|
|
Физике. физика. Электродинамика Электрические токи в металлах, вакууме и газах. Электрический ток в жидкостях
Раздел 3. Элементы физики твердого тела
1.Элементы квантовой статистики: Квантовая теория теплоемкости.
Эйнштейн рассматривал кристалл как систему из N атомов, каждый из которых является квантовым гармоническим осциллятором (осциллятор - это физическая система, совершающая колебания). Колебания всех атомов происходят независимо друг от друга с одинаковой частотой n. Средняя энергия áЕñ, приходящая на одну степень свободы атома - гармонического квантового осциллятора:
 . (5)
Внутренняя энергия моля твёрдого тела U = 3NAáEñ =  ,
отсюда молярная теплоёмкость твёрдого тела
 . (6)
Этот результат качественно описывает зависимость С от Т, однако в области низких температур возникают расхождения с экспериментально полученными зависимостями С от Т.
Дебай развил теорию Эйнштейна. Он учёл, что:
1) колебания атомов в кристаллической решётке не являются независимыми и
2) основной вклад в энергию тепловых колебаний кристалла при низких температурах вносят колебания низких частот.
Таким образом, тепловое возбуждение твёрдого тела Дебай описал в виде упругих (звуковых) волн, распространяющихся в кристалле. Упругие волны в кристалле имеют квантовые свойства, проявляющиеся в том, что существует наименьшая порция - квант энергии волны с данной частотой n. Упругим волнам в кристалле сопоставляют фононы, обладающие энергией Е = hn. Фонон есть квант энергии звуковой (упругой) волны. Фононы являются квазичастицами, ведущими себя подобно микрочастицам. Заметим, что квазичастицы, в частности, фононы, не могут возникать и распространяться в вакууме, они существуют только в среде. Таким образом, квантование упругих волн привело к представлениям о фононах подобно тому, как ранее квантование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах.
Как указывалось в предыдущей лекции, фононы относятся к классу бозонов. Система бозонов описывается распределением Бозе-Эйнштейна (7.5). Для фононов m = 0 и ánñ =  , поэтому эта функция входила в формулы (5) и (6) данной лекции, с учётом того, что Е = hn.
Обозначим через dn число фононов с частотой в интервале от n до n+dn, тогда внутренняя энергия кристалла (вывод опускается)
 , (7)
где nмакс =  - максимальная частота фононов, N - число атомов в кристалле с объёмом V, v - скорость звука в кристалле, h, k - постоянные Планка и Больцмана.
При вычислении U вводится характеристическая температура Дебая ТD = hnмакс/k и рассматриваются 2 предельных случая:
1.Высокие температуры Т>>TD (или kT>>hnмакс). При этом  и  . Для одного моля N = NA и молярная
теплоёмкость С = dU/dT = 3NAk = 3R, т. е. соответствует закону Дюлонга и Пти.
2.Низкие температуры T<D . В этом случае при вычислении интеграла вводится новая переменная х = hn/(kT) и верхний предел заменяется на ¥:
 . (8)
При выводе этой формулы было учтено, что интеграл равен  . Молярная теплоёмкость
С = dU/dT =  , (9)
т. е. пропорциональна , что подтверждается на опыте. Таким образом, квантовая теория теплоёмкости Эйнштейна и Дебая объяснила теплоёмкость твёрдых тел.
2.Квантовая теория электропроводности металлов. Экспериментальные основы электропроводности металлов Сверхпроводимость Эффект Джозефсона.
1. Электрическое сопротивление металлов. Квантовая теория электропроводности металлов сводится к следующему:
а. В идеальной кристаллической решетке электроны проводимости при своем движении не должны испытывать сопротивления. Сопротивление возникает тогда, когда в решетке появляются дефекты структуры, то есть нарушается периодичность решетки.
б. В реальных кристаллах есть два механизма нарушения структуры: примесный и тепловой. Соответственно различают примесное удельное сопротивление rn и тепловое (колебательное) rТ. Согласно правилу аддитивности сопротивлений полное сопротивление металла r равно их сумме, r = rn + rТ. (13.1)
в. Примесное сопротивление rn обусловлено наличием инородных атомов в решетке (атомов примеси). Если металл достаточно чистый и концентрация атомов примеси невелика, то примесное сопротивление практически не зависит от температуры и становиться заметным лишь вблизи абсолютного нуля. Благодаря примеси удельное сопротивление металла не должно обращаться в нуль даже при Т = 0 К.
г. Тепловое сопротивление rТ возникает благодаря рассеянию электронов проводимости на флуктуациях плотности узлов кристаллической решетки, возникающих при тепловом колебательном движении узлов. В квантовой теории тепловое колебательное движение атомов решетки трактуется как система стоячих звуковых волн в кристалле - фононов. Поэтому говорят о рассеянии электронов проводимости на фононах.
 В отличие от классической теории электропроводности металлов Друде - Лоренца, прогнозирующей зависимость сопротивления от температуры вида r , квантовая теория дает правильный прогноз линейной зависимости r
Т. При температурах металла Т ³ 50 К r = r0aТ, что соответствует эмпирической формуле r = r0(1 + a t). В квантовой теории получается, что при Т ® 0 полное удельное сопротивление металла r должно стремиться к примесному rn. На рис.90 показана опытная зависимость удельного сопротивления чистого натрия от температуры.
При Т ® 0 К r ® rn = 4·10-11 Ом·м, что составляет примерно 0,4% от сопротивления при Т = 273 К. Уже при температурах Т ³ 20 К зависимость r(Т) становится практически линейной.
д. Электрический ток толкуется в квантовой теории как дрейф электронов в периодическом поле кристалла. Этот дрейф происходит под действием постоянной электрической силы еЕ, где Е- напряженность электрического поля, создающего ток. Оказалось, что скорость дрейфа электронов зависит от глубины их положения в зоне проводимости. Эта зависимость выражается через эффективную массу mэф электрона. В отличие от массы покоя mе свободного электрона эффективная масса электрона в зоне проводимости металла – величина переменная, зависящая от ширины зоны.
Вблизи дна зоны эффективная масса электронов положительна. Направление дрейфа соответствует вектору плотности тока. По мере подъема к верхней границе зоны эффективная масса принимает бесконечно большое значение mэф = ¥, а затем становится отрицательной. Соответственно и скорость дрейфа электронов, имея “правильное” направление у дна зоны, постепенно проходит через нуль и принимает отрицательные (“неправильные”) значения у верхней границы зоны.
Соотношения, полученные в приближении свободных электронов в теории Друде – Лоренца, оказываются справедливыми для электронов, движущихся в периодическом поле решетки, если в них заменить массу покоя электрона mе на эффективную mэф.
 2. Сверхпроводимость. В 1911 году Камерлинг – Оннес, измеряя сопротивление ртути в области низких температур, обнаружил, что при Т = 4,2 К сопротивление ртути практически падало до нуля. Это явление стали называть сверхпроводимостью. На рис.91 показаны опытные кривые зависимости удельного сопротивления некоторых чистых металлов от температуры вблизи абсолютного нуля. Очевидно, что явление не сводится к нормальному падению удельного сопротивления бездефектного кристалла, когда rn = 0, и rТ . Переход в сверхпроводящее состояние происходит не плавно, а скачкообразно при некоторой температуре Ткр, которую называют критической температурой перехода. Сейчас известно около 30 сверхпроводящих химических элементов и свыше 500 сверхпроводящих материалов.
 3. Эффекты сверхпроводимости.
а. Электрический ток, возбужденный в сверхпроводящем кольце, может циркулировать в нем годами.
б. ЭффектМейснера. В 1933 году Вальтер Мейсснер и Р. Оксенфельд обнаружили, что вещество, помещенное в магнитное поле (рис.92 слева), при переходе в сверхпроводящее состояние не замораживает находящееся в нем магнитное поле, как это должно было быть при простом переходе вещества в состояние с нулевым сопротивлением, а выталкивает его из своего объема (рис. 92 справа). Это присуще идеальным диамагнетикам с нулевой магнитной проницаемостью m = 0.
Из того, что магнитное поле не проникает в сверхпроводник, следует, что электрический ток может течь лишь по поверхности сверхпроводника. Ведь если бы ток мог протекать в толще сверхпроводника, то вокруг него в толще сверхпроводника было бы магнитное поле. И действительно, опыт показывает, что электрический ток течет в сверхпроводнике в поверхностном слое толщиной l = 10 ¸ 100 нм. На эту глубину в сверхпроводник проникает и магнитное поле, убывая с расстоянием x от поверхности по экспоненциальному закону
В = В0exp(-xçl). (13.2)
Вещество в сверхпроводящем состоянии приобретает два не связанных друг с другом фундаментальных свойства: идеальную проводимость и идеальный диамагнетизм.
 Эффект Мейснера позволяет устойчиво подвешивать сверхпроводящие тела в магнитном поле (рис.93). При пререходе шара в сверхпроводящее состояние 1-го рода магнитное поле из него вытесняется. В результате в поверхностном слое шара индуцируется ток такого направления, при котором шар выталкивается из поля.
 в. Эффект критического магнитного поля. Он состоит в том, что при достижении магнитным полем, в котором находится сверхпроводник, некоторого предельного значенияиндукции Вкр »10-2 ¸ 101 Тл, сверхпроводимость исчезает.
На рис.94 показана зависимость Вкр от температуры для свинца (верхняя кривая) и для олова (нижняя кривая). При критической температуре Т = Ткр критическое поле равно нулю, Вкр = 0, а с понижением температуры Вкр увеличивается.
Если усиливать ток, идущий по сверхпроводнику, то при некотором его критическом значении Iкр сверхпроводящее состояние разрушается. Поскольку магнитное поле В пропорционально току I, то зависимость Iкр от температуры аналогична зависимости Вкр(Т). Эффект критического магнитного поля усложняет технику получения сверхсильных магнитных полей с помощью сверхпроводящих контуров. Расчет критического тока должен учитывать, что ток течет в приповерхностном слое. Например, у проводника диаметром 1 мм при l = 35 нм сечение приповерхностного слоя, по которому течет ток, около 10-4 мм2. Это составляет около 0,01% всего сечения проводника.
 г. Эффект Джозефсона. В 1962 году Брайан Джозефсон теоретически предсказал два эффекта, суть которых в следующем.
Подсоединим к сверхпроводнику (на рис.95-а он изображен в виде бруска) амперметр А с источником постоянного тока, ЭДС которого E, и вольтметр V. В цепи идёт постоянный ток, регистрируемый амперметром. Так как сопротивление сверхпроводника равно нулю, то вольтметр показывает нуль.
Разрежем сверхпроводник на две части и раздвинем их, чтобы между ними возник зазор толщиной d » 1 нм. Как предсказал Джозефсон, при включении такого сверхпроводника в цепь может наблюдаться один из следующих двух эффектов.
Стационарный эффект Джозефсона. Через сверхпроводник по-прежнему идёт постоянный ток. Оказывается, ток может течь без сопротивления не только через сверхпроводник, но и через щель в нем, если она достаточно узка (рис.95-б).
Нестационарный эффект Джозефсона. На концах сверхпроводника со щелью может возникнуть постоянная разность потенциалов. В этом случае из щели излучается высокочастотная электромагнитная волна (рис.95-в). Через сверхпроводник течет не только постоянный, но и высокочастотный переменный ток.
В настоящее время эффекты Джозефсона не только подтверждены экспериментально, но и используются в микроэлектронике.
4. Теорию сверхпроводимости построили в 1957г Джон Бардин, Леон Купер и Джон Шриффер. По первым буквам их фамилий ее назвали БКШ – теорией. В основе БКШ- теории лежит представление, что между электронами проводимости металла могут действовать силы притяжения, возникающие вследствие поляризации ими кристаллической решетки.
Электрон, движущийся в решетке, притягивает к себе положительно заряженные ионы, несколько сближая их, и тем самым создает вдоль пути своего следования избыточный положительный заряд поляризованной решетки, к которому могут быть притянуты другие электроны. Это эквивалентно возникновению силы притяжения между электронами, только действующей не непосредственно, а через поляризованную решетку.
 Можно предположить, что сверхпроводимость следует ожидать прежде всего у тех металлов, у которых имеет место сильное взаимодействие электронного газа с решеткой, приводящее в обычных условиях к высокому удельному сопротивлению. И действительно, из чистых металлов лучшими сверхпроводниками оказались наиболее высокоомные - свинец Рb, ниобий Nb, олово Sn, ртуть Hg. В то же время у таких низкоомных металлов, как медь Cuи сереброAg, у которых электронный газ имеет высокую подвижность, сверхпроводимость не наблюдается.
Как показал Леон Купер, при Т < Ткр, самые верхние электроны,расположенные на уровне Ферми, могут спариваться. При этом их суммарная энергия оказывается меньше суммы энергий отдельных электронов. Выделяющаяся энергия должна отводиться от кристалла охлаждением. Понижение энергии куперовских пар приводит к понижению верхнего занятого электронами уровня. В результате между уровнями куперовских пар и ближайшими свободными уровнями возникает запрещенная зона шириной 2D (рис.96 слева). Эта возникшая энергетическая щель не позволяет куперовским парам электронов принимать малую энергию. Они могут принять лишь энергию не менее 2D, которая позволит электронам перепрыгнуть через эту щель. Поэтому при Т < Ткр куперовские пары оказываются весьма устойчивыми.
При Т < Ткр спариваются не все электроны. При каждой температуре устанавливается некоторое равновесное соотношение между концентрациями нормальных и спаренных электронов. Оказывается, что ширина 2D энергетической щели в сверхпроводнике зависит от количества неспаренных электронов. Их концентрация понижается с уменьшением температуры и соответственно растет ширина щели (рис.96 справа).
Электроны, образующие куперовские пары, имеют противоположные спины. Поэтому спин пары равен нулю, и она представляет собой бозон. Бозоны могут накапливаться в основном энергетическом состоянии, из которого их трудно перевести в возбужденное состояние. Поэтому куперовские пары в состоянии согласованного движения могут оставаться неопределенно долго. Такое согласованное движение пар и есть ток сверхпроводимости.
Расстояние между электронами пары велико. Оно составляет примерно 1000 нм, что около 5000 поперечников атомов. Примерно 1000 пар перекрываются, занимая общий объем.
|
|
|
Скачать 4.58 Mb.