5 класс Мат логика. Факультативный курс по математике в 5 классе Логические задачи. Пояснительная записка
 Скачать 190.5 Kb.
|
|
Тема 2. Задачи – шутки. Цели: Способствовать привитию познавательного интереса к математике. Развивать логическое мышление, память, внимание, воображение. Работать над развитием творческих способностей учащихся. Задачи: Научить решать задачи логического содержания. Научить решать задачи нестандартного характера. Содействовать общему развитию учащихся, формированию умения сравнивать, обобщать, делать выводы. Задача 1. Снесли вместе 7 стожков сена и 11 стожков. Сколько стожков получилось? Ответ Получился один стог. Задача 2 .У мальчика сестер столько же, сколько и братьев. Но у каждой сестры братьев в 2 раза больше, чем сестер. Сколько всего детей в семье? Сколько из них мальчиков и сколько девочек? Ответ: 7 детей: 4 мальчика и 3 девочки. Задача 3. Электропоезд едет с востока на запад. Набрав скорость, поезд делает 60 км/ч. В том же направлении – с востока на запад – дует ветер, но со скоростью 50 км/ч. В какую сторону относит дым поезда? Ответ Ни в какую. Электропоезд не дает дыма. Задача 4. Мельник пришел на мельницу. В каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидело по 3 кошки, а каждая кошка имела при себе троих котят. Спрашивается, много ли ног было на мельнице? Ответ Две ноги мельника, ибо у кошек и котят не ноги, а лапы. Задача 5. Как можно одним мешком пшеницы, смоловши ее, наполнить два мешка, которые столь же велики, как и мешок, в котором находится пшеница? Ответ Надо один из пустых мешков вложить в другой такой же, а затем в него насыпать смолотую пшеницу. Задача 6. Летели утки: одна впреди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток? Ответ Всего летело 3 утки, одна за другой. Задача7. Два отца и два сына поймали 3 зайцев, а досталось каждому по 1 зайцу. Спрашивается, как это могло случиться? Ответ Это были дед, его сын и внук. Задача 8. Что это такое: две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то две ноги схватили три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну? Ответ Повар сидел на стуле, имеющем 3 ножки, пришла собака и утащила куриную ногу. Повар бросил стул в собаку, чтобы она оставила куриную ногу. Задача 9. Что это может быть: две головы, две руки и шесть ног, а при ходьбе только четыре? Ответ Всадник на лошади. Задача 10. На столе лежат две монеты, в сумме они дают 3 рубля. Одна из них - не 1 рубль. Какие это монеты? Ответ: 2 рубля и 1 рубль. Одна то не 1 рубль, а вот другая - 1 рубль. Задача 11. Один оборот вокруг Земли спутник делает за 1 ч 40 минут, а другой - за 100 минут. Как это может быть? Ответ: 1 ч 40 мин = 100 мин Задача 12. Химик обнаружил, что некоторая реакция протекает в течение 80 минут, если он в пиджаке. Если же он без пиджака, то та же самая реакция протекает за 1 час 20 минут. Как вы это объясните? Ответ: 80 минут равны 1 часу 20 минутам. Задача13. Если пять кошек ловят пять мышей за пять минут, то сколько времени нужно одной кошке, чтобы поймать одну мышку? Ответ: Пять. Задача 14. Сколько месяцев в году имеют 28 дней? Ответ: Все 12, т.к. если в месяце 30 дней, то и 28 дней среди них есть. Задача 15. Как может брошенное яйцо пролететь три метра и не разбиться? Ответ: Главное бросать его так, чтобы оно летело больше 3 метров, тогда оно разобьется не когда пролетит 3м, а когда упадет. Задача 16. Что становится больше, если его поставить вверх ногами? Ответ: Уровень песка в песочных часах. Задача 17. На столе лежат три карандаша разной длины. Как удалить из середины самый длинный карандаш, не трогая его? Ответ: Переложить один из тех, что короче. Задача 18. Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 ч. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы? Ответ: 2 землекопа. Задача 19.Будем условно считать, что если человек не будет семь суток есть или семь суток спать, то он умрет. Пусть человек неделю не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток: поесть или поспать, чтобы остаться в живых? Ответ: Человек не может одновременно и спать и есть. Поэтому срок в семь суток после сна и после еды наступает в разное время. Человек должен сделать то, что неделю назад делал раньше: спал или ел. Задача 20. Два человека играли в шашки. Каждый сыграл по пять партий и выграл по пять раз. Это возможно? Ответ: Да, т.к. и проиграл тоже 5. Вничью они играли. Также возможно, что они играли не друг с другом. Практическое задание: Составить задачи-шутки. Тема 3. Задачи на логику счета Цель урока: познакомить учащихся с методом решения задач на логику счета Задачи урока: знакомство учащихся с понятием решения логических задач на счет; развитие логического мышления учащихся, памяти, внимания, работа над повышением знаний основных понятий и законов математики, достижение сознательного усвоения материала учащимися с применением полученных знаний на практике. Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов. Понятие о натуральных числах формировалось постепенно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её конкретного представления. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным — использовались пальцы, камешки, пометки и т. п. Археолог Б. А. Фролов обосновывает существование счёта уже в верхнем палеолите. С распространением счёта на крупные количества появилась идея считать не только единицами, но и, так сказать, пакетами единиц, содержащими, например, 10 объектов. Эта идея немедленно отразилась в языке, а затем и в письменности. Принцип именования или изображения числа («нумерация») может быть: аддитивным (один+на+дцать, XXX = 30) субтрактивным (IX, девя-но-сто) мультипликативным (пять*десят, три*ста) Счётное устройство инков Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и т. д. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения больших чисел. При таком кодировании обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке. Названия чисел от двух (zwei, two, duo, deux, dvi, два…) до десяти, а также десятков и числа 100 в индоевропейских языках сходны. Это говорит о том, что понятие абстрактного числа появилось очень давно, ещё до разделения этих языков. При образовании числительных у большинства народов число 10 занимает особое положение, так что понятно, что счёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходит повсеместно распространённая десятичная система счисления. Хотя есть и исключения: 80 по-французски quatre-vingt (то есть 4 двадцатки), а 90 — quatre-vingt-dix (4*20+10); это употребление восходит к счёту по пальцам рук и ног. Аналогично устроены числительные датского, осетинского, абхазского языков. Ещё яснее счёт двадцатками в грузинском языке. Шумеры и ацтеки, судя по языку, первоначально считали пятёрками. Есть и более экзотичные варианты. Вавилоняне в научных расчётах использовали шестидесятеричную систему. А туземцы островов Торресова пролива — двоичную: Урапун (1); Окоза (2); Окоза-Урапун (3); Окоза-Окоза (4) Окоза-Окоза-Урапун (5); Окоза-Окоза-Окоза(6) Когда понятие абстрактного числа окончательно утвердилось, следующей ступенью стали операции с числами. Натуральное число — это идеализация конечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.). Для счёта нужно иметь математические модели таких важных событий, как объединение нескольких множеств в одно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения и вычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно. Другое важное практическое действие — разделение на части — со временем абстрагировалось в четвёртую арифметическую операцию — деление. Делить на 10 частей сложно, поэтому десятичные дроби, удобные в сложных вычислениях, появились сравнительно поздно. Первые дроби обычно имели знаменателем 2, 3, 4, 8 или 12. Например, у римлян стандартной дробью была унция (1/12). Средневековые денежные и мерные системы несут на себе явный отпечаток древних недесятичных систем: 1 английский пенс = 1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута, 1 фут = 1/3 ярда и т. д. Примерно в то же время, что и числа, человек абстрагировал плоские и пространственные формы. Они обычно получали названия схожих с ними реальных предметов: например, у греков «ромбос» означает волчок, «трапедсион» — столик (трапеция), «сфера» — мяч. Теория измерений появилась значительно позже, и нередко содержала ошибки: характерным примером является ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров, и обратно. Это неудивительно: измерительным инструментом служила мерная верёвка с узлами или пометками, так что измерить периметр можно было без труда, а для определения площади в общем случае ни инструментов, ни математических методов не было. Измерения служили важнейшим применением дробных чисел и источником развития их теории.(приложение4) Задача 1. Это число 2 раза меньше, чем наименьшее трёхзначное число. От полученного числа вычисли самое маленькое двузначное число. Найдите это число. Ответ: Наименьшее трёхзначное число - это 100. 2 раза меньше от 100 - это 50 (100:2=50). С этого числа вычитаем самое маленькое двузначное число. 10. Решение: 50-10=49. Задача 2. Бабушке Ани 70 лет, мама в 2 раза моложе бабушки, а Аня на 26 лет моложе мамы. Сколько лет Ани? Ответ: Бабушке Ани 70 лет. Мама в 2 раза моложе её. Решение: 70:2=35. Аня на 26 лет моложе мамы. Для того чтобы узнать, сколько лет Ани, от количества возраста матери отнимаем разницу в возрасте. Решение: 35-26=9(лет). Задача 3. Найдите наименьшее число, которое делится на 41, а при делении на 39 дает в остатке 24. Решение: Пусть n – некоторое число, делящееся на 41, тогда: n=41m=39m+2m Отсюда видно, что наименьшее число n, удовлетворяющее заданным условиям, получается при m=12. Итак, искомое число равно 492. Задача 4. К числу 319572 приписать справа три цифры, которые не входят в данное число, и зачеркнуть две цифры так, чтобы получилось наибольшее число. Решение: Независимо от приписанных цифр и их порядка, для того, чтобы полученное в результате число было наибольшим, зачеркнуть надо первые две цифры. Из цифр 0; 4; 6; 8, не входящих в данное число, надо взять 8; 6; 4 и приписать их в указанном порядке. Таким образом, в результате получится наибольшее возможное число 9572864. Задача 5. Найдите четырехзначное число а43в кратное 45. Решение: Если число кратно 45, то оно кратно 5 и 9. Значит в=5 или в=0, по признаку делимости на 5, следовательно, числа могут иметь вид: а430 или а435. По признаку делимости на 9имеем числа 6435 и 2430. Задача 6. Барон Мюнхгаузен утверждал, что ему удалось найти такое натуральное число, произведение всех цифр которого равно 6552. Докажите, что он, как всегда, сказал неправду. Решение: Чтобы проверить утверждение, разложим число 6552 на простые множители. Получим:  Так как число 13 простое, то его нельзя представить в виде произведения однозначных множителей, и само оно не цифра. Значит Мюнхгаузен как всегда врал. Задача 7. М.В.Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20%. Решение: До повышения цен: денежка = хлеб + квас. После повышения цен: денежка = (0,5 хлеба +квас) ·1,2 Из этих уравнений: 2хлеба = квас Выразим денежку через квас: денежка = 1,5 кваса. После второго повышения цен: квас ·1,2·1,2=1,44 кваса. Значит, денежки хвати на квас. Задача 8. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 мин., мама – за 2 мин., малыш – за 5 мин., бабушка – за 10 мин. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 мин.? (Двигаться по мосту без фонарика, светить издали, бросать фонарик или носить друг друга на руках нельзя.) Решение:
Задача 9. К числу 60 припишите две цифры справа и слева так, чтобы полученное число делилось на 1977. Решение: 166068:1977=84 336090:1977=170 686019:1977=347 856041:1977=433 Задача 10. Петя перемножил числа от одного до пятидесяти. Сколькими нулями оканчивается полученное произведение. Ответ: 12 нулей Тема 4. Игра «Головоломки»(приложение 5) Тема 7. Старинные занимательные задачи Из первых известных письменных источников узнаем мы о том, что математические знания на Руси были распространены уже в X-XI веках. Они были связаны, естественно, с практическими нуждами людей: летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости стада, определением прибыли от сбора урожая и т. д. "А полбы немолоченые 15 копен, а на то прибытка на одно лето 7 копен, а на всю 12 лет в той полбе прибытка 1000, 700 и 50 копен". Эти строки взяты из статьи "О полбе немолоченой" одного из ранних рукописных исторических документов - "Русской Правды" - первого из дошедших до нашего времени сборника русских законов. Судя по всему, подсчет "прибытка" в этой статье основан на предположении, что каждый год в течение 12 лет вся собранная в предыдущий год полба высевается, что каждый раз полученный урожай составляет несколько меньше, чем 3/2 посеянной полбы, и что все вычисления ведутся в целых числах. Другое дошедшее до нас наиболее древнее русское математическое произведение "Учение им же ведати человеку числа всех лет" принадлежит новгородскому монаху Кирику и посвящено календарным расчетам. Как известно, даты ряда церковных праздников непостоянны. От года к году они определяются по довольно сложным правилам, связанным с движениями солнца и луны. Вычисление дня пасхи (с этим церковным праздником жестко связаны даты других праздников церковного календаря) представляет поэтому непростую математическую задачу. В начале "учения" указывается, что написано оно в 6644 г. от "сотворения мира" (в 1136 г. по принятому сейчас у нас летоисчислению) и что от "сотворения мира" прошло 79 728 месяцев или 346673-недели или 2426721 день или 29120652 дневных часа и столько же ночных. После этого сообщается, как вычислить так называемые "солнечный", "лунный" и "великий" круги и, наконец, указывается, на какой из дней приходится праздник пасхи в текущем году. В XVI-XVII веках в России начинает появляться и распространяться рукописная математическая литература (этого требуют межевание и измерение земель, система податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). В настоящее время известно значительное количество математических рукописей XVII века. В основном они предназначались для купцов, торговцев, чиновников, ремесленников, землемеров и носили сугубо практический характер. Материал их распределялся по "статьям", содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила пояснялись разнообразными примерами и задачами. Некоторые из этих задач интересны либо своей формулировкой, либо способом решения. Многие из них перешли в учебники по арифметике и алгебре XVIII века, некоторые сохранились и до нашего времени. Рукописи XVI- XVII веков сыграли большую роль в распространении математических и практических знаний. Они явились той основой, на которой создавалась учебная литература XVIII века. Задача 1. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пес съел овцу в три часа. Узнай, за сколько они все вместе ту овцу съедят? Ответ: за 6/11 часа Задача 2. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особенно выпьет ту же кадь? Ответ: за 35 дней. Задача 3. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака в 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается в какое время собака догонит зайца? Ответ: за 15 минут Задача 4. Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев и я буду в 5 раз богаче тебя». Другой отвечает: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько у каждого? Ответ: У первого 7  динариев, у второго 9 динариев.Задача 5. На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась. Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты подскажешь, Обезьян там было в роще? Ответ: 16 или 48 обезьян Задача 6. Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь у меня твои яйца, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой? Ответ: 40 и 60 Задача 7. Вдова обязана оставшееся после мужа наследство в 3500 рублей разделить с ребенком, который должен родиться. Если это будет сын, то мать по римским законам получает половину сыновней доли. Если родится дочь, то мать получит двойную долю дочери. Но случилось так, что родились близнецы – сын и дочь. Как следует разделить наследство, чтобы были выполнены все требования закона? Ответ: Матери – 1000 руб., сыну 2000 руб., дочери – 500 руб. Задача 8. Четыре плотника у некоего купца нанялись двор ставить. И говорит первый плотник так: «только бы мне одному тот двор ставить, я бы его в один год поставил». А другой молвил: «А я бы его в одиночку-то в два года поставил». А третий признался, что сделал бы его в три года. Ну а четвертый вздохнул и сказал «Я бы, пожалуй, в 4 года с этим справился». Сколь долго они вчетвером тот двор ставили? Ответ: за 12/25 года Задача 9. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий больше второго, четвертый больше третьего, пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз больше трех остальных. Сколько нужно дать каждому? Ответ: первому – 1 меру, второму – 10 мер, третьему – 20 мер, четвертому – 29 мер, пятому – 38 мер. Задача 10. Есть кадамба цветок. На один лепесток Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в цвету сименгда, И на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, трижды их ты сложи, На кутай этих пчел посади. Лишь одна не нашла себе места нигде, Всё летала то взад то вперед И везде ароматом цветов наслаждалась. Назови мне теперь, подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось? Ответ: 15 пчел |