaya/