лаба1. ДЗ№1_I. Домашнее задание 1 Механика
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
Домашнее задание №1 Механика Вариант 1 Задача 1 Точка движется по окружности согласно закону 𝜑 = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡 3 , где 𝑎 = 0,5 рад, 𝑏 = 5 рад с ⁄ , 𝑐 = −1 рад/с 3 Определить угловое ускорение 𝜀 точки в момент ее остановки. Задача 2 Брусок тащат с постоянной скоростью по горизонтальной поверхности, при этом сила направлена вдоль поверхности. С каким ускорением будет двигаться брусок, если тащить его с такой же по величине силой, но направленной под углом 45° к поверхности? Коэффициент трения скольжения равен 0,5. Задача 3 Небольшое тело подвешено на невесомой нерастяжимой нити. Нить с телом отвели в горизонтальное положение и отпустили. Найти величину полного ускорения тела в момент времени, когда вектор скорости составляет угол 30° с горизонтом. Задача 4 Материальная точка массой 100 г движется по окружности радиусом 1 м согласно уравнению 𝑙 = 3 + 𝑡 3 , м. Определить полное ускорение и момент действующей на материальную точку силы для момента времени , когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному Задача 5 На закрепленную горизонтальную поверхность положили однородный диск радиуса 𝑅 = 20 см, раскрученный предварительно до угловой скорости 𝜔 =10 рад/с. Определить время 𝑡 вращения диска на поверхности, если коэффициент трения диска о поверхность 𝜇 = 0,1? Задача 6 Колесо радиуса 0,2 м массой 5 кг равномерно распределенной по ободу вращается относительно неподвижной оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр, так, что зависимость угла поворота колеса от времени задается уравнением 𝜑 = 5 + 4𝑡 2 − 𝑡 3 , рад. Д ля момента времени t = 1 с , о пределить: момент импульса колеса; момент действующей на колесо сил ы; кинетическую энергию колеса Домашнее задание №1 Механика Вариант 2 Задача 1 Тело брошено под углом 30° к горизонту вниз с высокой башни с начальной скоростью 10 м/с. Через сколько секунд нормальное ускорение сравняется с тангенциальным? Задача 2 Тела 𝐴, 𝐵 и 𝐶 с массами, соответственно, 𝑚 𝐴 = 1 кг, 𝑚 𝐵 = 3 кг и 𝑚 𝐶 = 0,5 кг соединены невесомыми нитями и расположены так, как показано на рисунке. Пренебрегая силами трения и массой блоков, определить ускорение а, с которым будут двигаться тела, и разность натяжения ∆𝑇 нитей слева и справа от тела В. Задача 3 На покоящийся шар налетает со скоростью 2 м/с другой шар, одинаковой с ним массы. В результате абсолютно упругого удара двигавшийся шар изменил направление своего движения на 30°. Найти скорости шаров после удара. Задача 4 Зависимость углового ускорения колеса, вращающегося относительно неподвижной оси, перпендикулярной к его плоскост и и проходящей через его центр от времени задана уравнением 𝜀 = 2 + 3𝑡 2 , рад/с 2 Радиус колеса 0,3 м, масса 20 кг равномерно распределена по ободу. Найти уг ол поворота, совершаемый за время от 𝑡 1 = 1 с до 𝑡 2 = 3 с; полное число оборотов, сделанных колесом за это время; линейную скорость точек на ободе колеса; момент импульса колеса в момент времени 𝑡 2 = 3 с ( 𝜔 0 = 0 ). Задача 5 Однородный стержень длиной 𝑙 = 1 м подвешен на горизонтальной оси так, что ось проходит через его верхний конец. Какую минимальную скорость 𝓋 надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он совершил полный оборот? Задача 6 Платформа в виде диска радиуса 1 м вращается с частотой 6 об/мин. На краю платформы стоит человек массой 80 кг. Какую работу произведет человек, если перейдет в центр платформы? Масса платформы 120 кг. Домашнее задание №1 Механика Вариант 3 Задача 1 Определить полное ускорение 𝑎 точки, движущейся по окружности с постоянным тангенциальным ускорением 𝑎 𝜏 = 10 см/с 2 , в тот момент, когда точка пройдет половину окружности после начала движения. Задача 2 Грузы с массами 𝑚 1 = 0,2 кг и 𝑚 2 = 0,4 кг соединены нитью и расположены так, как показано на рисунке. Вся система грузов находится в лифте, который движется вверх с ускорением а = 5 м/с 2 . Определить силу 𝑇 натяжения нити, если коэффициент трения между грузом 𝑚 1 и столом 𝜇 = 0,3. Массами нити и блока пренебречь. Задача 3 Два шара с одинаковыми радиусами и массами 1 кг и 1,5 кг подвешены на нитях длины 2 м так, что они касаются друг друга. Меньший шар был отклонен на угол 60° и отпущен без толчка. Найти высоту, на которую поднимутся шары после абсолютно неупругого удара. Задача 4 Обруч, вся масса которого 1 кг равномерно распределена по ободу, вращается относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр. Радиус обруча 0,1 м. Зависимость момента импульса обруча от времени имеет вид 𝐿 = 0,05𝑡 2 , кг ∙ м 2 /с. Найти угловое ускорение и момент силы, действующей на обруч для момент а времени t = 10 с; работу силы за промежуток времени от 𝑡 1 = 1 с до 𝑡 2 = 2 с. Задача 5 Груз массы 𝑚 = 0,4 кг привязан к концу шнура, намотанного на барабан радиусом 𝑅 = 30 см. Момент инерции барабана 𝐼 = 0,3 кг ∙ м 2 . Определить время 𝑡, за которое груз опустится на расстояние ℎ = 1,5 м с начала вращения барабана. Задача 6 Материальная точка массой 2 г движется по окружности радиусом 2 м. Зависимость углов ой скорост и от времени задается уравнением 𝜔 = 0,4𝑡 2 рад с ⁄ Д ля момента времени 𝑡 = 2 с , найти нормальное, тангенциальное, полное ускорения точки и ее кинетическую энергию. Домашнее задание №1 Механика Вариант 4 Задача 1 Тело брошено с поверхности земли под углом 60° к горизонту. Начальная скоростью 10 м/с. Найти максимальное и минимальное значения радиуса кривизны траектории. Задача 2 Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением 0,9 м/с² по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиуса 100 м. Коэффициент трения скольжения между колесами и дорогой равен 0,9. Сколько времени будет двигаться машина без скольжения, если начальная скорость равна нулю. Задача 3 По гладкой горизонтальной поверхности едет тележка массой 75 кг с человеком массой 50 кг. Скорость тележки 4 м/с. Человек спрыгивает с тележки назад в горизонтальном направлении со скоростью 3 м/с относительно тележки. Найти, с какой скоростью начала двигаться тележка. Задача 4 На блок массой 0,2 кг и радиусом 10 см намотана невесомая нерастяжимая нить, к концу которой привязан груз массой 1 кг. В оси блока имеется трение. Найти момент силы трения, если за 10 с после начала движения груз опустился на 1 м. Задача 5 Однородный сплошной цилиндр радиуса 𝑅 =6 см и массы 𝑀 = 0,4 кг способен вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. Через цилиндр перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами 𝑚 1 = 0,8 кг и 𝑚 2 = 0,5 кг. Определить угловое ускорение 𝜀 цилиндра и отношение 𝑇 1 𝑇 2 ⁄ натяжений нити. Скольжение нити относительно цилиндра отсутствует. Задача 6 Обруч, вся масса которого 1 кг равномерно распределена по ободу, вращается относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр. Радиус обруча 0,1 м. Зависимость момента импульса обруча от времени имеет вид 𝐿 = 0,05𝑡 2 , кг ∙ м 2 /с. Найти угловое ускорение и момент силы, действующей на обруч для момент а времени t = 10 с; работу силы за промежуток времени от 𝑡 1 = 1 с до 𝑡 2 = 2 с. Вариант 5 Задача 1 Скорость материальной точки, движущейся в положительном направлении оси 𝑥, меняется по закону 𝓋 = 𝑘 √ 𝑥, где 𝑘 = 2 м 1/2 /с При 𝑡 = 0 координата точки 𝑥 = 0. Определить скорость 𝓋 и ускорение точки в момент времени 𝑡 1 = 5 с. Задача 2 Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала угол 90° с вертикалью, а затем отпустили без толчка. Найти угол отклонения шарика от вертикали, при котором сила натяжения нити равна mg. Задача 3 Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что величина его ускорения в крайнем положении в 2 раза больше величины ускорения в нижнем положении. Найти максимальный угол отклонения нити от вертикали. Задача 4 Деревянный стержень массой 2 кг и длиной 1 м, расположенный горизонтально, может вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через его конец. В другой конец стержня попадает пуля массой 0,02 кг, летящая горизонтально со скоростью 600 м/с, перпендикулярно стержню. Определить скорость, с которой будет вращаться стержень, если пуля застрянет в нем. Пулю можно считать материальной точкой. Задача 5 Горизонтальная платформа в виде однородного диска радиуса 𝑅 = 2 м и массы 𝑀 = 200 кг вращается без трения с частотой 𝑛 1 = 5 мин −1 вокруг вертикальной оси, проходящей через центр диска. На краю платформы стоит человек массой 𝑚 = 65 кг. Определить работу 𝐴, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. Задача 6 Маховое колесо вращается с постоянной угловой скоростью 𝜔 = 60 рад⁄с относительно оси, проходящей через его центр. Кинетическая энергия колеса 9000 Дж. За какое время вращающий момент сил 𝑀 = 30 Н∙м, приложенный к этому маховику, увеличит его угловую скорость в два раза; во сколько раз возрастет при этом кинетическая энергия? Домашнее задание №1 Механика Вариант 6 Задача 1 Колесо вращается вокруг неподвижной оси по закону 𝜑 = 𝐴𝑡 3 , где 𝐴 − положительная постоянная. Найти полное ускорение точки колеса, находящейся на расстоянии 𝑟 0 от оси вращения, через время 𝑡 0 после начала движения. Задача 2 На горизонтальной поверхности лежит ящик массой 60 кг. Найти минимальную силу, которую надо приложить к ящику, чтобы сдвинуть его с места. Под каким углом к горизонту должна быть направлена эта сила? Коэффициент трения скольжения равен 0,5. Задача 3 Пуля массой 20 г пробивает шар массой 100 г, неподвижно висящий на нити, и вылетает из него со скоростью, в 2 раза меньшей, чем до удара. Шар отклоняется при этом на некоторый угол. Какая часть первоначального запаса кинетической энергии перешла в тепло? Задача 4 В центре неподвижного горизонтального диска, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, стоит человек и держит в руках велосипедное колесо. Ось колеса направлена вертикально вверх и совпадает с осью диска. Радиус колес а 0,3 м, масса 3 кг равномерно распределена по ободу. Радиус диска 0,5 м, масса диска 60 кг. С какой угловой скоростью будет вращаться диск, если человек сообщит колесу угловую скорость 20 рад с ⁄ относительно Земли? Моментом инерции человека принебречь. Задача 5 Два тела массами 𝑚 1 = 0,3 кг и 𝑚 2 = 0,5 кг соединены невесомой нитью, перекинутой через блок в виде тонкостенного цилиндра массой 𝑚 3 = 0,1 кг. Первое тело скользит по горизонтальной поверхности стола; коэффициент трения 𝜇 = 0,3. Определить силы натяжения нити 𝑇 1 и 𝑇 2 по обе стороны блока, а также величину 𝑎 ускорения этих тел. Задача 6 Шар и диск имеют одинаковую массу и катятся по горизонтальной поверхности без скольжения с одинаковой постоянной скоростью. Кинетическая энергия шара 70 Дж. Определить: кинетическую энергию диска; расстояние, которое пройдут диск и шар до полной остановки, если на них начнет действовать постоянная сила сопротивления 5 Н. Домашнее задание №1 Механика Вариант 7 Задача 1 При движении материальной точки по окружности радиуса 𝑅 = 5 см зависимость пройденного пути 𝑆 от времени 𝑡 описывается уравнением 𝑆 = 0,2𝑡 3 см/с 3 . Определить нормальное 𝑎 𝑛 и тангенциальное 𝑎 𝜏 ускорения точки в момент, когда ее линейная скорость 𝓋 = 10 см/с. Задача 2 Грузы с одинаковыми массами 𝑚 = 0,5 кг соединены нитью и расположены так, как показано на рисунке. Определить силу давления 𝐹 на ось блока, если коэффициент трения между наклонной плоскостью и лежащим на ней грузом 𝜇 = 0,3, а угол плоскости с горизонтом 𝛼 = 30°. Нить и блок считать невесомыми, трением в оси блока пренебречь. Задача 3 Небольшому телу сообщили начальную скорость 3 м/с, в результате чего оно начало двигаться поступательно вверх по наклонной плоскости, образующей угол 45° с горизонтом. Коэффициент трения скольжения равен 0,22. Найти скорость, с которой тело вернется в исходное положение. Задача 4 На горизонтальной платформе, вращающейся вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, стоит человек и держит на вытянутых руках две одинаковые гири массой по 2 кг каждая . П ри этом расстояние от оси платформы до каждой гири 0,75 м. Платформа вращается, делая 1 об/с. Человек сближает гири так, что их расстояние до оси платформы становится равным 0,4 м, а частота оборотов увеличивается до 1,2 об/с. Определить момент инерции платформы с человеком, считая его постоянным, а гири материальными точками. Задача 5 Однородный шар скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей угол 𝛼 = 45° с горизонтом. Определить время 𝑡 скатывания, если длина наклонной плоскости 𝑙 = 2 м. Силами трения пренебречь. Задача 6 Пластичный шар массой 𝑚 = 3 кг и радиусом 𝑅 = 10 см раскрутили до угловой скорости 𝜔 = 60 рад/с. В процессе вращения шар деформировался в эллипсоид с моментом инерции 𝐼 = 1,8 ∙ 10 −2 кг ∙ м 2 . Найдите изменение кинетической энергии системы. Домашнее задание №1 Механика Вариант 8 Задача 1 Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону 𝜑 = 𝐴𝑡 3 , где 𝐴 − положительная постоянная. Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости для произвольной точки тела через время 𝑡 0 после начала движения. Задача 2 На горизонтальной поверхности лежит ящик массой 60 кг. Найти минимальную силу, которую надо приложить к ящику, чтобы сдвинуть его с места. Под каким углом к горизонту должна быть направлена эта сила? Коэффициент трения скольжения равен 0,5. Задача 3 Два шара претерпевают центральный абсолютно неупругий удар. До удара шар массы M 2 неподвижен, шар массы М 1 движется с некоторой скоростью. Какая часть первоначальной кинетической энергии теряется при ударе, если М 1 =10М 2 Задача 4 Материальная точка массой 30 г движется по окружности радиусом 1,5 м согласно уравнению 𝑙 = 3 + 2𝑡 3 , м. Определить полное ускорение и момент действующей на материальную точку силы для момента времени , когда нормальное ускорение будет равно тангенциальному Задача 5 Сплошной однородный цилиндр массой 𝑚 = 1 кг катится без проскальзывания, ударяется о стенку со скоростью 𝓋 1 = 1,5 м/с и откатывается от нее со скоростью 𝓋 2 = 1,1 м/с. Определить количество теплоты 𝑄, выделившееся при ударе. Задача 6 Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности, вращаясь вокруг своей оси с угловой скоростью 25 рад/с. Кинетическая энергия шара 14 Дж. Найти момент импульса шара относительно оси вращения. Домашнее задание №1 Механика Вариант 9 Задача 1 Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса 𝑅 = 20см с постоянным тангенциальным ускорением, причем к концу третьего оборота ее линейная скорость 𝓋 = 20 см/с. Определить нормальное ускорение 𝑎 𝑛 точки через 𝑡 = 5 с после начала движения. Задача 2 Небольшому телу сообщили начальную скорость 3 м/с, в результате чего оно начало двигаться поступательно вверх по наклонной плоскости, образующей угол 45° с горизонтом. Коэффициент трения скольжения равен 0,22. Найти время, за которое тело вернется в исходное положение. Задача 3 На легкой нерастяжимой нити подвешен тяжелый шарик. На какой угол нужно отвести нить от положения равновесия, чтобы при последующих качаниях максимальная сила натяжения нити была в 3 раза больше минимальной? Задача 4 Человек находится на краю неподвижной платформы, которая расположена горизонтально и может вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр. Масса человека 50 кг, масса платформы 70 кг, радиус платформы 5 м. С какой линейной скоростью относительно платформы начал двигаться человек по ее краю, если при этом платформа вращается с угловой скоростью 0,2 рад⁄с? Считать платформу однородным диском, а человека материальной точкой. Задача 5 Тонкий стержень длины 1 м и массы 0,6 кг может вращаться без трения вокруг перпендикулярной ему оси, отстоящей от центра стержня на расстояние 0,1 м. Стержень приводится в горизонтальное положение и отпускается без толчка. Найти угловое ускорение стержня в начальный момент времени и угловую скорость стержня в момент прохождения им положения равновесия. Задача 6 Шар и тонкостенный цилиндр имеют одинаковую массу и катятся по горизонтальной поверхности без скольжения с одинаковой постоянной скоростью. Кинетическая энергия шара 50 Дж. Определить: кинетическую энергию цилиндра; расстояние, которое пройдут цилиндр и шар до полной остановки, если на них начнет действовать постоянная сила сопротивления 2 Н. Домашнее задание №1 Механика Вариант10 Задача 1 Твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной оси с постоянным ускорением, достигло угловой скорости 1,2 рад/с за 0,5 оборотов. Какой угол составляет в этот момент времени вектор полного ускорения с вектором скорости для произвольной точки тела. Задача 2 На полу лифта закреплен клин, который образует угол 45° с поверхностью пола. С каким ускорением относительно клина будет скользить по нему брусок, если лифт движется вниз с ускорением 4,8 м/с². Коэффициент трения скольжения равен 0,4. Задача 3 Небольшому телу сообщили начальную скорость 3 м/с, в результате чего оно начало двигаться поступательно вверх по наклонной плоскости, образующей угол 45° с горизонтом. Коэффициент трения скольжения равен 0,22. Найти скорость, с которой тело вернется в исходное положение. Задача 4 Платформа в виде диска вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой 𝑛 = 15 оборотов в минуту. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота вращения возросла до 25 оборотов в минуту. Масса человека 𝑚 = 70 кг. Определить массу платформы 𝑀 Человека считать точечной массой. Задача 5 Обруч, вся масса которого распределена равномерно по его окружности, катится по горизонтали со скоростью 2 м/с. Определить , на какое расстояние он прокатится вверх по наклонной плоскости до полной остановки, если угол наклона плоскости к горизонту 5 °. Задача 6 Три одинаковых стержня скреплены с помощью шарниров А и В в П-образную конструкцию и вращаются вокруг вертикальной оси симметрии ОО' . Длина каждого стержня равна 10 см, угловая скорость вращения 𝜔 = 30 рад/с. В некоторый момент , скрепляющая верхние концы нить обрывается, и верти- кальные стержни принимают горизонтальное положение. Какой станет кинетическая энергия конструкции? Домашнее задание №1 Механика Вариант 11 Задача 1 Мяч бросают с земли со скоростью 𝓋 = 10 м/с под углом 𝛼 = 45 ° к горизонту. С какой высоты ℎ следует бросить мяч с той же начальной скоростью, но в горизонтальном направлении, чтобы он упал на то же место? Задача 2 Шар радиусом 25 см вращается с угловой скоростью 1 рад/с вокруг вертикального диаметра. На поверхности шара на расстоянии 25 см (по прямой) от вершины лежит небольшая шайба. Найти минимальный коэффициент трения, при котором шайба не соскальзывает с шара. Задача 3 Движущийся шар налетает на покоящийся шар такой же массы. Удар абсолютно упругий, но не центральный. Определить угол 𝛼 между направлениями скоростей шаров после удара. Задача 4 Шар начинает вращаться относительно оси, проходящей через его центр, с постоянным угловым ускорением 𝜀 = 0,5 рад с 2 ⁄ Найти момент силы, которой надо сообщить шару, чтобы через 10 с после начала движения он приобрел момент импульса 𝐿 = 90 кг∙м 2 /с; работу этой силы за 10 с. Задача 5 Платформа в виде горизонтального диска массой 200 кг и радиусом 1 м вращается вокруг вертикальной оси с частотой 6 об/мин. На краю платформы стоит человек массой 75 кг. Человек ловит мяч массой 1 кг, летящий горизонтально со скоростью 5 м/с на расстоянии, равном радиусу платформы, от ее центра. С какой частотой будет вращаться платформа? Рассмотреть случай движения мяча по направлению движения платформы. Задача 6 Пластичный шар массой 𝑚 = 3 кг и радиусом 𝑅 = 10 см раскрутили до угловой скорости 𝜔 = 60 рад/с. В процессе вращения шар деформировался в эллипсоид с моментом инерции 𝐼 = 1,8 ∙ 10 −2 кг ∙ м 2 . Найдите изменение кинетической энергии системы. Домашнее задание №1 Механика Вариант 12 Задача 1 Материальная точка движется в плоскости 𝑥𝑦 по закону: 𝑥 = 6𝑡, м и 𝑦 = 10𝑡 2 , м. Найти радиус кривизны траектории в начальный момент времени. Задача 2 Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наименьшую скорость он должен развить, чтобы, выключив мотор, проехать по вертикальному треку, имеющему форму «мертвой петли» радиуса 4 м? Вращение колес не учитывать. Задача 3 Частица массы m 1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей массы m 2 . Найти, какую долю первоначальной кинетической энергии потеряла первая частица, если она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения. Задача 4 Горизонтальный стержень длиной 0,8 м и массой 1,5 кг вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его конец, с угловой скоростью 𝜔 = 50 рад с. ⁄ В некоторый момент времени к свободному концу стержня приложена тормозящая сила 3,2 Н, линия действия которой лежит в горизонтальн ой плоскости и составляет угол 𝛼 = 30° с осью стержня Найти число оборотов, сделанных стержнем за 10 с действия силы; момент импульса стержня через 10 с после начала действия силы. Задача 5 Шар, масса которого 1 кг, катится без скольжения со скоростью 10 м/с, ударяется о стену и откатывается от нее. При ударе выделяется 44,8 Дж тепла. Определить: скорость после удара; изменение импульса шара при ударе. Задача 6 Две гири, массами 2 кг и 3 кг соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, массой 1 кг. Блок является однородным диском. Определить: ускорение, с которым движутся гири; силы натяжения нитей; кинетическую энергию системы через 1 с после начала движения. Домашнее задание №1 Механика Вариант13 Задача 1 Горизонтально брошенный мяч имеет начальную скорость 𝓋 = 5 м/с. Определить радиус кривизны 𝑅 его траектории через 𝑡 = 1 с после начала движения. Задача 2 Небольшое тело пустили снизу вверх вдоль наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом и имеющей высоту 0,5 м. Начальная скорость тела 5 м/с. Найти скорость тела в высшей точке отрыва от плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,346. Задача 3 Два шара массами 𝑚 1 =3 кг и 𝑚 2 = 5 кг подвешены на нитях одинаковой длины 𝑙 = 2, 5 м в одной точке. Шар меньшей массы отвели на угол 𝛼 = 60° от вертикали и отпустили. Определить, на какую высоту h поднимется второй шар, если их столкновение центральное и абсолютно упругое. Задача 4 Столб высотой 3 м и массой 50 кг падает из вертикального положения на землю. Записать зависимость момента импульса столба относительно точки опоры от угла между столбом и вертикалью. Вычислить этот момент импульса в момент падения столба на землю. Задача 5 Какую минимальную скорость должен иметь центр масс цилиндра у основания наклонной плоскости, чтобы, покатившись вверх без скольжения, иметь на высоте 0,8 м вдвое меньшую скорость. Задача 6 Телеграфный столб высотой 5 м подпиливают у основания. Записать зависимость линейной скорости верхнего конца столба от угла, образованного столбом с вертикалью и вычислить эту скорость в момент падения столба на землю. Домашнее задание №1 Механика Вариант 14 Задача 1 Тело брошено под углом к горизонту. Наибольшая высота подъема тела равна 6 м, а радиус кривизны траектории в высшей точке равен 4 м. Найти величину нормального ускорения в точке бросания. Задача 2 Брусок тащат с постоянной скоростью по горизонтальной поверхности, при этом сила направлена вдоль поверхности. С каким ускорением будет двигаться брусок, если тащить его с такой же по величине силой, но направленной под углом 45° к поверхности? Коэффициент трения скольжения равен 0,5. Задача 3 На легкой нерастяжимой нити подвешен тяжелый шарик. На какой угол нужно отвести нить от положения равновесия, чтобы при последующих качаниях максимальная сила натяжения нити была в 3 раза больше минимальной? Задача 4 Тонкий обруч радиуса 20 см раскрутили вокруг его оси до скорости 8 рад/с и положили плашмя на горизонтальный стол. Через какое время обруч остановится, если коэффициент трения между столом и обручем равен 0,1. Задача 5 Однородный тонкий стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку, которая делит длину стержня в отношении 1:3. В верхний конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 10 м/с, и застревает в нем. Найти угловую скорость стержня после удара, если длина стержня 1 м, а его масса 0,2 кг. Задача 6 Шар массой 500 г может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр инерции. Пуля массой 10 г, летящая со скорость 200 м/с горизонтально на расстоянии от оси, равном половине радиуса шара, попадает в шар и застревает в нем. Найти кинетическую энергию шара после удара. Домашнее задание №1 Механика Вариант 15 Задача 1 Зависимость угла поворота 𝜑 диска от времени t задана уравнением 𝜑 = 0,5𝑡 3 рад/с 2 . Точка на ободе диска через 𝑡 1 = 5 с после начала движения имеет линейную скорость 𝓋 = 0,2 м/с. Определить полное ускорение 𝑎 точки в этот момент времени. Задача 2 Небольшое тело подвешено на невесомой нерастяжимой нити. Нить с телом отвели в горизонтальное положение и отпустили. Найти величину полного ускорения тела в момент времени, когда вектор скорости составляет угол 30° с горизонтом. Задача 3 Два шара массами 𝑚 1 = 5 кг и 𝑚 2 = 8 кг подвешены на нитях одинаковой длины 𝑙 = 2 м в одной точке. Шар меньшей массы отвели на угол 𝛼 = 45° от вертикали и отпустили. Определить, на какую высоту h поднимутся шары, если их столкновение центральное и абсолютно неупругое. Задача 4 Тонкий стержень длиной 1 м подвешен за один конец и может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. К той же оси подвешен небольшой шарик такой же массы, как и стержень. Шарик отклонили на некоторый угол и отпустили. При какой длине нити шарик после абсолютно упругого удара о стержень остановится? Задача 5 Расположенный горизонтально однородный круглый цилиндр массы 10 кг, вращается без трения вокруг своей оси под действием груза массы 1 кг, прикрепленного к легкой нерастяжимой нити, намотанной на цилиндр. Найти на какое расстояние опустится груз через 2 с после начала движения. Задача 6 Горизонтальная платформа в виде диска массой 100 кг и радиусом 2 м вращается с угловой скоростью 5 рад/с вокруг своей вертикальной оси. В центре платформы стоит человек и держит горизонтально за середину стержень длиной 1 м и массой 3 кг. Человек поворачивает стержень так, что он становится вдоль оси вращения. Найти работу, совершенную человеком. Домашнее задание №1 Механика Вариант 16 Задача 1 Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы радиус кривизны траектории в высшей точке был равен максимальной высоте полета? Задача 2 Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением 0,9 м/с² по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиуса 100 м. Коэффициент трения скольжения между колесами и дорогой равен 0,9. Сколько времени будет двигаться машина без скольжения, если начальная скорость равна нулю. Задача 3 На легких стержнях длиной 0,5 м висят два шара массами М и 2М, где М =200 г. Стержни могут свободно вращаться в вертикальной плоскости. Между шарами вставлена небольшая сжатая пружина с коэффициентом упругости 30 кН/м. Найти, на сколько была сжата пружина, если при ее восстановлении стержень с более легким шаром стал в вертикальное положение. Задача 4 Неподвижный горизонтальный стержень массой 3 кг может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. В другой его конец попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально перпендикулярно стержню со скоростью 400 м/с, и застревает в нем. Найти величину постоянного момента сил трения в оси стержня, если стержень остановился, совершив после удара только один оборот. Задача 5 Вал массой 100 кг и радиусом 5 см вращался с частотой 10 об/с. К цилиндрической поверхности вала прижали колодку с силой 40 Н. Коэффициент трения колодки о поверхность вала равен 0,5. Найти, через какое время вал остановится. Задача 6 На горизонтальном стержне длиной 30 см с помощью шарниров закреплены четыре вертикально расположенных стержня 1-2-3-4 длиной по 10 см каждый (рис. а). Система вращается вокруг вертикальной оси симметрии ОО', делая каждую секунду по 10 оборотов. Расстояния между соседними стержнями одинаковы и равны 10 см. Как изменится кинетическая энергия системы, если вертикальные стержни примут горизонтальное положение (рис. б)? Стержни однородны. Домашнее задание №1 Механика Вариант 17 Задача 1 Точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением 𝜀 = 5 рад/с 2 так, что через 𝑡 = 3 с после начала движения полное ускорение точки 𝑎 = 10 м/с 2 . Определить радиус 𝑅 окружности. Задача 2 Два тела 1 и 2 одинаковой массы соединены легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, как показано на рисунке. С каким минимальным ускорением а следует двигать брусок А, чтобы оба тела оставались неподвижными относительно бруска? Коэффициент трения между бруском и обоими телами 𝜇 = 0,2. Задача 3 В результате центрального абсолютно упругого столкновения двух шаров, один из которых был неподвижным, скорость движущегося шара уменьшилась в 𝑛 = 2 раза . Движущийся шар до столкновения обладал кинетической энергией 𝐸 кин1 = 500 Дж. Определить кинетическую энергию 𝐸´ кин2 другого шара после столкновения. Задача 4 Горизонтальная платформа в виде диска массой 7 кг и радиусом 1 м вращается вокруг своей вертикальной оси с угловой скоростью 1 рад/с. На краю платформы стоит человек массой 60 кг и держит в руках мяч массой 0,5 кг. Человек, не сходя с места, бросает горизонтально мяч со скоростью 20 м/с в сторону, противоположную вращению платформы. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа? Задача 5 Сколько времени будет скатываться без скольжения однородный сплошной цилиндр с наклонной плоскости длиной 2 м и высотой 30 см? Задача 6 Пуля массой 10 г летит со скоростью 800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой 3000 1/с. Принимая пулю за цилиндр диаметром 8 мм, определить полную кинетическую энергию пули. Домашнее задание №1 Механика Вариант 18 Задача 1 Тело брошено под углом 60° к горизонту со скоростью 10 м/с. Найти радиус кривизны траектории в точке, где вектор скорости составляет угол 45° с горизонтом. Задача 2 На полу лифта закреплен клин, который образует угол 45° с поверхностью пола. С каким ускорением относительно клина будет скользить по нему брусок, если лифт движется вниз с ускорением 4,8 м/с². Коэффициент трения скольжения равен 0,4. Задача 3 В результате центрального абсолютно упругого столкновении двух шаров, один из которых был неподвижным, скорость движущегося шара уменьшилась в 𝑛 = 2 раза. Определить отношение масс 𝑚 1 𝑚 2 ⁄ . шаров. Задача 4 Шар, вращавшийся вокруг своей оси с частотой 5 об/с, остановился вследствие трения, сделав 20 полных оборотов. Найти момент сил трения. Масса шара 1 кг, радиус шара 10 см. Задача 5 Однородный сплошной цилиндр массы 1 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него нитях. Цилиндр отпускают без толчка. За какое время цилиндр опустится на расстояние 30 см? Трением в оси цилиндра пренебречь. Задача 6 Расположенный горизонтально однородный круглый цилиндр массы 10 кг вращается без трения вокруг своей оси под действием груза массы 1 кг, прикрепленного к легкой нерастяжимой нити, намотанной на цилиндр. Найти кинетическую энергию системы спустя 3 с после начала движения. Домашнее задание №1 Механика Вариант 19 Задача 1 Движение точки в плоскости 𝑋𝑌 описывается уравнением 𝑟 ⃗ = 𝑡 3 𝑖 ⃗ + 3𝑡 2 𝑗 ⃗ , где 𝑖 ⃗ и 𝑗 ⃗ − орты осей 𝑥 и 𝑦 . Определить величину скорости 𝓋 и величину ускорения 𝑎 этой точки в момент времени 𝑡 = 5 с. Задача 2 Ящик массой 10 кг перемещают по полу, прикладывая к нему силу, направленную под углом 30° к горизонту, в одном случае вверх (ящик тянут), в другом случае вниз (ящик толкают). Во сколько раз отличаются силы по величине, если ящик в обоих случаях получает одинаковое ускорение? Коэффициент трения скольжения равен 0,577. Задача 3 Два шара массами 10 кг и 15 кг подвешены на нитях так, что шары соприкасаются между собой вдоль линии, соединяющей центры масс. Меньший шар был отклонен и отпущен. Определить отношение высот, на которые поднимутся центры масс шаров, если удар был абсолютно упругим. Задача 4 Горизонтальная платформа, имеющая форму диска радиусом 1 м и массой 120 кг, может вращаться вокруг своей вертикальной оси. На краю неподвижной платформы стоит человек массой 60 кг. С какой угловой скоростью относительно земли будет вращаться платформа, Если человек пойдет по ее краю с постоянной скоростью 0,5 м/с относительно платформы? Задача 5 Через блок массой 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвешены грузы массами 0,4 кг и 0,5 кг. Найти расстояние между грузами через 2 с после начала движения, если в начальный момент времени они находились на одной высоте? Блок вращается без трения. Задача 6 На верхней поверхности горизонтального диска, который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси симметрии, пр оложены по окружности радиусом 𝑟 = 50 см рельсы игрушечной железной дороги. Масса диска 𝑚 1 = 10 кг, его радиус 𝑅 = 60 см. В некоторый момент по рельсам начинает двигаться электропоезд массой 𝑚 2 = 1 кг со скоростью 𝓋 = 0,8 м/с. Найдите изменение кинетической энергии диска. Домашнее задание №1 Механика Вариант 20 Задача 1 Материальная точка движется по окружности радиуса 1 м с постоянным тангенциальным ускорением 1,73 м/с². Через какой промежуток времени после начала движения вектор полного ускорения будет составлять угол 60° с вектором скорости? Задача 2 На гладкой горизонтальной плоскости находится клин, боковая поверхность которого составляет угол 30° с горизонтом. По боковой поверхности клина движется вниз небольшой брусок. Найти коэффициент трения бруска о поверхность клина, при котором клин остается неподвижным. Задача 3 На чашу пружинных весов жесткостью 𝑘 = 25 Н/см падает тело массой 𝑚 = 5 кг с высоты ℎ = 0,6 м. Определить максимальную величину сжатия 𝑥 𝑚𝑎𝑥 пружины весов. Массой чаши пренебречь. Задача 4 Через блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы массами 1 кг и 2 кг. Грузы движутся с ускорением 2 м/с². Найти массу блока. Скольжение нити по блоку отсутствует. Задача 5 Стержень массой 1 кг и длиной 60 см может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отвели на угол 90° от положения равновесия и отпустили без толчка. В момент прохождения положения равновесия стержень абсолютно упруго ударился о небольшое тело массой 2 кг, лежащее на горизонтальной поверхности. Найти скорость тела после удара. Задача 6 Горизонтальная платформа, имеющая форму диска, может свободно вращаться вокруг вертикальной оси симметрии. На краю платформы стоит человек. Определите кинетическую энергию платформы после того, как человек спрыгнет с нее со скоростью и = 4 м/с, направленной по касательной к краю платформы. Масса платформы равна 240 кг, масса человека 70 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. Домашнее задание №1 Механика Вариант 21 Задача 1 Ускорение материальной точки, движущейся по прямой, линейно возрастает и за время 𝑡 1 = 10 с от начала движения достигает значения 𝑎 1 = 10 м/с 2 Определить скорость 𝓋 точки в момент времени 𝑡 1 = 5 с и путь 𝑆, пройденный точкой к этому моменту времени. Задача 2 На горизонтальной поверхности лежит ящик массой 60 кг. Найти минимальную силу, которую надо приложить к ящику, чтобы сдвинуть его с места. Под каким углом к горизонту должна быть направлена эта сила? Коэффициент трения скольжения равен 0,5. Задача 3 Двигаясь по окружности радиуса 𝑅 = 15 см с постоянным тангенциальным ускорением 𝑎 𝜏 , тело массой 𝑚 = 50 г совершило 𝑁 = 5 оборотов и приобрело кинетическую энергию 𝐸 кин = 10 мДж. Определить тангенциальное ускорение 𝑎 𝜏 Задача 4 На однородный цилиндр массой 3 кг и радиусом 0,22 м намотали шнур, к концу которого привязан груз массой 2 кг. Сколько оборотов сделает цилиндр за время, равное 3,14 с после начала движения системы? Задача 5 По наклонной плоскости с одинаковой высоты скатываются без скольжения шар и цилиндр. Найти скорость центра масс шара у основания наклонной плоскости, если скорость центра масс цилиндра в этой же точке равна 0,7 м/с. Задача 6 Однородный диск массой 𝑚 1 = 2 кг и радиусом 𝑅 = 20 см вращается с частотой 𝑛 = 1 об/с вокруг вертикальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. С высоты ℎ = 44 см на край диска падает кусок пластилина массой 𝑚 2 = 100 г и прилипает к нему. Найдите потерю механической энер гии системы. Домашнее задание №1 Механика Вариант 22 Задача 1 Тело брошено под углом к горизонту. Найти тангенциальное и нормальное ускорения тела в точке бросания, если известно, что во время движения максимальное и минимальное значения скорости отличались в 2 раза. Задача 2 Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами 𝑚 1 и 𝑚 2 . Кабина начинает подниматься с ускорением 𝑎 0 . Пренебрегая массами блока и нити, а также трением, найти ускорения груза относительно шахты лифта и относительно кабины. Задача 3 Пуля массой 5 г, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в центр шара массой 0,5 кг, подвешенного на невесомом жестком стержне. При каком расстоянии от центра шара до точки подвеса шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности? Задача 4 Платформа в виде горизонтального диска радиуса 1 м и массой 120 кг вращается с частотой 6 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 80 кг. Найти кинетическую энергию системы после того, как человек перейдет на край платформы. Задача 5 Вертикально висящая однородная доска длиной 1,5 м и массой 10 кг может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее конец. В нижний конец доски попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 600 м/с. Она пробивает доску и летит дальше с некоторой скоростью. Найти эту скорость, если доска отклонилась в результате удара на максимальный угол 0,1 рад. Задача 6 На однородном стержне длиной L расположены симметрично относительно центра две муфты Расстояние между ними равно 0,5 L. Масса стержня т = 1 кг, масса каждой муфты равна 2 кг. Стержень вращается вокруг оси ОО', проходящей через центр стержня, с частотой 𝑛 = 2 об/с. В некоторый момент крепление муфт ослабло и они переместились на концы стержня. Во сколько раз изменилась при этом кинетическая энергия системы? Муфты считать точечными. Домашнее задание №1 Механика Вариант 23 Задача 1 Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону 𝜑 = 4 + 2𝑡 + 𝑡 2 , рад. Через 2 с после начала движения полное ускорение некоторой точки тела равнялось 10 м/с 2 . На каком расстоянии от оси вращения находится эта точка? Задача 2 Наклонная плоскость составляет угол 𝛼 = 30° с горизонтом. Отношение масс тел 𝑚 2 𝑚 1 = 𝜂 = 2 3 ⁄ коэффициент трения между телом 𝑚 1 и наклонной плоскостью 𝜇 = 0,1. Массы блока и нитей пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела, если система пришла в движение из состояния покоя. Задача 3 Брусок массой 2 кг тянут по горизонтальной поверхности с силой 8,4 Н, приложенной под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения бруска о поверхность равен 0,27. Через 2 с после начала движения действие силы прекращается. Какой путь пройдет брусок с момента прекращения действия силы до остановки? Задача 4 Однородный тонкий стержень массой 2 кг и длиной 0,6 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. На каком расстоянии от оси вращения должна лежать точка, в которую попадает летящая горизонтально пуля, чтобы после абсолютно неупругого удара стержень отклонился на угол 90° от положения равновесия? Масса пули 10 г, скорость пули 500 м/с. Задача 5 Шар и цилиндр одинаковой массы катятся сначала по горизонтальной поверхности, а затем без скольжения вверх по одной и той же наклонной плоскости. Найти, при каком отношении скорости шара к скорости цилиндра оба тела поднимутся на одинаковую высоту. Задача 6 Кинетическая энергия вращающегося маховика радиусом 20 см равна 1 кДж. К маховику прижимают с постоянным усилием тормозную колодку, в результате чего маховик, сделав 80 оборотов, остановился. Найти величину прижимающей силы, если коэффициент трения между тормозной колодкой и поверхностью маховика равен 0,2. Домашнее задание №1 Механика Вариант 24 Задача 1 Тело движется по криволинейной траектории с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 м/с². Через 4 с после начала движения вектор полного ускорения составляет угол 45° с вектором скорости. Найти радиус кривизны траектории в этой точке. Задача 2 Грузовик, описывая на горизонтальной площадке окружность радиуса 𝑅 = 50 м, движется равноускоренно с постоянным тангенциальным ускорением 𝑎 𝜏 = 0,5 м/с 2 . Между колесами и площадкой коэффициент трения скольжения 𝜇 = 0,20. Какой путь 𝑆 пройдет грузовик без скольжения, если его начальная скорость равна нулю? Задача 3 Тело вначале скользит по наклонной плоскости высотой ℎ = 2,0 м с углом наклона 𝛼 = 45° к горизонту, а затем движется по горизонтальному участку. На всем пути движения коэффициент трения 𝜇 = 0,05. Определить путь S, пройденный телом на горизонтальном участке. Задача 4 Однородный стержень длиной 85 см подвешен на горизонтальной оси, проходящий через верхний конец стержня. Какую наименьшую скорость надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси? Задача 5 Тонкий обруч радиуса 4 см скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса 0,5 м. Найти, на какой высоте, отсчитанной от центра сферы, обруч оторвется от поверхности. Задача 6 Однородный шар массы 5 кг скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара через 1,6 с после начала движения. Домашнее задание №1 Механика Вариант 25 Задача 1 Модуль скорости частицы меняется со временем по закону 𝓋 = 3𝑎𝑡 + 𝑏, где a и b – постоянные. Модуль ускорения равен 5a. Определить модули тангенциального и нормального ускорений и зависимость радиуса кривизны траектории от времени. Задача 2 Материальная точка, подвешенная на невесомой нити, совершает колебания в вертикальной плоскости. Определить максимальный угол 𝛼 отклонения от положения равновесия, если при этом максимальном угле и при прохождении положения равновесия ускорения материальной точки равны по величине. Задача 3 П о окружности радиуса 𝑅 = 20 см движется материальная точка, кинетическая энергия которой зависит от пройденного пути 𝑆 по закону 𝐸 кин = 𝑏𝑆 2 , 𝑏 = 0 ,2 кг/с 2 . Определить силу 𝐹 , действующую на материальную точку, когда пройденный путь 𝑆 = 2,0 м. Задача 4 Карандаш длиной 15 см и массой 10 г, поставленный вертикально, падает на стол. Найти момент импульса карандаша относительно точки опоры в момент его падения на стол. Задача 5 Платформа в виде горизонтального диска массой 200 кг и радиусом 1 м вращается вокруг вертикальной оси с частотой 6 об/мин. На краю платформы стоит человек массой 75 кг. Человек ловит мяч массой 1 кг, летящий горизонтально со скоростью 5 м/с на расстоянии, равном радиусу платформы, от ее центра. С какой частотой будет вращаться платформа? Рассмотреть случай движения мяча в противоположном направлении движения платформы. Задача 6 Два горизонтальных диска одинакового радиуса 10 см вращаются в противоположные стороны вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Первый диск имеет массу 2 кг и вращается с угловой скоростью 5 рад/с, второй диск имеет массу 3 кг и угловую скорость 4 рад/с. После падения верхнего диска на нижний оба диска вращаются как единое целое. Найти кинетическую энергию этого вращения. |