5 класс Мат логика. Факультативный курс по математике в 5 классе Логические задачи. Пояснительная записка
 Скачать 190.5 Kb.
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| № п\п | Тема | Количество часов | Вид контроля | Дата проведения |
| 1 четверть (9 часов) | | |||
| 1 | Вводное занятие. Основы логики. История развития алгебры и математической логики. Логические задачи для разминки. | 2 | Установочное тестирование | |
| 2 | Задачи - шутки | 1 | Практическая работа по составлению задач-шуток. | |
| 3 | Задачи на логику счета | 2 | Обучающая самостоятельная работа | |
| 4 | Игра «Головоломки» | 1 | | |
| 5 | Исследовательская работа «Логика в практике человека» | 2 | Творческая самостоятельная работа | |
| 6 | Защита исследовательских работ | 1 | | |
| 2 четверть (7 часов) | | |||
| 7 | Старинные занимательные задачи | 2 | | |
| 8 | Задачи-загадки | 1 | | |
| 9 | Задачи на затруднительные ситуации | 3 | Творческая самостоятельная работа | |
| 10 | Контрольное тестирование по итогам 1 полугодия | 1 | тестирование | |
| 3 четверть ( 10 часов) | | |||
| 11 | Задачи с практическим содержанием | 2 | | |
| 12 | Настоящие логические задачи | 2 | | |
| 13 | Переправы, разъезды, погони | 3 | Творческая самостоятельная работа | |
| 14 | Можете ли вы рассуждать логично? Подготовка детей к участию в международном математическом конкурсе «Кенгуру» | 2 | Обучающая самостоятельная работа | |
| 15 | Игра «Лабиринт смекалки» | 1 | тестирование | |
| 4 четверть (7 часов) | | |||
| 16 | Задачи на переливание | 1 | | |
| 17 | Логический детектив | 1 | Обучающая самостоятельная работа | |
| 18 | Турнир смекалистых | 1 | | |
| 19 | Исследовательская работа «Логика в жизни моей семьи» | 2 | Творческая самостоятельная работа | |
| 20 | Защита исследовательских работ | 1 | | |
Основное содержание курса.
Тема 1. Вводное занятие. Основы логики. История развития алгебры и математической логики. Логические задачи для разминки.
Понятие «логическая задача». История возникновения логических задач. Значение логических задач в развитии мышления и приёмы мыслительной деятельности, способствующие развитию умения решать логические задачи. Логические задачи для разминки.
Установочное тестирование для определения уровня развития логического мышления.
Тема 2. Задачи – шутки.
Из истории возникновения задач-шуток. Задачи-шутки. Практическая работа по составлению задач данного типа.
Тема 3. Задачи на логику счета.
Из истории возникновения задач на логику счета. Задачи на логику счета и алгоритм их решения. Задачи данного вида олимпиадного характера. Проведение обучающей самостоятельной работы по группам.
Тема 4. Игра «Головоломки»
Форма проведения занятия – игра соревновательного характера. Математические ребусы и обобщённый алгоритм их решения. Обобщение знаний учеников по задачам-шуткам и задачам на логику счета.
Тема 5. Исследовательская работа «Логика в практике человека».
Основные положения по организации и проведению исследовательской работы. Обработка собранного материала по теме. Проведение творческой самостоятельной работы по группам.
Тема 6. Защита исследовательских работ
Защита исследовательских работ по теме «Логика в практике человека».
Оценка работ по номинациям:
-лучшее содержание;
-лучшее наглядное оформление;
-лучшее изложение и т.д.
Подведение итогов окончания четверти.
Тема 7. Старинные занимательные задачи
Из истории возникновения данного вида задач. Старинные занимательные задачи и алгоритм их решения. Моделирование ситуаций и нахождение путей их решения.
Тема 8. Задачи-загадки
Из истории возникновения задач-загадок. Решение задач данного вида. Выполнение упражнений по составлению задач-загадок (работа в парах).
Тема 9. Затруднительные ситуации
Задачи на затруднительные ситуации и алгоритм их решения (6 ситуаций). Моделирование ситуаций и нахождение путей их решения. Творческая самостоятельная работа в группах по разрешению проблемной ситуации. Защита своих решений.
Тема 10. Контрольное тестирование по итогам 1 полугодия
Проведение контрольного тестирования. Сравнение результатов тестирования с результатами установочного тестирования.
Тема 11. Задачи с практическим содержанием
Виды «практичных» и «непрактичных» задач, алгоритм их решения. Выполнение тренировочных упражнений по решению данного вида задач.
Тема 12. Настоящие логические задачи.
Законы мышления, понятие, суждение. Использование частичного поиска для решения задач на логику мышления. Выполнение упражнений на тему « Логические рассуждения».
Тема 13. Переправы, разъезды, погони.
Задачи на переправы, разъезды, погони, алгоритм их решения. Моделирование ситуаций и нахождение путей их решения. Выполнение творческой самостоятельной работы в группах. Защита своего решения.
Тема 14. Можете ли вы рассуждать логично? Подготовка детей к участию в международном математическом конкурсе «Кенгуру».
Тестирование на логику мышления. Задачи логического характера из сборника заданий международного математического конкурса «Кенгуру» прошлых лет. Практическое занятие по решению данных заданий.
Тема 15. Игра «Лабиринт смекалки»
Форма проведения занятия - игра соревновательного характера. Обобщение и систематизация знаний и умений решения задач изученных видов. Подведение итогов окончания 3 четверти.
Тема 16. Задачи на переливание
Задачи, решаемые на основе осознания исходных данных. Задачи на переливание и алгоритм их решения. Выполнение практических заданий в группах.
Тема 17. Логический детектив
Форма проведения занятия - урок - расследование. Значение логики в профессии людей. Выполнение практических заданий на умение проводить расследования по детективной ситуации. Обучающая самостоятельная работа.
Тема 18. Турнир смекалистых
Форма проведения занятия - турнир детективов. Расследование «Детективных дел», оценка данного расследования. Определение лучшего детектива.
Тема 19. Исследовательская работа «Логика в жизни моей семьи»
Обработка собранного материала по теме «Логика в жизни моей семьи». Проведение творческой самостоятельной работы по группам.
Тема 20. Защита исследовательских работ.
Защита исследовательских работ по теме «Логика в жизни моей семьи».
Оценка работ по номинациям:
-лучшие содержание;
-лучшее наглядное оформление;
-лучшее изложение и т.д.
Подведение итогов окончания изучения курса.
Планируемые результаты обучения
В результате изучения курса учащиеся должны:
-пониматьсущность понятия "логическая задача";
-знать алгоритмы решения алгоритмических логических задач и уметь применять их на практике;
-знать алгоритм творческой деятельности по поиску решения неалгоритмических логических задач и уметь применять его на практике;
-уметь выполнять небольшие исследовательские работы, владеть приемами их защиты.
РАЗРАБОТКИ ЗАНЯТИЙ
Тема 1. Вводное занятие. Основы логики. История развития алгебры и математической логики. Логические задачи для разминки.
“Недостаточно иметь хороший ум. Главное – правильно его использовать”
Рене Декарт
Цели:
Образовательная:
закрепить понятия алгебры логики и отработать навыки использования ее для решения задач;
Развивающие:
развивать логическое и творческое мышление учащихся, сообразительность, наблюдательность, интуицию;
формировать активный познавательный интерес к предмету.
Воспитательная:
воспитывать культуру общения на уроке, аккуратность, внимательность и взаимоуважение;
воспитывать умение работать в группе;
воспитывать умение отстаивать свою точку зрения.
Форма урока: нетрадиционная
Занятие проводится в форме круглого стола. Проводится утреннее совещание в “ школе сыска” с названием “Логика и К”
Оборудование: Карточка с задачами, мультимедийный проектор, презентация
ПЛАН УРОКА
I. Оргмомент (сообщается цель, план урока, форма проведения)
Логика и К - Школа сыска
Утреннее совещание
Разоблачение фальшивомонетчика
Задержанный
Кто участвовал в ограблении?
Дело Иванова, Петрова и Сидорова
Ограбление банка
Вывод комиссара Мегре
II. Вводное слово учителя (Приложение 1, приложение 2)
III.Разминка (решение задач с помощью рассуждений)
Предлагаются две задачи: №1 Фальшивомонетчик, №2 Задержанный. Решение данных задач находят ребята путем мозгового штурма: Выдвигают гипотезы и пытаются их доказать. Учитель выступает в роли координатора.
№1 Фальшивомонетчик
Искусный фальшивомонетчик снял копию со стодолларовой купюры и начал печатать фальшивки. Сделанные им копии во всех деталях повторяли оригинал. Но эксперт утверждает, что он совершил единственную ошибку.
Какую ошибку допустил преступник? (Ответ. Преступник сделал копию фальшивой купюры)
№2 Задержанный
Грабитель глубокой зимней ночью забрался в дом. Никто его не видел. Однако уже через несколько часов его задержала полиция.
Как им удалось выследить его? (Ответ. Оставил отпечаток номера машины на сугробе)
III. Основная часть. Решение задач с помощью алгебры высказываний
Водится метод решения задач с помощью алгебры высказываний
Учитель: При решении любой задачи могут быть выделены следующие этапы:
Анализ условия задачи (выделение исходных данных).
Поиск метода решения.
Символическая запись задачи.
Рассуждения и пояснения к решению.
Анализ полученных результатов и запись ответа.
Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:
средствами алгебры логики;
табличный;
с помощью рассуждений.
Обычно используется следующая схема решения:
изучается условие задачи;
вводится система обозначений для логических высказываний;
конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
определяются значения истинности этой логической формулы;
из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.
Логические задачи обычно формулируются на естественном языке. В первую очередь их необходимо формализовать, записать на языке алгебры высказываний. Полученные логические выражения необходимо упростить и проанализировать. Для этого иногда бывает необходимо построить таблицу истинности подученного логического выражения
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания “не”, “и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками. (Приложение 3)
НЕ Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком
). Высказывание 
истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. «Луна — спутник Земли» (А); «Луна — не спутник Земли» ( ). И Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией
Конъюнкцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.
Конъюнкцию высказываний А и В обозначают: A & B. Знак & - амперсент - читается как английское «and» (Procter & Gamble или Wash & Go?). Часто встречается обозначение А /\ В. Иногда, для краткости, пишут просто АВ.
ИЛИ Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом).
Дизъюнкцией двух высказываний называется такое новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно ХОТЯ БЫ ОДНО из этих высказываний.
Дизъюнкцию высказываний А и В мы обозначим символом А V В и будем читать: А или В.
ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками «если ..., то», «из ... следует», «... влечет ...», называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком
. Высказывание 
ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «... равносильно ...», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком
или . Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.
Решение задач с помощью алгебры высказываний
Предлагается 4 задачи для решения. Учащиеся разбиваются на две группы. Каждая группа решает эти задачи в течение12 минут, затем проходит защита данного решения ( используются элементы Математического боя). Организационный момент
Первая команда выставляет докладчика на 1-ю задачу, вторая оппонента. Учитель в роли арбитра. Оценка докладчика: 0-10б, оценка оппонента 0-5б.Затем, при разборе 2-й и последующих задач, происходит смена докладчиков и оппонентов. В конце подводится итог. На разбор каждой задачи не более1-й мин, на доклад и 2-е мин на ответы оппоненту (3 мин) Всего: 12 мин.
Результаты боя заносятся в таблицу, нарисованную на доске:
| Задача | 1 команда | ход | 2 команда |
| №3 Кто участвовал в ограблении? | | → | |
| № 4 Дело Иванова, Петрова и Сидорова | | ← | |
| № 5 Ограбление банка | | → | |
| № 6 Какой вывод сделал комиссар Мегре? | | ← | |
| Итог | ∑ | | ∑ |
№3 Кто участвовал в ограблении?
Если А участвовал, то и В участвовал;
Если В участвовал, то и С участвовал, или А не участвовал;
Если Д не участвовал, то А участвовал, а С не участвовал;
Если Д участвовал, то А участвовал.
Решение: Записываем условие на языке алгебры логики.
А→ В
В→(С ٧┐А)
┐Д →(А&┐C)
Д→А
Используем : Конъюнкция истинных высказываний – истинное высказывание
(А→ В) &( В→(С ٧┐А) ) &(┐Д →(А&┐C))&( Д→А) = 1
Известно, импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:
А
В = v В. Значит,
(┐А+В)( ┐В+С+ ┐А)( Д+А┐C)( ┐Д + А) = 1
Упрощаем логическое выражение:
(┐А┐В +┐АС +┐А┐А + В┐В+ ВС+В┐А)( Д┐Д +АД + А┐Д┐С + ┐ААС) = (┐А┐В+ ┐АС + ┐А+ ВС+В┐А)( АД+ А┐Д┐С) = 1
И
спользуем законы поглощения: (┐А +ВС)( АД+ А┐Д┐С) = ┐ААД +┐АА┐Д┐С + ВСАД + ВСА┐Д┐С = АВСД = 1
Ответ: Преступление совершили А, В, С, Д.
№ 4 Дело Иванова, Петрова и Сидорова
В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления.
Иванов: Я не делал этого. Петров не делал этого.
Петров: Иванов не делал этого. Сидоров не сделал это.
Сидоров: Я не делал этого. Петров сделал это.
Было установлено далее, что каждый из них только один раз сказал правду.
Кто совершил преступление?
Решение:
Иванов: ┐И&П ٧ И&┐П Петров: ┐И&С ٧ И&┐С Сидоров: ┐С&┐П ٧ С&П
(┐И&П ٧ И&┐П)&( ┐И&С ٧ И&┐С)&( ┐С&┐П ٧ С&П) = 1
(┐И&П&┐И&С ٧┐И&П& И&┐С٧ И&┐П&┐И&С٧ И&┐П & И&┐С) &( ┐С&┐П ٧ С&П) = (┐И&П&С ٧ И&┐П & ┐С)& ( ┐С&┐П ٧ С&П)= ┐И&П&С&┐С&┐П ٧ ┐И&П&С& С&П٧ И&┐П & ┐С& ┐С&┐П ٧ И&┐П & ┐С &С&П = 0+ ┐И&П&С + И&┐П & ┐С+ 0 = ┐И&П&С + И&┐П & ┐С = 1
Ответ: Преступление совершили либо Петров и Сидоров, либо Иванов.
№ 5 Ограбление банка
Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике»; Джонс сказал, что это был черный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо ее цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?
Решение: Запишем простые высказывания:
А = { машина марки «Бьюик»}
B = { машина марки «Крайслер»}
C = { машина марки «Форд Мустанг»}
D = { машина синего цвета}
F = { машина черного цвета}
Тогда можно записать: (А┐D+ ┐AD)(B┐F+┐BF)(CD+┐C┐D) = 1
Упростим выражение: (B┐F+┐BF)( А┐D CD + А┐D┐C┐D+┐AD CD +┐AD┐C┐D)=
(B┐F+┐BF) (0+ А┐D┐C+ ┐AD C+0)= ┐AD C B┐F + ┐AD C┐BF + А┐D┐C B┐F + А┐D┐C┐BF = ┐AD C B┐F+┐AD C┐BF+ А┐D┐C B┐F+ А┐D┐C┐BF
Учитывая, что одна машина не может иметь две марки и два цвета, получаем:
А┐D┐C┐BF
Ответ: черный «Бьюик».
№ 6 Какой вывод сделал комиссар Мегре?
«Вернувшись домой, Мегре позвонил на набережную Орфевр.
Говорит Мегре. Есть новости?
Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Жуссье считает, что или Этьен убийца или Франсуа не был пьян и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Затем звонила…
Все. Спасибо. Этого достаточно. Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все».
Решение.
Запишем простые высказывания:
А = { Франсуа пьян}
B = { Этьен убийца }
C = { Франсуа лжет }
D = { убийство произошло после полуночи }
Торранс: A→(B+C) = ┐A+B+C =1
Жуссье: (B+ ┐A)D = BD+ ┐AD =1
Инспектор Люка: D→(B+C) = ┐D+ B+C =1
(┐A+B+C)( BD+ ┐AD)( ┐D+ B+C) = 1
(BD┐A + BD B + BD C+ ┐AD┐A + ┐AD B + ┐ADC)( ┐D+ B+C)= 1
Применяя закон поглощения: (┐AD+BD) ( ┐D+ B+C)= ┐AD┐D + ┐ADB +┐ADC+ BD┐D + BDD+ BDC= ┐ADB + ┐ADC+BD+ BDC= BD+ ┐ADC
Известно, что трезвый Франсуа никогда не лжет, значит ┐ADC=0
Итак, BD=1
Ответ: Этьен убийца и убийство произошло после полуночи
IV. Домашнее задание №7 Кто разбил стекло? -1 мин
В школе кто-то разбил стекло. Подозреваются Леня, Дима, Толя и Миша. Каждый из них дал показания. Леня: Я не виновен. Я даже не подходил к окну. Миша знает, кто это сделал. Дима: Я не разбивал. С Мишей я не был знаком до школы. Это сделал Толя. Толя: Я не виновен. Это сделал Миша. Дима врет, что я разбил. Миша: Я не виновен. Стекло разбил Леня. Дима может поручиться за меня, т.к. знает меня очень давно. Потом каждый из них признался, что дал два верных и одно ложное показание При решении нужно учесть, что виновным был только один мальчик.
V. Итог урока Итоги совещания - 2 мин
Решение логических задач средствами алгебры логики
Алгебра высказываний позволяет научиться моделировать простейшие мыслительные процессы.
«Методы эти позволяют Вам обрести ясность мысли, способность находить собственное оригинальное решение трудных задач, вырабатывают у Вас привычку к систематическому мышлению и, что особенно ценно, умение обнаруживать логические ошибки, изъяны и пробелы тех, кто не пытался овладеть привлекательным искусством логики. Попытайтесь. Вот все, о чем я прошу вас», – Льюис Кэрролл (псевдоним Чарльза Лютвиджа Доджсона (1832–1898)) – известный английский математик и литератор