Глава 5. Системы эконометрических уравнений
5.1. Теоретические основы
Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Существуют следующие виды систем уравнений:
1. Система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x:
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
x a
x a
x a
y
,
x a
x a
x a
y
,
x a
x a
x a
y m
nm
2 2
n
1 1
n n
m m
2 2
22 1
21 2
m m
1 2
12 1
11 1
Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов. Каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно. Пример – модель экономической эффективности сельскохозяйственного производства. Зависимые переменные – показатели, характеризующие эффективность сельскохозяйственного производства – продуктивность коров, себестоимость молока, а в качестве факторов берутся специализация хозяйства, затраты труда, количество голов на 100 га пашни.
2. Система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная y одного уравнения выступает в виде фактора x в другом уравнении
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
−
−
x a
x a
x a
y b
y b
y b
y
,
x a
x a
x a
y b
y b
y
,
x a
x a
x a
y b
y
,
x a
x a
x a
y m
nm
2 2
n
1 1
n
1
n
1
nn
2 2
n
1 1
n n
m m
3 2
32 1
31 2
32 1
31 3
m m
2 2
22 1
21 1
21 2
m m
1 2
12 1
11 1
Зависимая переменная включается в каждое последующее уравнение. Каждое уравнение может рассматриваться отдельно, для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов; примером может быть модель производительности труда и фондоотдачи, когда производительность зависит от фондовооруженности, энерговооруженности, квалификации рабочих, а фондоотдача – еще и от производительности труда.
3. Система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую:
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
−
−
x a
x a
x a
y b
y b
y b
y
,
x a
x a
x a
y b
y b
y b
y
,
x a
x a
x a
y b
y b
y b
y m
nm
2 2
n
1 1
n
1
n
1
nn
2 2
n
1 1
n n
m m
2 2
22 1
21
n n
2 3
23 1
21 2
m m
1 2
12 1
11
n n
1 3
13 2
12 1
Такая система уравнений называется структурной формой модели. Отдельно каждое уравнение рассматриваться не может и для этой системы не применим обычный метод наименьших квадратов. Пример – модель
динамики цен и заработной платы, где темп изменения месячной зарплаты зависит от темпа изменения цен и процента безработных, а темп изменения цен - от темпа месячной зарплаты, темпа изменения постоянного капитала и от изменения цен на импорт сырья.
Структурная форма модели
+
=
+
=
2 22 1
21 2
1 11 2
12 1
x a
y b
y
,
x a
y b
y содержит эндогенные переменные – взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы), а также экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы. Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы. Коэффициенты ij a
и ij b
при переменных – структурные коэффициенты модели.
Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы – приведенная форм модели:
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
mnmnnnmmmmxxxyxxxyxxxyδ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
,
2 2
1 1
2 2
22 1
21 2
1 2
12 1
11 1
где ij
δ
- коэффициенты приведенной формы модели. Эта система может быть получена из структурной формы модели путем алгебраических преобразований.
При переходе от структурной формы модели к приведенной форме возникает проблема идентификации – единственности соответствия между приведенной и структурной формами модели. С этой точки зрения существует три вида моделей: идентифицируемые, неидентифицируемые, сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема, если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.
Модель неидентифицируема, если число параметров структурной модели больше числа параметров приведенной формы модели.
Модель сверхидентифицируема, если число параметров структурной модели меньше числа параметров приведенной формы модели.
Для определения типа модели необходимо рассматривать каждое уравнение, так, если каждое уравнение идентифицируемо, то и модель идентифицируема.
Если хотя бы одно уравнение в системе неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.
Модель
считается сверхиндентифицируемой, если хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо.
Если обозначить через H-число эндогенных переменных в уравнении, через D-
число экзогенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде правила:
D+1=
H – уравнение идентифицируемо;
D+1<
H – уравнение неидентифицируемо;
D+1>
H – уравнение сверхидентифицируемо.
Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицируемых уравнений косвенный метод наименьших квадратов применим быть не может, поскольку дает неоднозначные оценки коэффициентов. Для таких уравнений применяют двухшаговый метод наименьший квадратов.
Косвенный МНК состоит в следующем:
1. Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров ее уравнения обычным МНК;
2. Путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к
уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.
Двухшаговый МНК заключается в следующем:
1. Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
2. Выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым
МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;
3. Обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.
5.2. Решение типовых задач Пример 1. Имеются данные, характеризующие годовое потребление мяса на душу населения,
средние потребительские цены, среднедушевые денежные доходы, индекс цен производителей по Приморскому краю.
Год
Годовое потребление мяса на душу населения, кг, у
1
Средние потребительские цены на мясо, руб. за кг., у
2
Среднедушевые
денежные доходы населения в месяц, руб., х
1
Индекс цен производителей на мясо, %, х
2 1998 45 46,05 910 196,7 1999 40 55,7 1337 121 2000 39 66,25 1770 137,6 2001 39 92,55 2324 105,2 2002 39 93,55 3077 102,6
Построим модель вида
=
=
);
x
,
y
(
f y
);
x
,
y
(
f y
2 1
2 1
2 1
рассчитав соответствующие структурные коэффициенты модели.
Рассматриваемая система – это система взаимозависимых уравнений, поэтому искомая система уравнений будет иметь вид:
+
=
+
=
x a
y a
y
,
x a
y a
y
2 22 1
21 2
1 12 2
11 1
Сначала определим идентифицируема ли система уравнений, для этого определим идентифицируемо ли каждое уравнение: число всех эндогенных переменных Н=2, D=1, D+1=H, значит уравнение идентифицировано. Для второго уравнения: Н=2, D=1 D+1=Н 1+1=2 уравнение идентифицировано. Вся система идентифицируема. Следовательно, для определения параметров этой системы воспользуемся косвенным методом наименьших квадратов.
Запишем приведенную систему уравнений, коэффициенты которой оцениваем обычным методом наименьших квадратов:
+
=
+
=
x c
x c
y
,
x c
x c
y
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
Для оценки коэффициентов регрессии с нулевой константой в качестве исходных данных возьмем отклонения от средних:
Таблица
Год
Годовое потребление мяса на душу населения, кг, у
1
Средние потребительские цены на мясо, руб. за кг., у
2
Среднедушевые денежные доходы населения в месяц, руб., х
1
Индекс цен производителей на мясо, руб. за кг., х
2 1998 4,6
-24,77
-973,6 64,08 1999 -0,4
-15,12
-546,6
-11,62 2000 -1,4
-4,57
-554 4,98 2001 -1,4 21,73 440,4
-27,42 2002 -1,4 22,73 1193,4
-30,02
Решим систему уравнений:
=
−
−
=
−
−
0
x c
x x
c x
y
0
x x
c x
c x
y
2 2
12 1
2 11 2
1 1
2 12 2
1 11 1
1
Подставим в уравнение для у
1 данные и решим его
Таблица у
1
х
1
у
1
х
2
х
1 2
х
2 2
х
1
g х
2
-4478,560 294,768 947896,960 4106,246 -62388,288 218,640 4,648 298771,560 135,024 6351,492 775,600 -6,972 3069160 24,800 -2758,920
-616,560 38,388 193952,160 751,856 -12075,768
-1670,760 42,028 1424203,560 901,200 -35825,868
-5771,640 372,860 3171740,240 5919,128 -106697,352
-1154,330 74,572 634348,048 1183,826 -21339,470
11 12 11 12
-1154.328-634348.048c +21339.470c =0;
74.572+21339.470c -1183.826c =0;
11 12 11 11 11 1154.328 + 634348.048c c =
0.054 29.730 ;
21339.470 74.572 21339.470 1183.826 (0.054 29.730 ) 0;
c
c
c
=
+
+
−
+
=
g
12 11
c =0.0768;
c
0.0008;
=
Подставим в уравнение для у
2 данные и решим его:
Таблица у
2
х
1
у
2
х
2
х
1 2
х
2 2
х
1
х
2 24116,07 -1587,2616 947896,96 4106,2464 -62388,288 8264,592 175,6944 298771,56 135,0244 6351,492 2531,78 -22,7586 306916 24,8004 -2758,92 9569,892 -595,8366 193952,16 751,8564 -12075,768 27125,98 -682,3546 1424203,56 901,2004 -35825,868 71608,32 -2712,517 3171740,24 5919,128 -106697,352 14321,66 -542,5034 634348,048 1183,8256 -21339,4704
=
−
−
=
−
−
0
x c
x x
c x
y
0
x x
c x
c x
y
2 2
12 1
2 11 2
2 1
2 12 2
1 11 1
2
=
−
+
−
=
+
−
0
c
826 1183
c
470 21339 503 542 0
c
470 21339
c
048 634348 66 14321 12 11 12 11
=
−
−
+
−
−
=
−
=
;
0
)
670 0
c
730 29
(
8256 1183
c
470 21339 503 542
;
670 0
c
730 29 470 21339 660 14324
c
048 634348
c
11 11 11 11 12
=
−
=
;
018 0
c
;
130 0
c
11 12
Подставим полученные значения в исходное уравнение (1):
−
=
+
=
;
x
130 0
x
018 0
y
;
x
0768 0
x
0008 0
y
2 1
2 2
1 1
Из приведенной формы можем определить коэффициенты структурной модели, для этого выразим из первого уравнения х
1 и подставим во второе уравнение, в результате получим уравнение:
2 1
2
x
930 1
y
440 23
y
−
=
Выразим из второго уравнения х
2
и подставим в первое и получим уравнение:
2 1
1
y
580 0
x
010768 0
y
−
=
Итак, структурная форма модели имеет вид:
−
=
−
=
;
x
930 1
y
440 23
y
;
y
580 0
x
0108 0
y
2 1
2 2
1 1
Проинтерпретируем коэффициенты.
Первое уравнение показывает, что при увеличении среднедушевых доходов населения на 100 рублей, годовое потребление мяса возрастает на 1,08 кг, а при увеличении средней потребительской цены на мясо на 1 рубль, годовое потребление мяса снижается на 0,58 кг.
Второе уравнение показывает, что при увеличении годового потребления мяса на 1 кг, средние потребительские цены возрастают на 23,44 рубля, а при увеличении индекса цен производителей на 1 %, средние потребительские цены снижаются на 1,963 рубля.
Пример 2. Применив
необходимое и достаточное условие идентификации, определим, идентифицировано ли каждое из уравнений модели денежного рынка. Определим метод оценки параметров модели.
Запишем приведенную форму модели.
Модель денежного рынка имеет вид:
2
t
22
t
21 2
t
1
t
12
t
11 1
t
I
b
R
b a
Y
,
Y
b
M
b a
R
ε
+
+
⋅
+
=
ε
+
+
⋅
+
=
где R – процентная ставка; Y – ВВП; M – денежная масса; I – внутренние инвестиции; t – текущий период.
Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Модель включает две эндогенные переменные t
R
и t
Y
, две экзогенные переменные t
M
и t
I
. Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.
Первое уравнение включает две эндогенные переменные t
R
и t
Y
, и одну экзогенную переменную t
M
. Следовательно, число экзогенных переменных, не входящих в это уравнение равно 1, а эндогенных переменных в уравнении
2, т.е. 1+1=2. Уравнение индентифицируемо.
Второе уравнение включает две эндогенные переменные t
R
и t
Y
, и одну экзогенную переменную t
I
. Следовательно, число экзогенных переменных, не входящих в это уравнение равно 1, а эндогенных переменных в уравнении
2, т.е. 1+1=2. Уравнение тоже индентифицируемо.
В результате получаем, что оба уравнения в системе индентифицируемы и для оценки коэффициентов нужно использовать косвенный метод наименьших квдратов.
5.3. Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений макроэкономической модели экономики США. Определите метод оценки параметров модели. Запишите приведенную форму модели.
,
G
I
C
Y
,
M
b
Y
b a
r
,
I
b r
b a
I
,
C
b
Y
b a
C
t t
t t
t
32
t
31 3
t
1
t
22
t
21 2
t
1
t
12
t
11 1
t
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
−
−
где С – расходы на потребление; Y – ВВП; I – инвестиции; r – процентная ставка; M – денежная масса; G – государственные расходы; t – текущий период; t-1 – предыдущий период.
Задача 2.
Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели Кейнса.
Определите метод оценки параметров модели. Запишите приведенную форму модели.
G
I
C
Y
,
Y
b a
I
,
Y
b
Y
b a
C
t t
t t
t
21 2
t
1
t
12
t
11 1
t
+
+
=
+
=
+
+
=
−
где С – потребление; Y – ВВП;
I – инвестиции; r – процентная ставка; G – государственные расходы; t – текущий период; t-1 – предыдущий период.
Задача 3.
Для прогнозирования спроса на свою продукцию предприятие использует следующую модель, характеризующую общую экономическую ситуацию в регионе:
I
C
Y
),
K
Y
(
b a
I
,
Y
b a
C
,
Y
b a
Q
t t
t
1
t t
32 3
t t
21 2
t t
11 1
t
+
=
−
+
=
+
=
+
=
−
где Q
– реализованная продукция в период t; Y – ВРП региона; С – конечное потребление; I – инвестиции; K – запас капитала; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений этой модели. Определите метод оценки параметров модели.
Запишите приведенную форму модели.
Задача 4.
Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели спроса и предложения на деньги. Определите метод оценки параметров модели.
Запишите приведенную форму модели.
,
R
b a
Y
,
Y
b
M
b a
R
t
21 2
t t
12
t
11 1
t
+
=
+
+
=
где R –процентные ставки в период t; Y – ВВП в период t; M – денежная масса в период t.
Задача 5.
Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели денежного рынка. Определите метод оценки параметров модели. Запишите приведенную форму модели.
,
R
b a
I
,
I
b
R
b a
Y
,
Y
b
M
b a
R
t
33 3
t t
22
t
21 2
t t
12
t
11 1
t
+
=
+
+
=
+
+
=
где R – процентные ставки; Y – ВВП; M – денежная масса; I – внутренние инвестиции.
Задача 6.
Зависимость реальной ставки процентов от темпа инфляции
может быть представлена уравнением регрессии [7, с. 51]: c
b ar r
t
1
t t
+
π
+
=
−
Исходные данные можно взять на сайтах www.hse.ru, www.cbr.ru. Проведите анализ и сделайте вывод.
Скачать 0.76 Mb.