Программная оболочка для численного решения краевых задач для систем двух связанных параболических уравнений. Программная оболочка для численного решения краевых задач для си. Дипломная работа Программная оболочка для численного решения краевых задач для систем двух связанных параболических уравнений
 Скачать 0.78 Mb.
|
1.2. Построение алгоритма численного решенияДля численного исследования решений задачи (1.1)-(1.3) построим алгоритм, использующий неявную разностную схему, которая аппроксимирует задачу с погрешностью O(  и является абсолютно устойчивой. Спроектируем данные уравнения системы на сетку, заменяя входящие в них функции сеточными, а частные производные – их простейшими разностными аппроксимациями:  ,  , (1.4) ,  (1.5)Подставляя разностные отношения (4), (5) в (1) получаем систему конечноразностных уравнений:   (1.6)Аппроксимируя граничные условия (2.3) разностными отношениями  ,  получаем:  (1.7) (1.8)Данную систему конечноразностных уравнений на каждом временном слое решаем методом прогонки. Рассмотрим первое уравнение системы (1.6). Представим его в следующем виде:  (1.9)где     ,где i=1,2,…,N-1 Решение будем искать в виде:  (1.10)где  -прогоночные коэффициенты. Возьмем i=i-1.Значение  , определяемое по формуле  , подставим в (1.9) и преобразуем опять к виду (1.10), получим вид прогоночных коэффициентов :  , i=1,…,N-1 (1.11)Из граничного условия  0 находим  и  .При i=0 получаем:  (1.12)Выражение (1.9) при i=0 принимает вид:  (1.13)Следовательно, чтобы выполнялось условие (1.12), положим в (1.13)  .Затем прямым ходом метода прогонки находим коэффициенты при i=1,2,…,N-1 по формуле (1.11).Из граничного условия  0 находим  .При i=N-1 получаем:  (1.14)Выражение (2.10) при i=N-1 принимает вид:  (1.15)Из (2.14) и (2.15) находим  Далее найдем  обратным ходом метода прогонки по формуле: ,где i=N-1, N-2,…,0. Тем самым, получим совокупность приближенных значений решения первого уравнения системы (1.6) в некоторой конечной системе точек. Аналогично рассмотрим второе уравнение системы (1.6). Представим его в следующем виде:  (1.16)где     ,где i=1,2,…,N-1 Решение будем искать в виде:  (1.17)где -прогоночные коэффициенты. Возьмем i=i-1.Значение  , определяемое по формуле  , подставим в (2.16) и преобразуем опять к виду (2.17), получим вид прогоночных коэффициентов : , i=1,…,N-1 (1.18)Из граничного условия  0 находим и .При i=0 получаем:  (1.19)Выражение (2.10) при i=0 принимает вид:  (1.20)Следовательно, чтобы выполнялось условие (1.19), положим в (1.20) .Затем прямым ходом метода прогонки находим коэффициенты при i=1,2,…,N-1 по формуле (2.18).Из граничного условия  0 находим  .При i=N-1 получаем:  (1.21)Выражение (1.9) при i=N-1 принимает вид:  (1.22)Из (1.21) и (1.22) находим  Далее найдем  обратным ходом метода прогонки по формуле: ,где i=N-1, N-2,…,0. Тем самым, получим совокупность приближенных значений решения второго уравнения системы (1.6) в некоторой конечной системе точек. Таким образом, решение  задачи (1.6) - (1.8) является решением исходной задачи (1.1) - (1.3) на целом интервале по времени t. |