Линии второго порядка. Элементы аналитической геометрии

• Название: Элементы аналитической геометрии
• Анкор: Линии второго порядка
• Дата: 29.09.2021
• Размер: 289 Kb.
• Имя файла: Линии второго порядка.doc
• Тип: Документы; #238687

1. 
   Тема: Элементы аналитической геометрии
   
2. 
   Количество учебных часов – 3 часа
   
3. 
   Актуальность темы (мотивация).
   

Знание фундаментальных основ аналитической геометрии способствует формированию специализированных знаний, соединяющих профессиональные знания и умения узких специалистов и широкие общенаучные фундаментальные знания. Геометрический анализ живых форм представляет общий научный интерес.

Применением геометрии в медицине является приравнивание природных тел к геометрическим, что позволяет произвести оценку и выносить количественные суждения.

Линии, плоскости и поверхности используются при описании форм молекулярных связей, пространственных моделей ДНК, мембранных структур, а также различных их трансформаций, как в норме, так и при патологии. Несложные геометрические соображения должен иметь в виду специалист в области пластической хирургии, собирающийся компенсировать дефект при помощи пересадки или трансплантанта.

4. Цель занятия.

Обучения студентов основным понятиям аналитической геометрии.
Студент должен знать:

1. 
   Эллипс. Определение и каноническое уравнение.
   
2. 
   Гипербола. Определение и каноническое уравнение.
   
3. 
   Парабола. Определение и каноническое уравнение.
   

Студент должен уметь:

1. 
   Исследовать форму эллипса.
   
2. 
   Исследовать форму гиперболы.
   
3. 
   Исследовать форму параболы.
   

5.Вопросы для самоподготовки.

а) по базисным знаниям:

Квадрат суммы и разности двух чисел.

б) по теме занятия:

1. 
   Дайте определение эллипса и напишите его каноническое уравнение.
   
2. 
   Дайте определение гиперболы и напишите её каноническое уравнение.
   

3. Дайте определение параболы и напишите её каноническое уравнение.
6. Информационно-дидактический блок (аннотация, пособия):

Краткая аннотация по теме:

Исследование формы эллипса, гиперболы, параболы.

Краткая теория

§1.Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная фокусами).

y


M

rrrrYrry ii




fffffffff



Рис.1

Ч тобы составить уравнение эллипса, примем за ось абсцисс прямую, соединяющую две данные точки F₁ и F_{2 ,} выбрав на ней положительное направление от F₂ и F_1; начало координат возьмем в середине отрезка, соединяющего две данные точки (рис.1). Обозначим через 2 с расстояние F₁ F₂ между фокусами. Тогда координаты точек F₁ и F₂ будет соответственно (с;0) и (-с;0). Обозначая через х и у координаты произвольной точки М эллипса, выразим длины отрезков F₁М и F₂М по формуле расстояния между двумя точками:



По определению эллипса сумма F₁М+ F₂М=2а,

или

Это есть уравнение эллипса в выбранной системе координат.

Чтобы найденное уравнение эллипса приняло простейший вид, нужно в этом уравнении освободиться от радикалов. Перенося один радикал направо, получим;



Возводя в квадрат обе части, найдем;



или

т.е.

Возводя снова в квадрат, получим:



или

т.е.

Разделив обе части на получим:

(1).

Так как по условию то есть положительная величина, ее принято обозначать через Тогда уравнение эллипса будет:

(2)

где положено (3)

Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса.

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом (так как то ).

Расстояния некоторой точки эллипса М от его фокусов называются фокальными радиусами-векторами этой точки. Их обычно обозначают r₁ и r₂ (в силу определения эллипса для любой его точки ) .

В частном случае, когда а=в (с=0, е=0, фокусы сливаются в одной точке-центре), эллипс превращается в окружность (с уравнением ).

Взаимное расположение точки и эллипса определяется условиями: если то точка М лежит на эллипсе; если то точка М лежит вне эллипса; если то точка М лежит внутри эллипса.

Фокальные радиусы-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам (правый фокальный радиус-вектор) и (левый фокальный радиус-вектор).

Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и .

Решение: Пусть -искомое уравнение эллипса. Этому уравнению должны удовлетворять координаты данных точек. Следовательно,



Отсюда находим а²=10, в²=1. Итак, уравнение эллипса имеет вид .

Две прямые , , перпендикулярные к фокальной оси эллипса и отстоящие на растояние от его центра, называются директрисами эллипса.

Пример 2: Найти эксцентриситет и директрисы эллипса х²+2у²=2.

Написав уравнение эллипса в виде:



заключаем, что а²=2, в²=1. Следовательно, с²=а²-в²=2-1=1, откуда



Директрисы проходят на расстоянии от центра эллипса (начала координат), т.е. на растоянии, равном Уравнение директрис х=+2, х=-2.

§2. Гипербола и ее асимптоты.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная должна быть положительной и меньше расстояния между фокусами).

Обозначим эту постоянную через 2а, расстояние между фокусами через 2с. Пусть - произвольная точка гиперболы













Р



ис. 2.
По определению гиперболы

В правой части равенства нужно выбрать знак плюс, если , и знак минус, если .

Так как, и , то последнее равенство можно записать в виде:

.

Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат.

Освобождаясь в этом уравнении от радикалов, можно привести уравнение к простейшему виду.

Перенося первый радикал в правую часть равенства и возводя обе части в квадрат, после очевидных преобразований получим:



Возведя еще раз обе части равенства квадрат, сделав приведение подобных членов и разделив на свободный член, получим:



Так как , то величина с²-а² положительна. Обозначая ее через в², т.е. полагая в²=с²-а²,

получим каноническое уравнение гиперболы:

.

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А₁(а;0) и А₂(-а,0) называются вершинами гиперболы. Отрезок называется действительной осью гиперболы, а отрезок -мнимой осью (Рис.2).

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки М(х, у) гиперболы от этой прямой стремится к нулю при или . Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Для построения асимптот гиперболы строят осевой прямоугольник гиперболы со сторонами х=а, х=-а, у=в, у=-в. Прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. На рис. 2. указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.

Фокальные радиусы-векторы правой ветви гиперболы: (правый фокальный радиус вектор), (левый фокальный радиус вектор).

Фокальные радиусы-векторы левой ветви гиперболы: ( правый фокальный радиус-вектор), (левый фокальный радиус вектор).

Если а=в, то уравнение гиперболы принимает вид

.

Такая гипербола называется равнобочной. Ее асимптоты образуют прямой угол. Если за оси координат принять асимптоты равнобочной гиперболы, то ее уравнение примет вид при гипербола расположена в I и II четвертях, при -во II и IV четвертях). Так как уравнение ху=m можно переписать в виде , то равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональной зависимости между величинами х и у.

Уравнение (или ) также является уравнением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси оу длины 2в.

Две гиперболы

и

имеют одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты, но действительная ось одной служит мнимой осью другой, и наоборот. Такие две гиперболы называются сопряженными.

Пример 1: На правой ветви гиперболы



найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше ее расстояния от левого фокуса.

Решение: Для правой ветви гиперболы фокальные радиусы-векторы определяются по формулам и . Следовательно, имеем уравнение , откуда здесь а=4, т.е. х=9,6.

Ординату находим из гиперболы:

.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки: и .

Пример 2: Эксцентриситет гиперболы равен . Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку .

Решение: Согласно определению эксцентриситета, имеем , или Но следовательно, , или т.е. гипербола равнобочная.

Другое равенство получим из условия нахождения точки М на гиперболе, т.е.

или .

Поскольку , получим , т.е. .

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид .
§3. Парабола.

Парабола есть геометрическое место точек, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что данная точка не лежит на прямой).









Рис. 3.
Чтобы составить уравнение параболы, примем за ось ох прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, и будем считать ее направленной от директрисы к фокусу; за начало координат возьмем середину 0 отрезка от точки F до данной прямой, длину которого обозначим через р (Рис. 3.). Величину р называют параметром параболы. Координаты фокуса F будут . Обозначим через х и у координаты произвольной точки М параболы. Тогда координаты точки К-основания перпендикуляра, опущенного из М на директрису, будут . Так как по определению FM=MK, то, применяя формулу расстояния между двумя точками, получим уравнение параболы в выбранной системе координат:



Чтобы придать ему простейший вид, возведем обе части в квадрат. Будем иметь:



или

откуда (1)

Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс (р>0).

Уравнение х²=2ру (2) является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат. При р>0 параболы (1) и (2) обращены в положительную сторону соответствующей оси, а при р<0 – в отрицательную сторону.

Длина фокального радиуса-вектора параболы у²=2ру определяется по формуле (р>0).

Обозначая через r расстояние любой точки М параболы до фокуса, а через d ее расстояние до директрисы, мы имеем r =d, или (Рис. 4.).








Поэтому эксцентриситет параболы принимают равным единице. Уравнение директрисы параболы будет: .




Рис. 4.

Пример 1. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ох, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной оси ох, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.

Решение: Так как известны длины хорды и расстояние ее от вершины, то, следовательно, известны координаты конца этой хорды-точки М, лежащей на параболе. Уравнение параболы имеет вид у²=2рх; полагая в нем х=6, у=8, находим 8² =2р·6, откуда . Итак, уравнение искомой параболы .

Пример2: Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси оу и отсекающей на биссектрисе I и III координатных углов хорду длиной .

Решение: Искомое уравнение параболы х²=2ру, уравнение биссектрисы у-х. Таким образом, получаем точки пересечения параболы с биссектрисой: О(0,0) и М(2р,2р). Длина хорды определяется как расстояние между двумя точками: откуда 2р=8. Следовательно, искомое уравнение имеет вид х²=8у.
7. Содержание занятия

Самостоятельная работа студентов.

1. 
   Построить эллипс . Найти: 1) полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет.
   
2. 
   Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что: 1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b=3; 2) большая полуось a=6, а эксцентриситет ; 3) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ; 4) расстояние между фокусами равно 6, а a+b=9; 5) расстояние между фокусами равно ,а .
   
3. 
   Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки:
   
4. 
   Эллипс проходит через точки и .Написать его уравнение и найти расстояния точки от фокусов.
   
5. 
   Построить гиперболу . Найти: 1) действительную и мнимую полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет; 4) уравнение асимптот.
   
6. 
   Построить гиперболу Найти:1) действительную и мнимую полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет; 4) уравнение асимптот.
   
7. 
   На гиперболе взята точка с ординатой, равной 1. Найти расстояние её от фокусов.
   
8. 
   Гипербола проходит через точку и имеет мнимую полуось b=2. Написать её уравнение и найти расстояния точки от фокусов.
   
9. 
   Построить параболу Найти: 1) координаты фокуса; 2) уравнение директрисы.
   
10. 
    Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки (0;0) и (1;-3) и симметричной относительно оси ; 2) проходящей через точки (0;0) и (2;-4) и симметричной относительно оси .
    
11. 
    Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы и касающейся её директрисы. Найти точки пересечения параболы и окружности.
    
12. 
    Написать уравнение параболы и директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси и что точка пересечения прямых и лежит на параболе.
    
13. 
    Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: 1) (1;-
    

Совместная работа студентов с преподавателем.

Преподаватель проводит проверку самостоятельной работы студентов с опросом по теме каждого студента. Обобщает результаты индивидуальной работы, останавливаясь на основных ошибках. Устраняет пробелы в знаниях по теме.
Контроль исходного и заключительного уровня знаний.

Анализ и итог практического занятия по результатам устных вопросов темы, а также индивидуальных работ студентов.

8. Литература.

1. 
   Шипачев В.С. «Сборник задач по высшей математике», Москва, «Высшая школа», 2000 г
   
2. 
   Привалов И.И. Аналитическая геометрия, Москва, «Наука», 1966 г.
   
3. 
   Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Москва, «Высшая школа».
   
4. 
   Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии. Москва, «Наука», 1974 г.
   
5. 
   Лихолетов И.И., Моцкевич И.П. Руководство к решению задач. Минск, «Высшая школа», 1966 г.
   
6. 
   Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. Москва, «Наука», 1978 г.