эконометрика. вариант4. Для анализа зависимости цены автомобиля y от его возраста Х

• Название: Для анализа зависимости цены автомобиля y от его возраста Х
• Анкор: эконометрика
• Дата: 08.01.2023
• Размер: 0.63 Mb.
• Имя файла: вариант4.doc
• Тип: Задача; #876656
• страница: 1 из 4

Задача 1
В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительский свойствах и ценах.

Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста Х₁ и мощности двигателя Х₂ из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице1.

номер	цена	возраст	мощность
1	14,4	4	154
2	16,9	2	155
3	13	5	149
4	9,6	7	128
5	9,8	7	134
6	9,6	7	127
7	16,8	2	157
8	14,8	4	160
9	9,8	7	134
10	16,9	2	154
11	16	3	161
12	17,4	2	167
13	17,2	2	163
14	17,4	2	163
15	15,7	3	155
16	17,1	2	162

1. 
   Парные зависимости
   
   1. 
      Построить поля рассеяния для цены Y и возраста автомобиля Х₁, а также для цены Y и мощности двигателя Х₂. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от Х₁ и Y от Х₂ и записать их математически.
      

Построим поля рассеяния:



Рис. 1. Поле рассеяния для цены Y и возраста автомобиля Х₁



Рис. 2 Поле рассеяния для цены Y и мощности двигателя Х₂
На основе визуального анализа построенных полей рассеяния можно выдвинуть гипотезу о линейной зависимости цены от возраста Х₁ и мощности двигателя Х₂.

Математически данные зависимости запишутся в виде:

y = α₀+ α₁x₁ +

и y = β₀+ β₁x₁ + , где и - случайные переменные.
1.2. Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии:

y = α₀+ α₁x_1, y = β₀+ β₁x_1.

Составим вспомогательную таблицу для = α₀+ α₁x₁: (таблица 2)

i	yi	xi1	xi12	yi xi1	yi2
1	14,4	4	16	57,6	207,36
2	16,9	2	4	33,8	285,61
3	13	5	25	65	169
4	9,6	7	49	67,2	92,16
5	9,8	7	49	68,6	96,04
6	9,6	7	49	67,2	92,16
7	16,8	2	4	33,6	282,24
8	14,8	4	16	59,2	219,04
9	9,8	7	49	68,6	96,04
10	16,9	2	4	33,8	285,61
11	16	3	9	48	256
12	17,4	2	4	34,8	302,76
13	17,2	2	4	34,4	295,84
14	17,4	2	4	34,8	302,76
15	15,7	3	9	47,1	246,49
16	17,1	2	4	34,2	292,41
Σ	232,4	61	299	787,9	3521,52

т.к. n=16, то = = 14,525

= = 3,8125

тогда


таким образом, получаем уравнение регрессии:

Составим таблицу для = β₀+ β₁x₁: (таблица 3)

i	yi	xi2	xi22	yi xi2	yi2
1	14,4	154	23716	2217,6	207,36
2	16,9	155	24025	2619,5	285,61
3	13	149	22201	1937	169
4	9,6	128	16384	1228,8	92,16
5	9,8	134	17956	1313,2	96,04
6	9,6	127	16129	1219,2	92,16
7	16,8	157	24649	2637,6	282,24
8	14,8	160	25600	2368	219,04
9	9,8	134	17956	1313,2	96,04
10	16,9	154	23716	2602,6	285,61
11	16	161	25921	2576	256
12	17,4	167	27889	2905,8	302,76
13	17,2	163	26569	2803,6	295,84
14	17,4	163	26569	2836,2	302,76
15	15,7	155	24025	2433,5	246,49
16	17,1	162	26244	2770,2	292,41
Σ	232,4	2423	369549	35782	3521,52

т.к. n=16, то = = 14,525

= = 151,4375

тогда


таким образом, получаем уравнение регрессии:

1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.

Найдем коэффициент парной корреляции для = α₀+ α₁x₁:



проверим, существенно ли отличается найденный коэффициент корреляции от нуля. Найдем:



Сравним с квантилем распределения Стьюдента

Т.к. 45,407 >1,761, то коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная зависимость между y и
Найдем коэффициент парной корреляции для = β₀+ β₁x₂:



проверим, существенно ли отличается найденный коэффициент корреляции от нуля. Найдем:



Сравним с квантилем распределения Стьюдента

Т.к. 11,588 >1,761, то коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная зависимость между y и
1.4. Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9.

Для

Коэффициент детерминации: , т.е. вариация цены на 99% объясняется вариацией возраста автомобиля.

Фактическое значение F-статистики Фишера



При уровне значимости 0,1 табличное значение .

Т.к. , то признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии найдем , признается статистическая значимость коэффициентов регрессии.

Аналогично для :

Коэффициент детерминации: , т.е. вариация цены на 91% объясняется вариацией возраста автомобиля.

Фактическое значение F-статистики Фишера



При уровне значимости 0,1 табличное значение .

Т.к. , то признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии найдем , признается статистическая значимость коэффициентов регрессии.
1.5. Построить доверительные полосы надежности для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

Найдем доверительную полосу для уравнения регрессии , построим вспомогательную таблицу: (таблица 4)

ỹi	ỹi -yi	(ỹi -yi )2	(xi1-x1)2	Sy	1,761Sy	ỹн	ỹв
14,25	-0,15	0,02	0,04	0,07	0,12	14,13	14,37
17,21	0,31	0,10	3,29	0,09	0,16	17,05	17,37
12,77	-0,23	0,05	1,41	0,08	0,14	12,63	12,91
9,81	0,21	0,04	10,16	0,12	0,22	9,59	10,03
9,81	0,01	0,00	10,16	0,12	0,22	9,59	10,03
9,81	0,21	0,04	10,16	0,12	0,22	9,59	10,03
17,21	0,41	0,17	3,29	0,09	0,16	17,05	17,37
14,25	-0,55	0,30	0,04	0,07	0,12	14,13	14,37
9,81	0,01	0,00	10,16	0,12	0,22	9,59	10,03
17,21	0,31	0,10	3,29	0,09	0,16	17,05	17,37
15,73	-0,27	0,07	0,66	0,07	0,13	15,60	15,86
17,21	-0,19	0,04	3,29	0,09	0,16	17,05	17,37
17,21	0,01	0,00	3,29	0,09	0,16	17,05	17,37
17,21	-0,19	0,04	3,29	0,09	0,16	17,05	17,37
15,73	0,03	0,00	0,66	0,07	0,13	15,60	15,86
17,21	0,11	0,01	3,29	0,09	0,16	17,05	17,37
Σ		0,9848	66,44

, для каждого x_i1 рассчитаем
,

, где . Результаты расчетов для каждого приведены в таблице 4.

Значения определяют доверительный интервал для каждого . Линию регрессии и доверительную полосу изобразим на рисунке 1.
Найдем доверительную полосу для уравнения регрессии , построим вспомогательную таблицу: (таблица 5)

ỹi	ỹi -yi	(ỹi -yi )2	(xi2-x2)2	Sy	1,761Sy	ỹн	ỹв
15,09	0,69	0,48	6,57	0,25	0,45	14,64	15,54
15,31	-1,59	2,53	12,69	0,26	0,45	14,86	15,76
13,99	0,99	0,98	5,94	0,25	0,45	13,54	14,44
9,37	-0,23	0,05	549,32	0,52	0,91	8,46	10,28
10,69	0,89	0,79	304,07	0,42	0,74	9,95	11,43
9,15	-0,45	0,20	597,19	0,54	0,94	8,21	10,09
15,75	-1,05	1,10	30,94	0,27	0,48	15,27	16,23
16,41	1,61	2,59	73,32	0,30	0,53	15,88	16,94
10,69	0,89	0,79	304,07	0,42	0,74	9,95	11,43
15,09	-1,81	3,28	6,57	0,25	0,45	14,64	15,54
16,63	0,63	0,40	91,44	0,31	0,55	16,08	17,18
17,95	0,55	0,30	242,19	0,39	0,69	17,26	18,64
17,07	-0,13	0,02	133,69	0,34	0,59	16,48	17,66
17,07	-0,33	0,11	133,69	0,34	0,59	16,48	17,66
15,31	-0,39	0,15	12,69	0,26	0,45	14,86	15,76
16,85	-0,25	0,06	111,57	0,32	0,57	16,28	17,42
Σ		13,8344	2615,9375

, для каждого x_i1 рассчитаем
,

, где . Результаты расчетов для каждого приведены в таблице 5.

Значения определяют доверительный интервал для каждого . Линию регрессии и доверительную полосу изобразим на рисунке 2.

1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей, их возраст 3 года, мощность 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,9.
В зависимости от возраста:

Точечный прогноз:

Интервальный: , для x₀₁ рассчитаем
,

, где .





т.е. получили доверительный интервал (15,6 ; 15,86).

В зависимости от мощности:

Точечный прогноз:

Интервальный: S = 0,994;

, где



, т.е., получили доверительный интервал (16,87 ; 18,15).