Глава 4. Моделирование динамических процессов
4.1. Теоретические основы
Под временным рядом в экономике понимается последовательность
наблюдений некоторого признака (случайной величины) Y в
последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения
называются уровнями ряда и обозначаются
t y
.
В статистике переменная t - время выступала в качестве
факторного признака:
b at y
+
=
, а коэффициенты определялись по
формулам:
( )
2 2
t t
t y
yt a
−
⋅
−
=
,
t a
y b
⋅
−
=
. Рассмотрим регрессионную модель
временного ряда. Если в модели результаты предыдущих наблюдений
влияют на результаты последующих, то такие модели называются
моделями с наличием автокорреляции.
Рассмотрим временной ряд – ряд последовательных значений курса
ценной бумаги в моменты времени от 1 до 278. Результаты наблюдений
можно графически представить в виде:
30 31 32 33 34 35 36 37 38 1
51 101 151 201 251
Курс ценной бумаги имеет тенденцию к снижению, это видно из графика. Оценивая обычным МНК зависимость курса акции от времени получим:
807 35
t
0063 0
y
+
−
=
. Естественно предположить, что результаты предыдущих торгов оказывают на результаты последующих: если в какой-то момент времени курс окажется завышенным по сравнению с реальным, то скорее всего он будет и завышен на следующих торгах, т.е. имеет место положительная автокорреляция. Графически положительная автокорреляция выражается в чередовании зон, где наблюдаемые значения оказываются выше расчетных и зон, где наблюдаемые значения ниже.
Отрицательная автокорреляция встречается в тех случаях, когда наблюдения действуют друг на друга по принципу маятника – завышенные значения в предыдущих наблюдениях приводят к занижению их в наблюдениях последующих. Графически это выражается в том, что результаты наблюдений «слишком часто» перескакивают график регрессии.
В случае наличия автокорреляции коэффициенты регрессии оказываются заниженными и результаты тестирований гипотез оказываются недостоверными.
Если рассматривается ряд значений курса ценной бумаги, то результат последних торгов служит отправной точкой для формирования курса на следующих торгах. Можно предположить наличие корреляция между соседними членами. Тест на наличие автокорреляции между соседними членами – тест Дарбина-Уотсона состоит в следующем. Рассчитывается статистика Дарбина-
Уотсона:
(
)
∑
∑
=
=
−
−
=
T
t
t
T
t
t
t
e
e
e
d
1 2
2 2
1
Существует известная взаимосвязь между данной статистикой и коэффициентом корреляции:
)
r
1
(
2
d
−
≈
. По таблицам значений статистик
Дарбина-Уотсона определяются границы
L
d и
U
d при числе наблюдений n и числе факторных признаков k. Определяется, какому интервалу принадлежит
d
:
1. если
L
d d
0
<
<
, то имеет место положительная автокорреляция,
2. если
U
L
d d
d
<
<
, то невозможно решить вопрос о наличии автокорреляции,
3. если
U
U
d
4
d d
−
<
<
, то автокорреляция отсутствует,
4. если
L
U
d
4
d d
4
−
<
<
−
, то невозможно решить вопрос о наличии автокорреляции,
5. если
4
d d
4
L
<
<
−
, то имеет место отрицательная автокорреляция.
При наличии автокорреляции нельзя оценивать коэффициенты регрессии обычным методом наименьших квадратов. Рассмотрим модель t
t bx a
y
+
=
, при t-1 эта модель примет вид:
1
t
1
t bx a
y
−
−
+
=
Домножим это уравнение на const
=
ρ
:
1
t
1
t x
b a
y
−
−
ρ
+
ρ
=
ρ
Вычтем из модели для времени t модель для t-1 и упростим ее: t
1
t t
1
t bx x
b a
a y
y
−
ρ
+
−
ρ
=
−
ρ
−
−
;
)
x x
(
b
)
1
(
a y
y
1
t t
1
t t
−
−
ρ
−
+
ρ
−
=
ρ
−
Заменим:
,
a
)
1
(
a
,
x x
x
,
y y
y t
1
t t
t
1
t t
′
=
ρ
−
′
=
ρ
−
′
=
ρ
−
−
−
получим t
t x
b a
y
′
+
′
=
′
. Для оценки параметров a′
и b
в этой регрессии можно применить обычный метод наименьших квадратов.
Итак, если исходное уравнение содержит автокорреляцию, то для оценки его параметров используют обобщенный метод наименьших квадратов, этапы которого следующие:
1. Преобразовать исходные временные ряды t
y и t
x к t
y′
и t
x′
2. Применить обычный метод наименьших квадратов к уравнению t
t x
b a
y
′
+
′
=
′
, рассчитать оценки a′
и b
3. Рассчитать а по формуле:
ρ
−
′
=
1
a a
4. Записать исходное уравнение t
t bx a
y
+
=
Основная проблема, связанная с
применением данного метода состоит в том, как получить оценку
ρ. Основным способом является получение оценки по исходному уравнению регрессии исходя из следующего соотношения:
2
d
1
−
=
ρ
, где d – статистика Дарбина-Уотсона.
Рассмотрим уравнение t
t bx a
y
+
=
. Если построить динамики явлений t
y и t
x
, то можно выяснить, имеет ли место одинаковая направленность тенденций. Если это наблюдается на протяжении длительного промежутка времени, то это значит, что коэффициент корреляции, рассчитанный по уровням временных рядов, может соответственно не содержать ложной корреляции и характеризовать истинную причинно-следственную зависимость между ними.
Эти предположения были положены в основу теории коинтеграции временных рядов. Коинтерграция – причинно-следственная зависимость в уровнях двух (и более) временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и колеблемости.
Существует тест на проверку коинтеграции временных рядов. Это тест
Энгеля-Грэнжера, за который в 2003 году была присуждена Нобелевская премия по экономике.
Этапы проведения теста:
1. Рассчитывается регрессия t
t bx a
y
+
=
Вычисляются остатки t
t t
y
y e
−
=
2. Вычисляется регрессия
1
t t
be a
e
−
+
=
∆
3. Определяется фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии b. Если t расч для коэффициента b больше критических значений, то имеет место коинтеграция.
Уровень значимости
α
, %
Критическое значение теста
Энгеля-Грэнжера
1 2,5899 5 1,9439 10 1,6173
Динамической называется модель, если она отражает динамику исследуемых переменных в каждый момент времени. К основным типам динамических эконометрических моделей относятся модели с распределенным лагом и модели авторегрессии.
Модель с распределенным лагом имеет вид: t
2
t
2 1
t
1
t
0
t x
b x
b x
b a
y
ε
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
−
−
Наряду с лаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени.
Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, которые называются моделями авторегрессии. Модель вида t
1
t
1
t
0
t y
c x
b a
y
ε
+
⋅
+
⋅
+
=
−
относится к моделям авторегрессии.
Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна: x
b x
b x
b a
y p
t p
1
t
1
t
0
t
−
−
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
=
Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение p следующих моментов времени.
Коэффициенты j
b могут быть представлены в виде полиномов:
• для полинома 1-й степени: j
c c
b
1 0
j
+
=
;
• для полинома 2-й степени:
2 2
1 0
j j
c j
c c
b
+
+
=
;
• для полинома 3-й степени:
3 3
2 2
1 0
j j
c j
c j
c c
b
+
+
+
=
и т. д.
Тогда каждый из коэффициентов j
b можно выразить следующим образом:
,
с l
c l
lс c
b
,
с
2
c
4
с
2
c b
,
с с
c b
,
c b
k k
2 2
1 0
l k
k
2 1
0 2
k
1 0
1 0
0
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
=
Подставив в уравнение эти коэффициенты и перегруппировав слагаемые, получим: k
k
1 1
0 0
t z
c z
с z
с a
у
+
+
+
+
=
, где x
l x
3
x
2
x z
,
x l
x
9
x
4
x z
,
x l
x
3
x
2
x z
,
x x
x x
z l
t k
3
t k
2
t k
1
t k
l t
2 3
t
2
t
1
t
2
l t
3
t
2
t
1
t
1
l t
2
t
1
t t
0
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
⋅
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим образом.
1.
Определяется максимальная величина лага l.
2.
Определяется степень полинома k, описывающего структуру лага.
3.
По соотношениям рассчитываются значения переменных k
0
z
,...,
z
4.
Определяются параметры уравнения линейной регрессии k
k
1 1
0 0
t z
c z
с z
с a
у
+
+
+
+
=
5.
С помощью соотношений рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.
Проинтерпретируем коэффициенты в модели с распределенными лагами. Коэффициент регрессии
0
b при переменной t
x характеризует среднее абсолютное изменение t
y при изменении t
x на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.
В момент времени t+1 совокупное воздействие факторной переменной х,
на результат у составит
1 0
b b
+
ед., в момент t+2 это воздействие можно охарактеризовать суммой
2 1
0
b b
b
+
+
т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.
С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной t
x
, в момент tна 1 ед. приведет к общему изменению результата t
y через p моментов времени на p
2 1
0
b b
b b
+
+
+
+
абсолютных единиц. Эту величину называют долгосрочным мультипликатором. Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+1 результата под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.
Пусть b
/
b j
j
=
β
. Это относительные коэффициенты модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то
∑
=1
b j
. В этом случае относительные коэффициенты являются весами для соответствующих коэффициентов. Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени t+j. Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:
∑
β
⋅
=
j j
l и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.
Медианный лаг – это величина лага, для которого
5 0
s
M
I
0
j j
≈
β
∑
=
. Это тот период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.
Модель авторегрессии имеет вид:
1
t
1
t
0
t y
c x
b a
y
−
⋅
+
⋅
+
=
. Одним из возможных методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных. Сущность этого метода состоит в том,
чтобы заменить переменную из правой части модели, для которой
нарушаются предпосылки метода наименьших квадратов, на новую переменную, включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок. Применительно к моделям авторегрессии необходимо удалить из правой части модели переменную
1
t y
−
. Искомая новая переменная, которая будет введена в модель вместо
1
t y
−
, должна иметь два свойства. Во-первых, она должна тесно коррелировать с
1
t y
−
, во-вторых, она не должна коррелировать с остатками y
y
−
. Поскольку в модели переменная t
y
, зависит не только от
1
t y
−
, но и от t
x можно предположить, что имеет место зависимость
1
t
1 0
1
t x
d d
y
−
−
⋅
+
=
Расчетное значение
1
t y
−
может служить в качестве инструментальной переменной для фактора t
y
.Таким образом, оценки параметров уравнения
1
t
1
t
0
t y
c x
b a
y
−
⋅
+
⋅
+
=
можно найти из соотношения
1
t
1
t
0
t y
c x
b a
y
−
⋅
+
⋅
+
=
Как и в модели с распределенным лагом,
0
b в этой модели ха- рактеризует краткосрочное изменение
у, под воздействием изменения
х на 1 ед. К моменту времени
t+1 результат
у, изменился под воздействием изменения изучаемого фактора в момент времени
t на
0
b ед., а
1
t y
+
под воздействием своего изменения в непосредственно предшествующий момент времени — на
1
c ед. Таким образом, общее абсолютное изменение результата в момент
t+1 составит
1 0
c b
ед. Аналогично в момент времени
t+2 абсолютное изменение результата составит
2 1
0
c b
ед. и т. д. Следовательно, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии можно рассчитать как сумму краткосрочного и промежуточных мультипликаторов: c
b c
b c
b b
b
3 1
0 2
1 0
1 0
0
+
+
+
=
Поскольку практически все модели авторегрессии имеют так называемое условие стабильности, состоящее в том, что коэффициент регрессии при переменной
1
t y
−
по абсолютной величине меньше единицы то b можно пре- образовать следующим образом:
1 0
3 1
2 1
1 0
c
1
b
...)
c c
c
1
(
b b
−
=
+
+
+
+
⋅
=
где |c
1
| < 1.
4.2. Решение типовых задач Пример 1. На основании статистических данных о работе пищевой промышленности Приморского края за 1980-2002 гг. рассмотрим зависимость объема производства от капиталовложений и оценим регрессию дореформенного периода (1980-1989 гг) и послереформенного периода
(1990-2002 гг).
Оценим регрессию дореформенного периода (1980-1989 гг.). Регрессия имеет вид: t
2 1
t
1 0
t
K
Y
Y
α
+
α
+
α
=
−
. Для оценки регрессии
воспользуемся методом инструментальных переменных. Найдем этот инструмент:
1
t
1 0
1
t
K
c c
Y
−
−
+
=
,
2 1
t
2 1
t
1
t
1
t
1
t
1
t
1
K
K
K
Y
K
Y
c
−
−
−
−
−
−
−
⋅
−
=
,
1
t
K
1
c
1
t
Y
0
с
−
−
−
=
Год
Производство, %
Y
Капвложения, млн. сопоставимых руб, К
1980 100 89 1981 101,6 76,8 1982 107,2 79,9 1983 111,1 80,5 1984 115,1 71,3 1985 120,9 115,4 1986 127,4 150,8 1987 134,4 123 1988 138,8 174,6 1989 143,7 264,4 1990 100 328,8 1991 89 294,33 1992 90 116,84 1993 85 94,22 1994 55 44,18 1995 65 59,82 1996 66 48,67 1997 65 28,45 1998 62 20,28 1999 55 17,9 2000 55 18,5 2001 46,81 16,89 2002 43,25 10,89
Найдем эти коэффициенты. Составим расчетную таблицу:
Год
Y
t-1
K
t-1
K
t-1 2
Y
t-1
K
t-1 1980
-
-
-
-
1981 100 89 7921 8900 1982 101,6 76,8 5898,24 7802,88 1983 107,2 79,9 6384,01 8565,28 1984 111,1 80,5 6480,25 8943,55 1985 115,1 71,3 5083,69 8206,63 1986 120,9 115,4 13317,16 13951,86 1987 127,4 150,8 22740,64 19211,92 1988 134,4 123 15129 16531,2
1989 138,8 174,6 30485,16 24234,48
сумма
1056,5 961,3 113439,2 116347,8
Среднее значение
117,3889 106,811 12604,36 12927,53 3254
,
0 811
,
106 36
,
12604 811
,
106
*
3889
,
117 53
,
12927
с
2 1
=
−
−
=
,
633
,
82 811
,
106 3254
,
0 3889
,
117
с
0
=
⋅
−
=
Получили уравнение:
1
t
K
3254 0
633
,
82 1
t
Y
−
+
=
−
По этому уравнению находим расчетные значения
1
t
Y
−
:
Y
t-1
-
111,5936 107,6237 108,6325 108,8277 105,834 120,1842 131,7033 122,6572 139,4478
Подставим в наше уравнение регрессии найденный инструмент.
Получим регрессию: t
K
2 1
t
Y
1 0
t
Y
α
+
−
α
+
α
=
. Составим расчетную таблицу:
Год
Производство
%
Y
Капвложения, млн. сопоставимых руб, К
Y
t-1
Y
t
Y
t-1
Y
t-1 2
Y
t-1
K
t
Y
t
K
t
K
t
2 1980 -
-
- - - - - -
1981 101,6 76,8 111,5936 11337,90 12453,13 8570,388 7802,88 5898,24 1982 107,2 79,9 107,6237 11537,26 11582,87 8599,135 8565,28 6384,01 1983 111,1 80,5 108,6325 12069,06 11801,01 8744,913 8943,55 6480,25 1984 115,1 71,3 108,8277 12526,06 11843,47 7759,415 8206,63 5083,69 1985 120,9 115,4 105,834 12795,3 11200,84 12213,25 13951,86 13317,16 1986 127,4 150,8 120,1842 15311,4 14444,23 18123,77 19211,92 22740,64 1987 134,4 123 131,7033 17700,92 17345,76 16199,51 16531,2 15129 1988 138,8 174,6 122,6572 17024,81 15044,79 21415,95 24234,48 30485,16 1989 143,7 264,4 139,4478 20038,65 19445,7 36870,01 37994,28 69907,36 сумма
1100,2 1136,7 1056,504 130341,5 125161,8 138496,3 145442,1 175425,5
Среднее значение
122,244 126,3 117,3893 14482,38 13906,87 15388,48 16160,23 19491,72
Вычислим коэффициенты данной регрессии:
,
,
0 2
t
K
2 1
t
Y
t
K
1
t
K
0
t
K
t
Y
0 1
t
Y
t
K
2 2
1
t
Y
1 1
t
Y
0 1
t
Y
t
Y
,
0
t
K
2 1
t
Y
1 0
t
Y
=
α
−
−
α
−
α
−
=
−
α
−
−
α
−
−
α
−
−
=
α
−
−
α
−
α
−
=
α
−
α
−
α
−
=
α
−
α
−
α
−
=
α
−
α
−
α
−
,
0 72 19491 48 15388 3
126 23 16160
,
0 48 15388 87 13906 39 117 39 14482
,
0 3
126 39 117 244 122 2
1 0
2 1
0 2
1 0
выразим из первого уравнения
0
α
:
2 1
0 3
126 39 117 244 122
α
−
α
−
=
α
. Подставим
0
α
в оставшиеся уравнения:
123
,
562 458
,
126 167
,
132 48
,
15388 87
,
13906
)
3
,
126 39
,
117 244
,
122
(
*
39
,
117 39
,
14482 2
1 2
1 2
1
α
−
α
−
=
=
α
−
α
−
α
−
α
−
−
Выразим из полученного уравнения
1
α
:
2 2
1 45
,
4 045
,
1 458
,
126 123
,
562 167
,
132
α
−
=
α
−
=
α
Подставим
1
α
и
0
α
в третье уравнение и вычислим значение
2
α
:
03
,
3540 123
,
562 8128
,
720 72
,
19491 48
,
15388
)
3
,
126 39
,
117 244
,
122
(
*
3
,
126 23
,
16160 2
1 2
1 2
1
α
−
α
−
=
=
α
−
α
−
α
−
α
−
−
2 2
1 58
,
1038 3943
,
133 03
,
3540
)
45
,
4 045
,
1
(
*
123
,
562 8128
,
720
α
−
=
α
−
α
−
−
128
,
0 58
,
1038 3943
,
133 2
=
=
α
Вычислим значения
1
α
и
0
α
:
473
,
0 128
,
0
*
45
,
4 045
,
1 1
=
−
=
α
44
,
50 128
,
0 3
,
126 473
,
0 39
,
117 244
,
122 0
=
⋅
−
⋅
−
=
α
Мы получили уравнение регрессии, по которому можно оценивать
0
α
,
1
α
и
2
α
, и эта оценка будет точной и несмещенной: t
K
128 0
1
t
Y
473 0
44 50
t
Y
+
−
+
=
Проинтерпретируем данное уравнение: краткосрочный мультипликатор равен 0,128. Это означает, что при увеличении капиталовложений на 1 млн. сопоставимых рублей в текущем году, объем производства в этом же году увеличится на 0,128%. Долгосрочный мультипликатор равен
243 0
473 0
1 128 0
b
=
−
=
и означает, что при увеличении капиталовложений на 1 млн сопоставимых рублей в текущем году, долгосрочное предельное увеличение объема производства составит 0,243%. Коэффициент 0,473 показывает, что при увеличении объема производства в текущем году на 1%, объем производства в последующем году увеличится на 0,473%.
Оценим аналогичную регрессию для послереформенного периода:
t
K
886 0
1
t
Y
521
,
1 39
,
203
t
Y
+
−
−
=
Проинтерпретируем данное уравнение: краткосрочный мультипликатор равен 0,886. Это означает, что при увеличении капиталовложений на 1 млн. сопоставимых рублей в текущем году, объем производства в этом же году увеличится на 0,886%. Долгосрочный мультипликатор равен
35 0
521
,
1 1
886 0
b
=
+
=
и означает, что при увеличении капиталовложений на 1 млн сопоставимых рублей в текущем году, долгосрочное предельное увеличение объема производства составит 0,35%. Коэффициент 1,521 показывает, что при увеличении объема производства в текущем году на 1 %, объем производства в последующем году уменьшится на 1,521%.
Пример 2.
Построение модели с распределенным лагом. Изучается зависимость между объемом продаж и расходами на рекламу. Построим модель с распределенным лагом для l=4 в предположении, что структура лага описывается полиномом второй степени.
По результатам изучения зависимости объемов продаж компании в среднем за месяц от расходов на рекламу была получена следующая модель с распределенным лагом :
4
t
3
t
2
t
1
t t
x
0179 0
x
0028 0
x
00498 0
x
0244 0
x
0612 0
48 7
y
−
−
−
−
+
+
+
+
+
=
Результаты расчетов, полученных в Excel:
Дисперсионный анализ
df
SS
MS
F
Значимость F
Регрессия
3 475.034621 158.3448737 120.56357 3.39689E-11
Остаток
16 21.01395898 1.313372436
Итого
19 496.04858
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95%
Верхние
95%
Y-пересечение 7.4762 1.2896 5.7970 0.0000 4.7423 10.2102
Переменная X 1 0.0612 0.0168 3.6303 0.0022 0.0254 0.09698
Переменная X 2
-0.0454 0.0161
-2.8126 0.0125
-0.0796
-0.01119
Переменная X 3 0.0086 0.0032 2.6914 0.0162 0.0018 0.01547
Значение b относительные коэффициенты
0.0612 0.5494 0.0244 0.2194 0.00498 0.0447 0.0028 0.0252 0.0179 0.1611 0.1114 1
В этой модели краткосрочный мультипликатор равен 0.0612. Это означает, что увеличение расходов на рекламу на 1 у.е. ведет в среднем к росту объема продаж компании на 61,2 у.е. в том же периоде. Под влиянием увеличения расходов на рекламу объем продаж компании возрастет в момент
времени t на 61.2 у.е., в t+1 - на 85.6 у.е. и т.д. Наконец, долгосрочный мультипликатор для данной модели составит: 111,4 у.е. В долгосрочной перспективе (например, через 3 месяца) увеличение расходов на рекламу на 1 млн руб. в настоящий момент времени приведет к общему росту объема продаж на 90,6 у.е.
Проинтерпретируем относительные коэффициенты регрессии в этой модели: 54,9% общего увеличения объема продаж, вызванного ростом затрат на рекламу, происходит в текущем моменте времени; 21,9% - в момент (t +
1); 4.5% - в момент (t+2); и т.д. Средний лаг в этой модели определяется как
Т =
0 • 0,474 + 1 • 0,316 + 2 • 0,158 + 3 • 0,053 = 1,029 мес. В среднем увеличение затрат на рекламу приведет к увеличению объема продаж через 1 месяц.
4.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
Изучается зависимость объема продаж бензина (y
t
) от динамики потребительских цен (x
t
). Полученные за последние 6 кварталов данные представлены в табл.
Показатель 1 кв.
2 кв.
3 кв.
4 кв.
5 кв.
6 кв.
Индекс потребительских цен, % к кварталу 1 100 104 112 117 121 126
Средний за день объем продаж бензина в течение квартала, тыс. л.
89 83 80 77 75 72
Известно также, что
Σx
t
= 680,
Σy
t
= 476,
Σx
t
y
t
=53648,
Σx
t
2
= 77566. Постройте модель зависимости объема продаж бензина от индекса потребительских цен с включением фактора времени. Дайте интерпретацию параметров полученной модели.
Задача 2.
По статистическим данным приложения 3 по любой валюте проверьте тест на наличие автокорреляции Дарбина-Уотсона. Определите вид автокорреляции при ее наличии.
Задача 3.
В таблице приводятся данные об уровне дивидендов, выплачиваемых по обыкновенным акциям (в процентах), и среднегодовой стоимости основных фондов (X, млн руб.) в сопоставимых ценах за последние девять лет.
Показатель
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Среднегодовая стоимость основных фондов
72 75 77 77 79 80 78 79 80
Дивиденды по обыкновенным акциям
4,2 3,0 2,4 2,0 1,9 1,7 1,8 1,6 1,7
Определите параметры уравнения регрессии по первым разностям и дайте их интерпретацию. В качестве зависимой переменной используйте показатель дивидендов по обыкновенным акциям. В чем состоит причина построения
уравнения регрессии по первым разностям, а не по исходным уровням рядов?
Задача 4. По статистическим данным приложения 3 по любым двум валютам проверьте тест на наличие автокорреляции Дарбина-Уотсона.
Постройте уравнение зависимости с учетом автокорреляции.
Задача 5. Изучается зависимость объема ВВП Y
t
(млрд долл.) от уровня прибыли в экономике x t
(млрд долл.) по данным за 30 лет. Была получена следующая модель:
65 2
d
;
9 0
R
,
X
2
X
5 2
X
4
X
2
X
5 1
5
Y
2 4
t
)
4 2
(
3
t
)
3 2
(
2
t
)
5 2
(
1
t
)
3 2
(
t
)
2 2
(
t
=
=
+
+
+
+
+
−
=
−
−
−
−
В скобках указаны значения t-критерия для коэффициентов регрессии.
Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы, охарактеризуйте структуру лага.
Перечислите основные эконометрические проблемы, возникающие при построении моделей с распределенным лагом.
Задача 6. Предположим, по данным о динамике показателей сбережений населения и дохода в городе была получена модель авторегрессии, описывающая зависимость сбережений в среднем на душу населения за год
S
t
(млн руб) от среднедушевого совокупного годового дохода Y
i
(млн руб) и сбережений предшествующего года S
t-1
: t
1
t t
t
S
03 0
Y
15 0
53
S
ε
+
+
+
−
=
−
Определите краткосрочную и долгосрочную склонность к накоплению.
Задача 7. Динамика выпуска продукции за 1986 – 1997 гг. представлена в таблице. Постройте уравнение авторегрессии с лагом в 2 года. Измерьте автокорреляцию остатков и сделайте выводы. В расчетах используйте следующие данные:
11273
y
,
12486
y y
2 2
t
2
t t
=
=
∑
∑
−
−
Год
Выпуск продукции, ед.
Год
Выпуск продукции, ед.
Год
Выпуск продукции, ед
1986 25 1990 30 1994 40 1987 27 1991 35 1995 42 1988 30 1992 33 1996 45 1989 29 1993 40 1997 44
Σ
111 - 138 - 171
Задача 8. В таблице приводятся сведения об уровне среднегодовых цен на мировых рынках на шерсть из Новой Зеландии, амер. центы за килограмм.
Год
Цена
Год
Цена
Год
Цена
Год
Цена
1970 73,8 1977 256,4 1984 230,7 1991 249,3 1971 72,6 1978 249,6 1985 234,9 1992 242,9 1972 106,9 1979 300,4 1986 248,5 1993 234,3 1973 237,5 1980 316,7 1987 333,0 1994 287,9 1974 214,7 1981 247,6 1988 403,2 1995 356,2 1975 147,6 1982 239,7 1989 386,3 1996 348,3
1976 202,9 1983 221,9 1990 341,5 1997 343,5
Найдите коэффициент автокорреляции. Постройте авторегрессионую функцию Рассчитайте прогнозные значения на три года вперед.
Задача 9.
По статистическим данным сайта www.bankir.ru выберите две валюты и рассчитайте тест Энгеля-Грэнжера. Сделайте вывод.
Задача 10.
Постройте модель авторегрессии по следующим данным.
Проинтерпретируйте результаты.
Месяц
Объем продаж, тыс.у.е.
Расходы на рекламу, у.е.
Январь 19.3 296.4
Февраль 19.7 290.8
Март 20.25 289.4
Апрель 21.29 321.2
Май 22.18 343.3
Июнь 23.43 371.8
Июль 24.73 413.2
Август 26.22 438.1
Сентябрь 26.91 418.6
Октябрь 28.01 440.1
Ноябрь 28.77 461.3
Декабрь 28.75 429.7
Задача 11.
Проведите тест Энгеля-Грэнжера на коинтеграцию временных рядов по данным приложения 5.
Скачать 0.76 Mb.