2 РАБОТА. презентация ласт. Двойные интегралы Расулов Н. Б

• Название: Двойные интегралы Расулов Н. Б
• Анкор: 2 РАБОТА
• Дата: 27.02.2023
• Размер: 78.56 Kb.
• Имя файла: презентация ласт.pptx
• Тип: Документы; #958211

Двойные интегралы
Выполнил: Расулов Н.Б.
Понятие двойного интеграла

• Понятие двойного интеграла
• Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:
• Разбираемся в терминах и обозначениях: – значок двойного интеграла;
  – область интегрирования (плоская фигура);
  – подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая;
  – значки дифференциалов.

Что значит вычислить двойной интеграл?
Вычислить двойной интеграл – это значит найти ЧИСЛО. Самое обычное число:
И крайне желательно найти его правильно =)
Результат (число  ) может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Специально остановился на данном моменте, поскольку немало студентов испытывают беспокойство, когда ответ получается «шото вроде как странный». Многие помнят, что «обычный» определённый интеграл – тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время.
Как вычислить двойной интеграл?
Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам. Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ:
Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса   у внешнего интеграла – это числа, а двойные знаки вопроса   у внутреннего интеграла – это функции одной переменной  , зависящие от «икс». Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:
Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками –будут другими! 
Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же:
Алгоритм решения двойного интеграла:

• Систематизируем информацию: в каком порядке нужно решать рассматриваемую задачу?
1) Необходимо выполнить чертёж. Без чертежа задачу не решить. Точнее, решить можно, но это будет похоже на игру в шахматы вслепую. На чертеже следует изобразить область  , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми, параболами, гиперболами и т.д. Как быстро и грамотно выполнить чертёж, можно посмотреть в методическом материале Графики и основные свойства элементарных функций. Итак, этап первый – выполнить чертёж. 2) Расставить пределы интегрирования и перейти к повторным интегралам.
3) Взять внутренний интеграл
4) Взять внешний интеграл и получить ответ (число).

Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла  и знакомиться с его геометрическим смыслом.
Двойной интеграл    численно равен площади плоской фигуры D (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице.
Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры D ,ограниченной линиями .
Для определённости считаем, что    на отрезке   .
Площадь данной фигуры численно равна:
Таким образом: 
И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам. 1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:
Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел 2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:
Более компактная запись всего решения выглядит так:
Спасибо за внимание!