Гидравлика. Эксплуатация наземного транспорта и транспортного оборудования Омск Издательство Сибади 2006
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
4.2.4. Закон распределения скоростей по сечению в турбулентном потоке Закон распределения скоростей по сечению турбулентного потока можно определить из формулы касательных напряжений, пренебрегая малым слагаемым τ′ . Можем записать 2 2 dy du ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ρ = τ′′ = τ l . (4.32) Откуда dy 1 du ρ τ = l . (4.33) Величина ρ τ имеет размерность скорости и получила название динамической скорости * u , те. Тогда dy u du * l = . (4.34) Прандтль предложил считать длину поперечного перемешивания l линейно зависящей от расстояния между стенкой и рассматриваемой точкой y , те. Ky = l . (4.35) где K – коэффициент пропорциональности, безразмерная величина универсальная постоянная турбулентного потока. Тогда dy Ky u du * = . (4.36) Проинтегрировав выражение (4.36), получим C y ln K u u * + = . (4.37) Значение постоянной С найдем из условия, что прите) Откуда r ln K u u C * max − = . (4.39) Подставив значение Сиз выражения (4.39) в формулу (4.37), получим) Таким образом, получили закон распределения скоростей слоев жидкости при турбулентном режиме, который является логарифмическим. На рис. 4.10 представлена эпюра скоростей турбулентного потока. Рис. 4.10. Эпюра скоростей турбулентного потока В пограничном слое эпюра скоростей имеет параболический вид, соответствующий ламинарному режиму. В центре потока скорости изменяются по логарифмическому закону, что соответствует турбулентному режиму. 4.2.5. Гидравлически гладкие и шероховатые трубы Стенки труб имеют шероховатость (рис. 4.11). Высоту выступов шероховатости обозначим через ∆ (абсолютная шероховатость. В зависимости от соотношения толщины ламинарного слоя δ и высоты шероховатости ∆ различают гидравлически гладкие трубы, если δ > ∆ , и гидравлически шероховатые, если δ < Рис. Схема, иллюстрирующая шероховатость трубопроводов При различных числах Рейнольдса одна и та же труба может быть как гидравлически гладкой, таки шероховатой. Шероховатость обычно характеризуется не высотой выступов шероховатости, а отношением ∆ к радиусу или диаметру трубы, те. или d ∆ , и называется относительной шероховатостью. 4.2.6. Законы гидравлического сопротивления турбулентного режима Экспериментально установлено, что гидравлическое сопротивление (коэффициент путевых потерь) при турбулентном режиме и коэффициент Дарси в общем случае зависят от шероховатости трубопроводов и числа Рейнольдса. Если δ > ∆ и 2320 < е < 10 5 , пользуются формулой Блазиуса: е. (4.41) Если δ > ∆ и 10 5 < е < 3⋅10 6 , используют формулу Конакова: ( ) 2 е lg 81 , 1 1 − ⋅ = λ . (4.42) В формулах (4.41) и (4.42) есть число Рейнольдса, нонет шероховатости. Если δ < ∆ , то рекомендуют пользоваться формулой Никурадзе: 2 е lg 2 74 , 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + = λ . (4.43) По этой формуле коэффициент λ зависит от относительной шероховатости стенок, нет числа Рейнольдса. В общем случае, когда необходимо учесть и шероховатость, и число Рейнольдса, пользуются формулой Альтшуля: е 11 , 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + = λ . (4.44) Эта формула является универсальной. При числах е 10 d ∆ , когда трубы являются гидравлически гладкими, формула (4.44) дает значения, близкие формуле (4.41). В случае, когда е находится в диапазоне 10 d ∆ < е 500 d ∆ , необходимо использовать формулу (4.44). В случае, когда е 500 d ∆ , труба гидравлически шероховата и формула (4.44) дает значения, близкие к формуле (4.43). 4.3. График Никурадзе Опыты по исследованию изменения коэффициента гидравлического сопротивления (коэффициента Дарси, путевых потерь) в зависимости от числа Рейнольдса и шероховатости труб были проведены И.И.Никурадзе. Шероховатость в трубах создавалась искусственно, путем наклеивания на внутреннюю поверхность труб песчинок определенного размера. На основе экспериментальных исследований Никурадзе предложил график (рис. 4.12), позволяющий определять значение коэффициента путевых потерь от режима и шероховатости труб. Рис. 4.12. График Никурадзе В зоне I существует ламинарный режим. Шероховатость влияния назначение коэффициента λ не оказываете Зона II – зона турбулентного режима в гидравлически гладких трубах. Хорошую сходимость с этими графиками дает уравнение Бла- зиуса. Зона III. В этой зоне на величину λ существенное влияние оказывает и число Рейнольдса е, и шероховатость. Необходимо пользоваться формулой Альтшуля. Зона IV – зона турбулентного режима (квадратичного сопротивления. Число е не влияет на λ , линии идут параллельно оси абсцисс. Здесь на величину λ влияет только шероховатость труб. В этой зоне можно использовать формулу Никурадзе для определения Особенность турбулентного режима движения жидкости проявляется в том, что существует несколько формул для определения коэффициента путевых потерь λ в зависимости от числа Рейнольдса и шероховатости трубопроводов. Это видно и на графике Никурадзе. Для ламинарного режима движения жидкости имеем одну формулу для определения величины λ (см. формулу (4.29)). 4.4. Местные сопротивления Ранее отмечалось, что гидравлические потери напора (удельной энергии) делятся на две категории местные потери и потери по длине трубопровода. Потери напора в местном сопротивлении возникают вследствие изменения скорости по величине и направлению и зависят, в основном, от геометрических размеров и формы местных гидравлических сопротивлений. Местные гидравлические сопротивления – это сопротивления движению, возникающие на участках резкого изменения конфигурации потока (поворот трубы, сопряжение труб различного диаметра, задвижки, дроссели и т.д.). Простейшие местные гидравлические сопротивления можно разделить наследующие виды а) расширение русла – внезапное, плавное б) сужение русла – внезапное, плавное в) поворот русла – внезапный, плавный. Более сложные случаи местных сопротивлений представляют собой соединения или комбинации перечисленных простейших местных сопротивлений. На рис. 4.13 представлены некоторые виды местных сопротивлений. Внезапное расширение Внезапное сужение Диафрагма русла русла Задвижка Диффузор Конфузор Рис. 4.13. Местные сопротивления При протекании жидкости через местное сопротивление энергия жидкости тратится на перераспределение скоростей и изменение направления потока, на вихреобразование и срывы потока. Местные потери удельной энергии (напора) при турбулентном и ламинарном режимах определяются по формуле Вейсбаха (3.34), по которой g 2 v h 2 м ξ = Местные потери в единицах давления определяются по формуле (3.35). Для определенных видов местных сопротивлений (например, внезапное расширение русла) коэффициент местного сопротивления может быть определен теоретически. Внезапное расширение трубы и соответствующая ему схема течения жидкости показаны на рис. 4.14. Поток срывается с угла и расширяется не внезапно, как русло, а постепенно, причем в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы получаются вихреобразо- вания, которые являются причиной потерь энергии в данном случае. Рис. 4.14. Внезапное расширение потока Возьмем два сечения потока 1– 1 в плоскости расширения трубы ив том месте, где поток заполнил все сечения трубы. Обозначим площадь живого сечения потока, давление и скорость потока в сечениях соответственно S , p , Запишем для этих сечений уравнение Бернулли, считая 0 , 1 2 1 = α = α (для турбулентного режима) и принимая 2 1 z z = . Получим следующее выражением) Затем к цилиндрическому объему жидкости, заключенному между сечениями 1–1 и 2–2, применим теорему механики об изменении количества движения, согласно которой изменение количества движения заданный промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на жидкость за этот же промежуток времени. Изменение количества движения жидкости за время t ∆ равно ( ) 1 2 1 2 v v t pQ mv mv − ∆ = − . (4.46) Импульс сил давления 1 1 S p и 2 2 S p за время t ∆ равен (считается, что давление 1 p в сечении 1–1 действует на площади 2 S ): ( ) t S p p t S p t S p 2 2 1 2 2 2 1 ∆ − = ∆ − ∆ . (4.47) Приравнивая одно выражение другому, получим ( ) ( ) t S p p v v t pQ 2 2 1 1 2 ∆ − = − ∆ . (4.48) Учитывая, что 2 2 S v Q = , и разделив обе части уравнения на t gS 2 ∆ ρ , получим 71 ( ) g p g p g v v v 2 1 1 2 2 ρ − ρ = − . (4.49) Преобразуем левую часть уравнения следующим образом γ − γ = − + − 2 1 2 2 1 2 1 2 2 p p g 2 v g 2 v g 2 v v 2 g 2 v 2 . (4.50) Сгруппировав члены выражения, получим g 2 v g 2 v v 2 g 2 v g 2 v p g 2 v p 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 + − + + γ = + γ , (4.51) или ( ) g 2 v v g 2 v p g 2 v p 2 2 1 2 2 2 2 Сравнив полученное уравнение с уравнением Бернулли, убеждаемся в полной аналогии двух уравнений, откуда делаем вывод, что ( ) g 2 v v h 2 м. (4.52) То есть потеря напора (удельной энергии) при внезапном расширении трубопровода равна скоростному напору от потерянной при расширении скорости. Это положение часто называют теоремой Бор- да Карно. Пользуясь уравнением постоянства расходов 2 2 1 1 S v S v = , формулу для м можно записать в следующем виде g 2 v 1 S S g 2 v 1 v v h 2 2 2 1 2 2 2 2 2 м. (4.53) Сравнивая с формулой Вейсбаха (3.34), можно заметить, что 2 1 2 1 S S ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ξ . (4.54) Таким образом, теоретически определен коэффициент местного сопротивления, что хорошо подтверждается опытом. 72 5. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ 5.1 Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре Истечение жидкости через отверстия и насадки характерно тем, что в процессе истечения запас потенциальной энергии, которым обладает жидкость в резервуаре, превращается с большими или меньшими потерями в кинетическую энергию свободной струи. Основным вопросом в данном случае является определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадков. Возьмем большой резервуар с жидкостью (рис. 5.1), который имеет малое отверстие в стенке на достаточно большой глубине Нот свободной поверхности. Через отверстие жидкость вытекает свободной струей. Рис. 5.1. Истечение жидкости из Рис. 5.2. Тонкая стенка резервуара Малым отверстием называется такое, у которого диаметр d не превышает 0,1 величины напора Н. При этом условии можно считать давление и скорость жидкости во всех точках отверстия одинаковыми. Стенки подразделяются на тонкие и толстые. Тонкой стенкой рис. 5.2) называют такую, толщина которой не влияет на характер истечения, те. отсутствуют путевые потери. Опытами установлено, что толщина тонкой стенки не должна превышать диаметра, те. δ < (1…1,5) d Частицы жидкости (см. рис. 5.2) приближаются к отверстию из всего прилежащего объема, двигаясь ускоренно по различным плавным траекториям. Вытекающая из отверстия струя не сохраняет свою форму, а постепенно деформируется, те. отрывается от стенки у кромки отверстия и несколько сжимается. Цилиндрическую форму струя принимает на расстоянии (0,5…1,0) d от плоскости отверстия. Сжатие струи обусловлено необходимостью плавного перехода от различных направлений движения частиц жидкости в резервуаре, в том числе от радиального направления движения по стенке, к осевому направлению движения в струе. Коэффициентом сжатия называется отношение площади сжатого сечения струи c S к площади отверстия S , те. 2 c c d d S S ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ε . (5.1) Сжатие струи может быть полными неполным. Полное сжатие – это всестороннее сжатие. Оно имеет место тогда, когда отверстие в достаточной мере удалено от боковых поверхностей стенок сосуда. Если же часть периметра отверстия совпадает с боковой стенкой или днищем сосуда, то сжатие струи будет неполным. Полное сжатие может быть совершенным или несовершенным. Сжатие считается совершенным, если до ограждающих поверхностей будет не менее трех размеров отверстия, и несовершенным, если расстояние до стенок или дна – менее трех размеров отверстия. Найдем скорость истечения и расход жидкости при истечении жидкости через малое отверстие в тонкой стенке (рис. 5.3). Рис. 5.3. Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке Возьмем сосуд с жидкостью. В стенке выполнено малое отверстие на глубине Нот свободной поверхности жидкости. Возьмем два сечения и 2–2 по свободной поверхности жидкости ив сжатом сечении струи соответственно. За плоскость сравнения примем горизонтальную плоскость, проходящую через центр тяжести отверстия. Составим уравнение Бернулли для сечений 1–1 ив общем виде пот 2 2 2 2 2 1 1 1 1 h g 2 v p z g 2 v p z + α + γ + = α + γ + , (5.2) где 1 z – геометрическая высота сечения 1–1, H z 1 = ; 1 p – давление в сечении 1–1, 0 1 p p = ; 1 v – скорость в сечении 1–1, скорость 1 v можно считать раной нулю, 1 v = 0, так как из уравнения расходов 2 2 1 1 S v S v = следует, что 1 2 2 1 S S v v = , но так как 1 S >> 2 S , то 1 v = 0; 2 z – геометрическая высота сечения 2–2, 2 z = 0; ат p = ; 1 α – коэффициент Кориолиса в сечении 1–1, 1 α = 1,0; 2 α – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения скоростей в сжатом сечении, при равномерном распределении скоростей в струе с 2 v – скорость в сжатом сечении струи v v 2 = ; пот h – потери напора при движении жидкости через отверстие. Потери напора (удельной энергии) при движении жидкости через отверстие вызываются местными сопротивлениями, те. можно определять по формуле Вейсбаха: g 2 v h 2 С пот ξ = , (5.3) где ξ – коэффициент местного сопротивления отверстия. С учетом вышеизложенного уравнение Бернулли (5.2) запишется следующим образом g 2 v g 2 v p p H 2 С 2 С С 0 ат + α + γ = γ + , или ( ) ξ + α = γ − + С 2 С 0 g 2 v ат. (5.4) Решим уравнение (5.4) относительно скорости С, получим 75 ξ + α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γ − + = C ат 0 С p p H g 2 v . (5.5) Обозначим через ϕ выражение ξ + α = ϕ C 1 , которое называется коэффициентом скорости. Обозначим через расчетный напор) величину ат 0 p p H H . После подстановки указанных выражений в формулу для скорости, v C , получим 0 C gH 2 v ϕ = . (5.6) Обычно коэффициент скорости принимает значения ϕ = 0,97…0,98 ( ξ = 0,06). В случае истечения идеальной жидкости ξ = 0, ϕ = 1,0 и теоретическая скорость истечения равна 0 Т gH 2 v = Таким образом, коэффициент ϕ есть отношение действительной скорости истечения к теоретической ТСС v gH 2 v = = ϕ . (5.7) Действительная скорость истечения всегда меньше теоретической за счет сопротивления, следовательно, коэффициент ϕ всегда меньше 1,0. Расход жидкости найдем как произведение действительной скорости истечения на фактическую площадь сечения струи С С S v Q = . (5.8) Подставив в формулу (5.8) выражения для Сиз формулы (5.1) и Сиз формулы (5.6) получим 0 gH 2 S Q ϕ ε = , (5.9) где S – площадь отверстия ε – коэффициент сжатия струи. Произведение ε и ϕ принято обозначать буквой µ и называть коэффициентом расхода εϕ = µ . (5.10) Окончательно выражение для расхода жидкости запишется в виде 76 0 gH 2 S Q µ = . (5.11) Полученное выражение является основным для данного раздела. Оно решает основную задачу – определяет расход. Применимо для всех случаев истечения. Экспериментально установлено, что значение коэффициента колеблется в пределах 0,59…0,63, составляя в среднем 0,61. Из уравнения) следует, что Т. Это значит, что коэффициент расхода есть отношение действительного расхода к теоретическому, тек тому расходу, который имел бы место при отсутствии сжатия струи и сопротивления. Следует иметь ввиду, что Т не есть расход при истечении идеальной жидкости, т.к. сжатие струи будет иметь место и при отсутствии гидравлических потерь. 5.2. Истечение жидкости через затопленное отверстие Если пространство, куда вытекает жидкость, заполнено этой же жидкостью, то такое истечение называется истечением через затопленное отверстие или истечением подуровень. Возьмем два сосуда (рис. 5.4). В общей для двух сосудов стенке выполнено малое отверстие. Плоскость сравнения О–О проведем через центр тяжести отверстия. Давления на свободной поверхности обозначим через Ни КВ частном случае они могут быть равны атмосферному ат p . Выберем сечение 1–1 на свободной поверхности и 2–2 – через сжатое сечение струи. Рис. 5.4. Истечение через затопленное отверстие Запишем уравнение Бернулли для выбранных сечений 1–1 и 2–2: пот h g 2 v p z g 2 v p z 2 2 2 21 2 2 1 1 1 1 + α + γ + = α + γ + , (5.12) где 1 z – геометрическая высота сечения 1–1, H z 1 = ; 1 p – давление в сечении 1–1, Н p = ; 1 v – скорость жидкости в сечении 1–1, 1 v = 0; 1 α – коэффициент Кориолиса в сечении 1–1, 1 α = 1,0; 2 z – геометрическая высота сечения 2–2, 2 z = 0; 2 p – давление в сечении 2–2, К p γ + = , здесь 2 H – глубина расположения сечения 2–2 от свободной поверхности второго сосуда 2 v – скорость жидкости в сжатом сечении, С v = ; 2 α – коэффициент Кориолиса в сечении 2–2, С пот h – потери напора в местном сопротивлении (малом отверстии h 2 С пот ξ = , здесь ξ – коэффициент местного сопротивления малого отверстия. После подстановки получим уравнение Бернулли в виде ( ) ξ + α + γ γ + = γ + С 2 С 2 К Н 1 g 2 v H p p H , или ( ) ξ + α = γ − + − С 2 К К Н 2 1 g 2 v p p H H . (5.13) Откуда найдем С ξ + α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γ − + − = С К Н 2 С p H H g 2 v . (5.14) Обозначим через С коэффициент скорости, а через КН 1 0 p p H H H – расчетный напор. Получим С. (5.15) Расход жидкости определяется по формуле 78 0 0 С С gH 2 S gH 2 S v S Q µ = ϕ ε = = . (5.16) где µ – коэффициент расхода жидкости через малое отверстие. Таким образом, имеем те же расчетные формулы, что и при течении жидкости в атмосферу, только расчетный напор в данном случае представляет собой разность гидростатических напоров по обе стороны стенки, те. скорость и расход не зависят от высоты расположения отверстия в стенке сосуда. Значения коэффициента скорости ϕ , сжатия струи ε , расхода для малого затопленного отверстия в тонкой стенке практически не отличаются от соответствующих коэффициентов для незатопленного отверстия. |