Гидравлика. Эксплуатация наземного транспорта и транспортного оборудования Омск Издательство Сибади 2006
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
2.10. Сила давления жидкости на криволинейную стенку Задача о силе давления жидкости на криволинейную поверхность в общем случае сводится к определению трех составляющих суммарной силы давления и трех моментов. На практике чаще всего приходится иметь дело с цилиндрическими или сферическими поверхностями, имеющими плоскость симметрии. Определение силы давления в этом случае сводится к определению составляющих сил давления по осям координата затем и равнодействующей Рассмотрим сосуд с жидкостью, имеющий цилиндрическую поверхность АВ с образующей, перпендикулярной плоскости чертежа рис. 2.10) и определим силу давления жидкости на эту поверхность. Выделим объем жидкости АВСД, ограниченный рассматриваемой поверхностью АВ, вертикальными поверхностями СВ и АД и свободной поверхностью жидкости. Покажем действующие силы на выделенный объем жидкости и рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости в вертикальном и горизонтальном направлениях. Рис. 2.10. Схема определения силы давления жидкости на стенку Запишем условие равновесия объема жидкости (АВСД) вверти- кальном направлении 0 F G S p В Г 0 = − + , (2.39) где Г – площадь горизонтальной проекции поверхности АВ; gV G ρ = – сила тяжести выделенного объема жидкости, здесь V – объем жидкости В – вертикальная составляющая силы давления. Изданного уравнения следует, что G S p F Г 0 В + = . (2.40) Вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе тяжести жидкости в объеме V , называемом телом давления, и силе давления, действующей на свободную поверхность жидкости. Тело давления – это объем, ограниченный рассматриваемой криволинейной стенкой, смоченной жидкостью, вертикальной цилиндрической поверхностью, проведенной через контур этой стенки и горизонтальной плоскостью, проведенной по свободной поверхности жидкости. Условие равновесия того же объема жидкости в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления жидкости на поверхности ДЕ и СВ взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на поверхность АЕ, те. 0 F F Г АЕ = − , (2.41) где В С В 0 АЕ S gh S p F ρ + = – сила давления жидкости на поверхность АЕ, имеющую площадь, равную площади вертикальной проекции поверхности АВ – В, здесь С – глубина расположения центра тяжести поверхности АЕ подуровнем свободной поверхности жидкости. Изданного условия равновесия (2.41) следует, что В Г В 0 Г S gh S p F ρ + = . (2.42) Определив вертикальную и горизонтальную составляющие полной силы давления, найдем эту силу 2 Г 2 В F F F + = . (2.43) Угол направления β находится из соотношения В Г F F tg = β : В Г F F arctg = β . (2.44) Когда жидкость расположена снизу поверхности АВ (рис. 2.11), гидростатическое давление во всех точках поверхности АВ имеет те же значения, что ив предыдущем случае, но направления их будут противоположны. Рис. 2.11. Схема к расчету силы давления жидкости на стенку Силы В и Г определяются по формулам (2.40), (2.42), нона- правлены будут противоположно. Под G понимается сила тяжести жидкости в объеме, равном АВСД, хотя и незаполненном жидкостью. Закон Архимеда В покоящуюся жидкость погружено тело произвольной формы объемом V (рис. 2.12). Горизонтальной плоскостью разделим тело на две части верхнюю с криволинейной поверхностью АСВ и нижнюю с поверхностью АС ′В. Определим вертикальные составляющие силы давления жидкости, действующие на поверхность тела. Рис. 2.12. Схема к выводу закона Архимеда На поверхность тела АСВ действует сила В АСВДЕ Г 0 В gV S p F ρ + = , (2.45) где Г – площадь горизонтальной проекции поверхности АСВС ′; АСВДЕ V – объем жидкости над телом. На поверхность АС ′В действует сила В ВДЕ С А Г 0 В gV S p F ′ ρ + = ′ . (2.46) где ВДЕ С А V ′ – объем тела давления, ВС С А АСВДЕ ВДЕ С А V V V ′ ′ + = , здесь ВС С А V ′ – объем жидкости, V V ВС С А = ′ Таким образом, тело находится под действием вертикальных сил, результирующая которых будет равна gV gV F F F ВС С А B B A ρ = ρ = − ′ = ′ . (2.47) Сила A F называется архимедовой силой или силой поддержания. Таким образом, получено математическое выражение закона Архимеда, которое формулируется следующим образом Тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Тело, погруженное в жидкость, находится под действием двух сил силы тяжести G и архимедовой силы Тело тонет, если сила тяжести больше архимедовой силы, те. при Тело находится в состоянии равновесия (плавает, когда Тело всплывает, если A F > G 52 4. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ Предположение о существовании двух режимов движения жидкости впервые высказал Д.И.Менделеев в 1880 га через 3 года английский физик Осборн Рейнольдс экспериментально подтвердил существование двух режимов. Режимы были названы ламинарными турбулентным. Схема установки О.Рейнольдса приведена на рис. 4.1. Рис. 4.1. Принципиальная схема установки Рейнольдса Рейнольдс пропускал воду через стеклянные трубки разного диаметра, регулируя скорость движения воды краном 4. По тонкой трубке к потоку подводилась окрашенная жидкость из сосуда 1. Опыты показали, что при малых скоростях движения воды в трубке 3 окрашенная жидкость движется в виде тонкой струйки внутри ее, не перемешиваясь с водой (ламинарный режим. Наблюдается такая картина движения воды (рис. 4.2). Рис. 4.2. Схема ламинарного режима После достижения определенной для данных условий опыта скорости движения воды движение частиц жидкости приобретает беспорядочный характер. Струйка окрашенной жидкости разрушается, размывается, отчего вся вода в трубке окрашивается, наступает турбулентный режим. Наблюдается следующая картина движения воды рис. 4.3). Рис. 4.3. Схема турбулентного режима Таким образом, в ламинарном режиме жидкость движется струйчато или слоисто, без перемешивания. В турбулентном режиме частицы жидкости движутся хаотично, струйки быстро разрушаются. Рейнольдс установил, что критерием режима движения жидкости является безразмерная величина, которая впоследствии была названа числом Рейнольдса Rе В общем случае число Рейнольдса е определяют по формуле г е, (4.1) где v – средняя скорость потока г – гидравлический диаметр сечения, г г R 4 D = ; ν – кинематический коэффициент вязкости жидкости. Для потоков в трубах круглого сечения число е определяется по формуле е, (4.2) где d – внутренний диаметр трубы. Значение числа Рейнольдса, соответствующее переходу ламинарного режима движения жидкости в турбулентный и наоборот, называется критическим числом Рейнольдса кр Rе Если е кр Rе – режим турбулентный. Если е кр Rе – режим ламинарный. Значения кр Rе различны для определенных элементов гидропривода. Для жесткой трубы круглого сечения кр Rе = 2320. В табл. 4.1 приведены значения кр Rе для различных элементов гидропривода. 54 Таблица 4.1 Элемент гидропривода кр Rе Труба круглого сечения (жесткая) 2320 Гибкий рукав или шланг 1600 Концентрическая гладкая щель 1100 Краны 550–750 Расходные окна золотников 260 Плоские и конусные клапаны 20–100 Фильтр сетчатый 460 4.1. Ламинарный режим движения жидкости Ламинарный режим движения жидкости характеризуется струйчатым, параллельным, упорядоченным движением жидкости без перемешивания. Для этого режима все закономерности могут быть выведены аналитически. Теория ламинарного режима основывается на законе вязкого трения Ньютона (см. формулу (1.11). 4.1.1. Закон распределения скоростей по сечению в ламинарном потоке Рассмотрим установившееся ламинарное движение жидкости в горизонтальной цилиндрической трубе с внутренним радиусом рис. 4.4). Выделим в ней часть потока длиной l между сечениями 1 и 2. В потоке жидкости выделим элементарный цилиндрический объем жидкости радиусом y , соосный с трубой и имеющий основание в выбранных сечениях. Введем обозначения u – скорость поверхностного слоя элементарного объема T – сила внутреннего трения на боковой поверхности элементарного объема 1 p , 2 p – давления, действующие на сечения выделенного объема 1 F , 2 F – силы давления. Запишем действующие силы на элементарный объем жидкости. Рис. 4.4. Схема к определению закона распределения скоростей Сила внутреннего трения может быть найдена по формуле (1.12): dy du S T µ − = , (4.3) где µ – динамический коэффициент вязкости, ρν = µ ; S – площадь боковой поверхности элементарного объема, здесь Получим dy du y 2 T νρ π − = l . (4.4) Знак минус в формуле (4.3) означает, что dy du < 0, тес увеличением скорость u уменьшается. Движущей силой является в данном случае сила давления F : ( ) 2 2 1 2 1 y p p F F F π − = − = . (4.5) Запишем уравнение Бернулли для сечений 1 и 2, учитывая, что труба расположена горизонтально, аза плоскость сравнения принята ось трубы, те. 0 z z 2 1 = = . Скорость u и коэффициент α вдоль потока являются неизменными ввиду постоянства диаметра трубы. Тогда можем записать уравнение пот 1 h p p + γ = γ . (4.6) Откуда пот пот 1 gh h p p ρ = γ = − . (4.7) Учитывая, что гидравлический уклон характеризует величину потерь напора на единицу длины ( l / h пот, запишем i h пот l = . (4.8) Тогда движущая сила определится выражением 2 y i g F π ρ = l . (4.9) При равномерном движении движущая сила и сила сопротивления движению равны, те. T F = . (4.10) Подставим в формулу (4.10) выражения (4.9) и (4.4): dy du y 2 y i g 2 νρ π − = π ρ l l . (4.11) Откуда после преобразований получим y 2 ig dy du ν − = , (или ν − = 2 igydy du . (4.13) Проинтегрируем (4.13), получим C y 4 ig u 2 + ν − = , (4.14) где C – постоянная интегрирования, которую найдем из условия при r y = (у стенки трубопровода) u = 0, те. C r 4 ig 0 Отсюда = C 2 r 4 ig ν . (4.15) В результате получим выражение для скорости ( ) 2 2 y r 4 ig u − ν = . (4.16) Таким образом, в ламинарном потоке эпюра скоростей имеет вид параболы (рис. 4.5). Рис. 4.5. Эпюра скоростей ламинарного потока Максимальное значение скорости будет при y = 0 (по оси трубопровода) и определяется выражением 2 max r 4 ig u ν = . (4.17) 4.1.2. Закон распределения касательных напряжений в ламинарном потоке Для установившегося движения жидкости закон изменения касательных напряжений вдоль радиуса может быть получен из формулы Ньютона dy du µ − = τ . (4.18) Подставим выражение (4.12) в формулу (4.18), получим y 2 ig y 2 ig ρ = ν µ = τ . (4.19) Таким образом, при ламинарном течении жидкости изменение касательных напряжений вдоль радиуса носит линейный характер, 0 min = τ при 0 y = , 2 / igr max ρ = τ при Эпюра касательных напряжений показана на рис. 4.6. Рис. 4.6. Эпюра касательных напряжений ламинарного потока 4.1.3. Расход и средняя скорость ламинарного потока Рассмотрим поперечное сечение потока жидкости (рис. 4.7). В нем возьмем элементарное живое сечение кольцевой формы радиусом y и шириной dy . Для определения объемного расхода жидкости используем закон распределения скоростей жидкости в ламинарном потоке формулу (4.16)). Элементарный расход жидкости dQ через кольцевое сечение будет равен udS dQ = , (4.20) где u – скорость жидкости в кольцевом сечении, ( ) 2 2 y r 4 ig u − ν = ; dS – площадь кольцевого сечения, Учитывая, что полный расход ∫ = S dQ Q , будем иметь ( ) ν π = π − ν = ∫ 8 igr ydy 2 y r 4 ig Q 4 r 0 2 2 . (4.21) Таким образом, расход жидкости в ламинарном потоке определяется по формуле ν π = 8 igr Q 4 . (4.22) Учитывая, что в трубе круглого сечения площадь живого сечения потока 2 r S π = , можно определить среднюю скорость потока v по формуле 59 ν = = 8 igr S Q v 2 . (4.23) Для характеристики значений средней скорости потока по отношению к ее максимальному значению введем коэффициент средней скорости, который обозначается k и равен отношению max u / v , те. 5 , 0 u v k max = = . (4.24) Это говорит о том, что в ламинарном потоке средняя скорость движения жидкости в два раза меньше максимальной и ламинарный поток может быть заменен эквивалентным потоком со средней скоростью, равной 0,5 max Коэффициент Кориолиса, учитывающий изменение кинетической энергии вследствие неравномерности распределения скоростей в живом сечении ламинарного потока, может быть также определен теоретически. Коэффициент Кориолиса в ламинарном потоке равен 2, те. α = 2. Рис. 4.7. Схема к определению расхода жидкости в ламинарном потоке Итак, истинная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в два раза превосходит кинетическую энергию того же потока, но при равномерном распределении скоростей. 60 4.1.4. Закон гидравлического сопротивления в ламинарном потоке В выражение (4.23) для средней скорости потока подставим значения для гидравлического уклона l / h пот и 2 / d r = , получим ν = l 32 gd пот. (4.25) Откуда найдем пот h : пот gd v 32 h ν = l . (4.26) Полученное выражение представляет собой математическое выражение закона гидравлического сопротивления при ламинарном режиме движения. В ламинарном режиме потери напора по длине трубопровода прямо пропорциональны средней скорости потока впервой степени (следовательно, и расходу, т.к. vS Q = ). 4.1.5. Коэффициент Дарси Умножив числитель и знаменатель формулы (4.26) для пот h на v 2 , получим g 2 v d vd 64 v 2 v 2 gd v 32 h 2 пот l . (4.27) Сравнивая полученное выражение с формулой Дарси – Вейсбаха, видно, что при ламинарном течении жидкости в круглой трубе коэффициент Дарси (коэффициент путевых потерь) равен е = ν = λ . (4.28) В общем случае коэффициент Дарси для ламинарного режима движения жидкости определяется так е. (4.29) Значения коэффициента А берутся из справочников. Экспериментально установлено, что в зависимости от состояния трубопровода А = 64…150. Так, например, для гидролиний гидроприводов принимают значения А = 75. 4.2. Турбулентный режим движения жидкости и его закономерности Турбулентный режим движения жидкости является наиболее распространенным в природе и технике, представляет сложное гидравлическое явление. В настоящее время нет стройной теории турбулентного режима. Поэтому используют экспериментальные данные итак называемые, полуэмпирические теории турбулентности и эмпирические формулы. 4.2.1. Пульсация скоростей и давлений Ранее отмечалось, что турбулентное течение – это беспорядочное движение жидкости. Для него характерны перемешивание жидкости, пульсация скоростей и давлений в процессе течения. В результате сложного характера движения частиц жидкости в турбулентном потоке в любой его точке в каждый момент времени мгновенная скорость может принимать новые значения по величине и направлению. Эти колебания во времени мгновенной местной скорости называются пульсацией скорости. Пульсация скорости сопровождается пульсацией давления. Если с помощью особо чувствительного прибора-самописца измерить и записать пульсацию скорости в функции времени, получим следующую картину (рис. 4.8). Рис. 4.8. График пульсации скоростей Величина скорости беспорядочно колеблется около некоторого осредненного повремени значения u , которое в данном случае остается постоянным. Для упрощения расчетов вводится понятие средняя местная скорость. Это фиктивная средняя скорость в данной точке потока за достаточно длинный промежуток времени. Эта скорость, как показывают опыты, несмотря на значительные колебания мгновенных скоростей, остается практически постоянной и параллельной оси потока. Это позволяет применять для турбулентных потоков уравнение Бернулли. Наряду с осреднением скоростей при турбулентном режиме ос- редняют давление, плотность жидкости. Осреднив повремени местные скорости в различных точках живого сечения, находят среднюю скорость потока v в этом живом сечении как среднюю скорость из осредненных скоростей. 4.2.2. Структура турбулентного потока Экспериментальными исследованиями было установлено, что при турбулентном режиме движения жидкости основную часть потока составляет турбулентное ядро, а около стенок трубы существует пограничный слой, состоящий из тонкого ламинарного слоя и тонкого переходного слоя (рис. 4.9). Рис. 4.9. Структура турбулентного потока Толщина ламинарного слоя определяется по формуле е d 30 v 30 , (4.30) где δ – толщина ламинарного слоя ν – кинематический коэффициент вязкости v – средняя скорость потока λ – коэффициент путевых потерь е – число Рейнольдса; d – диаметр трубопровода. 4.2.3. Касательные напряжения Поперечные перемещения частиц жидкости создают дополнительные касательные напряжения. В соответствии с полуэмпирической теорией Прандтля полное касательное напряжение в турбулентном потоке складывается из двух составляющих вязкого и турбулентного напряжений 2 2 dy du dy du ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ρ + µ = τ′′ + τ′ = τ l , (4.31) где τ′ – касательные напряжения, вызываемые вязкостью жидкости определяются по закону Ньютона τ′′ – касательные напряжения, вызываемые поперечными перемещениями частиц жидкости в потоке определяются по закону Прандтля); l – длина пути поперечного перемешивания частиц жидкости (путь смешения µ – коэффициент динамической вязкости ρ – плотность жидкости. Записанное выражение справедливо лишь в области турбулентного потока, теза пределами ламинарного слоя. При малых значениях е доминирующим является первое слагаемое. С увеличением е величина l быстро возрастает и становится больше τ′ . При достаточно больших е становится малой величиной. 64 |