Гидравлика. Эксплуатация наземного транспорта и транспортного оборудования Омск Издательство Сибади 2006
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
1.3. Особые состояния жидкости 1.3.1. Растворение газов в жидкости Все жидкости, в том числе и рабочие жидкости гидросистем обладают способностью растворять газа при определенных условиях выделять его в виде пузырьков. Относительное количество газа, которое может раствориться в жидкости до ее насыщения, по закону Генри прямо пропорционально давлению на поверхности раздела, те 0 p ж г, (1.16) где г – объем растворенного газа, приведенный к нормальным условиям ж – объем жидкости p – давление k – коэффициент растворимости. Для воды коэффициент растворимости воздуха k = 0,016, для керосина, для минеральных масел k = 0,07…0,11. Наличие газа в жидкости ухудшает или полностью исключает нормальную работу гидропривода, в частности, нарушается плавность движения приводимых узлов, понижается производительность насосов, появляется запаздывание действия гидропривода и др. 1.3.2. Кавитация Кавитацией называется выделение из жидкости паров и газа (местное закипание жидкости, обусловленное местным падением давления в потоке, с последующей конденсацией паров в области более высокого давления. При кавитации нарушается неразрывность потока жидкости, происходят местные гидравлические удары с повышением давления до 100 МПа и выше. Кавитация – крайне вредное явление, приводящее к разрушению элементов гидропривода. Физическая стабильность жидкости – способность ее длительно сохранять свои первоначальные физические свойства (вязкость, плотность, смазывающую способность) при работе на высоких давлениях. Механическая стабильность – способность жидкости работать при значительной вибрации без расслоения на компоненты. Химическая стабильность жидкости – устойчивость жидкости к окислению кислородом воздуха. При окислении из жидкости выпадает осадок в виде смолы и коксоподобных веществ, которые, попадая в зазоры гидроаппаратов, парализуют их работу. Заращивание щелей гидроаппаратов называется облитерацией. К рабочим жидкостям, применяемым в гидроприводах, предъявляют следующие основные требования высокий индекс вязкости хорошая смазывающая способность физическая, механическая стабильность при хранении и эксплуатации. ГИДРОСТАТИКА Гидростатика – это раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей и их практические приложения (взаимодействие этой жидкости с ограничивающими ее поверхностями, равновесие твердых тел полностью или частично погруженных в жидкость. Когда жидкость находится в равновесии, те. в состоянии покоя, то она характеризуется свойствами, очень близкими к свойствам идеальной жидкости. Все задачи гидростатики, рассматриваемые с использованием понятия об идеальной жидкости, решаются с большой точностью. 2.1. Силы, действующие на жидкость, давление в жидкости Вследствие текучести жидкости (подвижности ее частиц, в ней не могут действовать сосредоточенные силы, а возможно лишь действие сил непрерывно распределенных по ее объему (массе) или по поверхности. Жидкость, находящаяся в покое, подвергается действию внешних сил двух категорий массовых сил и поверхностных сил. Массовые силы пропорциональны массе жидкости (а для однородных жидкостей и ее объему. Это силы тяжести и силы инерции. Поверхностные силы – это силы, действующие на поверхности объемов жидкости. Эти силы обусловлены непосредственным воздействием соседних объемов жидкости на данный объем или же воздействием других тел, соприкасающихся сданной жидкостью. Например, давление атмосферы на поверхность жидкости в открытом сосуде. Как массовые, таки поверхностные силы обычно рассматривают в виде единичных сил. Массовые силы относят к единице массы, а поверхностные к единице площади. Так как массовая сила равна произведению массы на ускорение, то единичная массовая сила численно равна соответствующему ускорению. Например, сила тяжести равна mg G = , единичная массовая сила равна g m mg m G m G = = = Выполним рисунок, который поможет разобраться в том, что такое гидростатическое давление. Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости, находящейся в сосуде произвольной формы (рис. 2.1). Мысленно разделим этот объем на две части произвольной плоскостью ОО и уберем I часть. Для сохранения равновесия II части к ней необходимо приложить силу, действующую в общем случае на поверхность площадью S под некоторым углом к ней. Силу R можно разложить на нормальную и тангенциальную T составляющие силы. Рис. 2.1. Схема определения гидростатического давления Нормальная составляющая – сила F – называется силой давления. Отношение силы давления к площади обозначается ср p и называется средним гидромеханическим давлением, или давлением, те. S F p ср = . (2.1) Давление в данной точке равно пределу отношения S F ∆ ∆ при S ∆ →0 и обозначается p , те. S F lim p ∆ ∆ = . (2.2) Касательные напряжения в жидкости, те. напряжения силы трения обозначаются τ и определяются по формулам S T ср = τ ; S T lim ∆ ∆ = τ . (2.3) Когда жидкость находится в покое, то касательные напряжения отсутствуют и имеет место только гидромеханическое давление, которое называется гидростатическим давлением. 2.2. Свойства гидростатического давления Свойство 1. Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует. Это следует из определения гидростатического давления, как единичной поверхностной силы давления. Свойство 2. В любой точке жидкости гидростатическое давление по всем направлениям одинаково, оно не зависит от ориентации площадки, на которую действует. Для доказательства этого свойства выделим в неподвижной жидкости некоторый элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами dx , dy , dz (рис. 2.2). Три грани тетраэдра лежат в координатных плоскостях, а наклонная грань является замыкающей. Обозначим через гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную коси х, аналогично обозначим давления y p , z p . Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим n p , а площадь этой грани через Помимо поверхностных сил на выделенный объем жидкости действует массовая сила. Проекции единичной массовой силы (те. ускорений) на оси координат обозначим x g , y g , Рис. 2.2. Схема, иллюстрирующая свойства гидростатического давления Составим уравнения равновесия выделенного объема жидкости. Из теоретической механики известно, что если тело находится в равновесии, то сумма проекций на оси x , y , z всех действующих на него сил равна нулю. Для рассматриваемого тетраэдра можно записать условия равновесия n n z y n n y x n n x (2.4) Так как ( ) dydz 2 1 x n cos S n = ∧ ; ( ) dxdz 2 1 y n cos S n = ∧ ; ( ) dxdy 2 1 z n cos S n = ∧ , то разделив первое уравнение системы (2.4) на dydz 2 1 , получим уравнение 0 dx g 3 1 p p x n x = ρ + − . (2.5) При стремлении размеров тетраэдра к нулю ( ) 0 dx → последний член уравнения стремится к нулю. Следовательно, в пределе получим n x Аналогично находим n y p p = ; n z Или n z y x p p p p = = = . (2.6) Так как размеры тетраэдра dx , dy , dz взяты произвольно, то и наклон площадки n S произволен и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково. 21 2.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера) В прямоугольной системе координат с осями x, y, z рассмотрим элементарный объем жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осями соответственно равными dx , dy , dz (рис. 2.3). В центре параллелепипеда возьмем точку Ас координатами x, y, z. Покажем, что на левую грань действует гидростатическое давление л, на правую п. Покажем, что вдоль оси x действует градиент давления x / p ∂ ∂ . Проекции единичной массовой силы (ускорений) на оси координат обозначим x g , y g , z g . Окружающая жидкость заменена силами, действующими на все грани параллелепипеда. Рис. 2.3. Схема к выводу дифференциального уравнения равновесия жидкости Предположим, что в точке А действует давление p , тогда на боковые грани действуют давления x p dx 2 1 p л (2.7) x p dx 2 1 p п. (2.8) Соответствующие силы, действующие на левую и правую грани, могут быть определены следующим образом dzdy x p dx 2 л (2.9) dzdy x p dx 2 п. (2.10) Кроме поверхностных сил на выделенный элементарный объем жидкости действуют также массовые силы. Так, вдоль оси x действует ускорение x g и вызывает массовую силу x F : dxdydz g m g F x x x ρ = = . (2.11) Объем жидкости находится в покое (равновесии, следовательно, сумма проекций всех сил на ось x равна нулю, те. 0 dxdydz g dydx x p dx 2 1 p dydz x p dx 2 1 p x = ρ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − . (2.12) Проведя алгебраические преобразования, получим x g x p ρ = ∂ ∂ . (2.13) Аналогично можно рассмотреть равновесие элементарного объема жидкости по осям y, z. В результате получим систему трех дифференциальных уравнений ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ρ = ∂ ∂ ρ = ∂ ∂ ρ = ∂ ∂ g z p ; g y p ; g x p z y x (2.14) Полученные уравнения представляют собой общие условия равновесия жидкости в дифференциальной форме. Система дифференциальных уравнений гидростатики называется уравнениями Эйлера. Получены Леонардом Эйлером в 1755 году. Из уравнений видно, что приращение гидростатического давления в направлении какой-либо координатной оси равно произведению плотности на проекцию результирующего ускорения на туже ось, те. приращение давления в покоящейся жидкости происходит за счет массовых сил. Умножим уравнения системы (2.14) соответственно на dx , dy и dz и сложим почленно, получим ( ) dz g dy g dx g dz z p dy y p dx x p z y x + + ρ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ . (2.15) Левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал давления dp . В окончательном виде запишем, что ( ) dz g dy g dx g dp z y x + + ρ = . (2.16) Полученное уравнение (2.16) выражает функциональную зависимость давления от плотности жидкости и координат точек в пространстве и позволяет определить величину давления в любой точке жидкости, находящейся в равновесии. Уравнение (2.16) называется приведенным дифференциальным уравнением равновесия жидкости. 2.4. Уравнение поверхности равного давления Поверхность равного давления – это поверхность, во всех точках которой давления равны, те. если const p = , то dp = 0. Запишем уравнение (2.16) для поверхности равного давления. Уравнение поверхности равного давления имеет вид 0 dz g dy g dx g z y x = + + . (2.17) Частным случаем такой поверхности является свободная поверхность поверхность раздела жидкости и газообразной среды. 2.5. Основное уравнение гидростатики Выведем основное уравнение гидростатики, используя приведенное дифференциальное уравнение равновесия жидкости (2.16), рассмотрев частный случай равновесия, когда жидкость находится под действием только сил тяжести. В прямоугольной системе координат рассмотрим объем жидкости в виде параллелепипеда (рис. 2.4). На свободную поверхность действует внешнее давление 0 p . На каком-то расстоянии z от основания рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной основанию. В центре сечения возьмем точку Аи давление, которое действует в этой точке, обозначим Рис. 2.4. Схема к выводу основного уравнения гидростатики Жидкость в неподвижном сосуде находится в поле действия сил тяжести. Аналитически это будет выглядеть таким образом 0 g x = ; 0 g y = ; g g z − = , (2.18) где x g , y g , z g – проекции ускорений на оси координат g – ускорение свободного падения. Подставим значения ускорений в дифференциальное уравнение жидкости (2.16), получим gdz dp ρ − = . (2.19) Проинтегрируем полученное выражение, получим c gz p + ρ − = , (2.20) где с – постоянная интегрирования. Постоянную интегрирования найдем из условия, записанного для свободной поверхности, те. при 0 z z = ; 0 p p = : c gz p 0 0 + ρ − = , отсюда 0 0 gz p c ρ + = (2.21) Подставим уравнение (2.21) в уравнение (2.20), получим 0 0 gz p gz p ρ + + ρ − = . (2.22) После преобразований получим 25 const g p z g p z 0 0 = ρ + = ρ + . (2.23) Сумма g p z + называется гидростатическим напором. Координата z – геометрический напор (геометрическая высота. Величина γ = ρ p g p – пьезометрический напор (пьезометрическая высота. Как видно из уравнения (2.23), гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости. Из уравнения (2.22) получим основное уравнение гидростатики gh p p 0 ρ + = . (2.24) Таким образом, давление в точке покоящейся жидкости зависит от плотности жидкости ρ , расстояния точки от свободной поверхности h и давления 0 p , действующего на свободную поверхность жидкости. 2.6. Давление абсолютное, избыточное (манометрическое) и вакуумметрическое В открытых сосудах на свободную поверхность жидкости действует атмосферное давление, которое будем обозначать ат p . В этом случае основное уравнение гидростатики можно записать так gh p p ат, (2.25) где p – абсолютное или полное давление в точке. То есть гидростатическое давление, определяемое по выражению основного закона гидростатики, называется абсолютным давлением. Рассмотрим два случая. 1. Если p > ат Разность между абсолютным давлением и атмосферным называется избыточным или манометрическим давлением атм) Давлением может изменяться от нуля до бесконечности. 2. Если p < ат p Разность между атмосферным давлением и абсолютным, когда последнее меньше атмосферного, называется вакуумметрическим давлением (или давлением разряжения p p p ат В − = . (2.27) Оно показывает недостаток давления в данной точке до атмосферного. Давление В может изменяться от нуля до ат p 2.7. Эпюры давления Эпюры давления – это графическое изображение распределения давления вдоль какого–либо контура или поверхности (рис. 2.5). Рис. 2.5. Эпюра давления в сосуде с жидкостью 2.8. Закон Паскаля Согласно закону Паскаля, внешнее давление, производимое на жидкость, заключенную в закрытом сосуде, передается жидкостью вовсе точки без изменения. Пусть в сосуде с жидкостью (рис. 2.6) имеется поршень, на который оказывает давление сила Тогда давление на жидкость от силы F определяется по формуле 27 S F p F = , (2.28) где S – площадь поршня. Давления в точках А, В, С (А, B p , C p ) в соответствии с основным законом гидростатики запишутся следующим образом A F A gh p p ρ + = ; B F B gh p p ρ + = ; (2.29) C F C gh Из уравнений (2.29) видно, что давление в различных точках имеет различное значение, но составляющая от внешнего давления во всех точках одинакова, следовательно, закон Паскаля доказан. Рис. 2.6. Схема к выводу закона Паскаля Закон Паскаля лежит в основе всех гидравлических машин объемного действия. Он имеет широкое применение в технике. Используется в механизмах, действие которых основано на передаче давления внутри жидкости. Это гидравлические прессы, тормоза, подъемники и др. Использование закона Паскаля в технике рассмотрим на примере работы гидравлического пресса, который состоит из двух камер, соединенных между собой гидролинией (рис. 2.7). В каждой из камер имеется по поршню. В меньшей камере установлен поршень 1 площадью 1 S , в большей камере 2 – площадью 2 S Рис. 2.7. Принципиальная схема гидравлического пресса Если к поршню 1 приложить силу 1 F , тов жидкости под поршнем создается давление 1 Согласно закону Паскаля, это давление передается вовсе точки жидкости, в том числе в основание поршня 2. Оно создает силу 2 F , равную 2 Таким образом, 1 2 1 2 1 2 S S F S p F = = . Следовательно, сила 2 F во столько раз больше силы 1 F , во сколько раз площадь 2 S > 1 S 2.9. Сила давления жидкости на плоскую стенку В практике часто требуется знать, с какой силой жидкость давит на стенку сосуда и точку приложения этой силы. Рассмотрим сосуд с плоской боковой стенкой, наклоненной к горизонту под углом α (рис. 2.8). Вычислим силу давления F , действующую со стороны жидкости на определенную фигуру площадью Ось x направим по линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости, а ось y перпендикулярно этой линии в плоскости стенки. Выделенную фигуру вращаем вместе с плоскостью xoy до ее совмещения с плоскостью чертежа. Рис. 2.8. Схема определения силы давления жидкости на плоскую стенку Обозначим через 0 p давление на свободной поверхности h – глубину расположения элементарной площадки С – центр тяжести фигуры. Для определения силы давления F используем основное уравнение гидростатики (2.24). Выразим элементарную силу давления dF , приложенную к бесконечно малой площадке dS : ( ) dS gh p pdS dF 0 ρ + = = . (2.30) Заметим, что α = sin Для определения полной силы давления F проинтегрируем полученное выражение (2.30) по всей площади S , получим ∫ ∫ ∫ α ρ + = ρ + = S S 0 S 0 ydS sin g S p hdS g dS p F . (2.31) Интеграл ∫ S ydS является статическим моментом площади S относительно оси x и равен произведению площади фигуры на координату центра тяжести c y , те. S y Следовательно, ( ) S p S gh p S gh S p S y sin g S p F c c 0 c 0 c 0 = ρ + = ρ + = α ρ + = . (2.32) То есть полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление c p в центре тяжести этой площади. Рассмотрим вопрос о точке приложения силы давления, те. определим центр давления. Так как внешнее давление 0 p , действующее на свободную поверхность, передается всем точкам площади S одинаково, то его равнодействующая сила 0 F будет приложена в центре тяжести фигуры Для нахождения точки приложения силы избыточного давления S gh F c изб (точка Д) воспользуемся уравнением механики, согласно которому момент равнодействующей силы давления относительно оси x равен сумме моментов составляющих сил, те. ∫ = S изб Д изб ydF y F . (2.33) Запишем значения изб и изб dF : S sin gy S gh F c изб (2.34) dS sin gy изб. (2.35) Подставляя значения изб и изб dF в уравнение (2.33), получим Д dS y sin g Sy sin gy . (2.36) Решаем его относительно Д S y I S y dS y y c Д, (2.37) где x I – момент инерции площади фигуры S относительно оси Учитывая, что S y I I 2 c ox x + = , где ox I – момент инерции площади фигуры S относительно центральной оси, параллельной x, получим S y I y y c ox Д. (2.38) Таким образом, точка приложения силы изб расположена ниже центра тяжести площади фигуры. Если давление 0 p равно атмосферному (ат p = ) и воздействует на стенку с обеих сторон, то точка Д и будет центром давления. Если 0 p > ат p , но действует на стенку только с одной стороны, то центр давления находится по правилам механики, как точка приложения двух сил S p F 0 0 = и S gh F c изб ρ = Чем больше 0 p , тем очевидно, центр давления будет находиться ближе к центру тяжести площади Если α = 0 (горизонтальное дно сосуда, то сила давления на дно будет равна Рис. 2.9. Схема, иллюстрирующая гидростатический парадокс Вывод различные по форме сосуды, имеющие одинаковые площади днища и заполненные одинаковой жидкостью на одну и туже высоту (рис. 2.9), будут иметь одинаковую силу давления на дно, независимо от формы сосуда и количества находящейся в нем жидкости гидростатический парадокс. |