Алгебра. Задание Множество и его элементы
 Скачать 229.46 Kb.
|
|
Задание Множество и его элементы 1 Задание 1. Множество и его элементы Множество это одно из основных понятий математики, используемое почти во всех ее разделах. Сего помощью вводятся многие другие важные математические понятия. Само понятие множества является одним из исходных понятий математики, ему не дается . явное определение. Понятие множества сформировалось в математике XIX века. Создателем теории множеств является немецкий математик Георг Кантор (Учебные задачи Овладеть терминами элемент, множество, пустое множество, равные множества. Научиться: распознавать элементы множества, заданного перечислением его элементов распознавать равные множества. Познакомиться: со способом доказательства равенства двух множества также со способом опровержения равенства двух множеств. Текст для чтения. Понятие множества и понятие элемента множества. Под множеством понимают совокупность объектов, которая рассматривается как одно целое. В математике изучаются различные множества те или иные множества чисел, различные множества геометрических фигур, точек, прямых, многочленов, функций и другие. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами. Если объект a является элементом некоторого множества M, то пишут ? Эту запись читают a есть элемент множества M или же a принадлежит множеству M , Задание Множество и его элементы 2 а также множество M содержит элемент a Последнее также записывают 3 Буква ? знак принадлежности элемента множеству. В тех случаях, когда a не является элементом множества M, можно писать / ? или M 63 Примеры. Пусть A обозначает множество всех четных целых чисел. Тогда справедливы записи 4 ? A, ?2 ? A, 0 ? A, 3 /? A. Действительно, целое число называется четным, если оно делится на 2. Числа 4, ?2 и делятся на 2, а вот число 3 на 2 не делится. Заметим, что множество само может служить элементом другого множества. Примеры. В современной геометрии всякая фигура прямая, окружность, круг, сфера и т. десть некоторое множество точек. Рассмотрим множество всех прямых плоскости. Его элементами служат прямые, те. некоторые множества точек. Русское слово множество (смысл которого многое) не совсем верно передает то значение, в котором используется термин множество в математике. В математике этим термином обозначают совокупность каких-либо элементов, даже если она содержит элементов совсем мало. Рассматривают даже множество, не содержащее ни одного элемента. Оно называется пустым множеством и обозначается знаком Примеры. Запись 1 ? ? выражает неверное утверждение, потому что 1 не является элементом пустого множества (пустое множество не имеет элементов. Равные множества. Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Это означает, что каждый элемент множества A является также и элементом множества B, и, наоборот, каждый элемент множества является элементом множества A. В этом случае пишут A = B. Задание Множество и его элементы 3 Практические выводы из определения. (1) Для того, чтобы доказать, что два множества равны, следует доказать два утверждения (а) каждый элемент первого множества является также и элементом второго (б) каждый элемент второго множества служит также и элементом первого множества) Для того, чтобы доказать, что некоторые два множества неравны, достаточно указать такой элемент какого-либо из этих двух множеств, который не принадлежит другому из них. Примеры. 4. Пусть A множество всех целых чисел, которые делятся как на 2, таки на 3. Пусть B множество всех целых чисел, делящихся на 6. Тогда A = B. Действительно, если целое число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6. Обратно, если целое число делится на 6, то оно также делится и на 2, и на Множество решений уравнения 2x ? 6 = 0 неравно множеству решений уравнения x 2 ? 5x + 6 = Действительно, число 2, являющееся решением второго уравнения, не является решением первого. 6. Множество решений уравнения x 2 + x + 2 = в множестве действительных чисел равно множеству решений неравенства x 2 ? 3x + 3 < В самом деле, каждое из этих множеств не содержит ни одного элемента, те. является пустым. Можно утверждать, что каждый элемент первого множества является также и элементом второго множества, и обратно. Задание множества перечислением его элементов. Из определения равных множеств следует, что множество будет задано, если будут указаны все его элементы. Иногда удается перечислить (выписать) все элементы множества. В этом случае используют следующие обозначения. Если, например, множество M состоит из элементов 1, 2, 3, то пишут M = {1; 2; 3}. Как видим, пара фигурных скобок здесь заменяет словесную конструкцию множество, состоящее из элементов . . . В общем случае, если a 1 , a 2 , . . . , a n это все элементы множества, то пишут A = {a 1 ; a 2 ; . . . ; a или A = {a 1 , a 2 , . . . , a n } 1 Во избежании путаницы, перечислять элементы множества, отделяя их друг от друга запятыми, стоит только в том случае, когда в записях этих элементов нет десятичных дробей Задание Множество и его элементы 4 Запись {a 1 ; a 2 ; . . . ; a можно прочитать так: множество, состоящее из элементов a 1 , итак далее, a n , или множество, всеми элементами которого, служат a 1 , итак далее, a Примеры. Множества {1; 2; 3 } и {3; 1; 2} равны, поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов (каждый элемент первого из этих множеств является элементом и второго, и обратно, каждый элемент второго множества является элементом первого 2; 3} = {1; 2; 2; потому что эти множества состоят из одних и тех же элементов. Можно строить различные, в том числе и непривычные, множества, просто перечисляя их элементы. Примеры. Рассмотрим множество S, которое состоит из двух элементов, один из которых есть 1, а другой множество {2; 3}. Получим запись = {1; {2; Заметим, что 2 /? S, 3 /? S, поскольку ни 2, ни 3 элементами множества {1; {2; 3}} не являются. Заметим также, что {1; {2; 3}} 6= {1; 2; Действительно, первое из этих множеств состоит из двух элементов, а второе из трех. 10. Множества ? и {?} различны первое из них пустое множество, оно не содержит ни одного элемента второе из этих множеств в качестве единственного элемента содержит множество ?. Поэтому, в частности, запись ? ? выражает истинное утверждение, а запись ? ? ? ложное. 11. Рассмотрим множество единственным элементом которого служит. Перечисляя элементы этого множества, мы его запишем так S 1 = А теперь рассмотрим множество состоящее из двух элементов 1 и Это множество {1; S 1 } = {1; Таким образом, взяв изначально всего один элемент 1, мы построили двухэлементное множество. Построения можно продолжить и получить трехэлементное множество {1; S 1 ; S 2 } = n 1; {1}, 1; {1} o , Задание Множество и его элементы 5 четырехэлементное множество {1; S 1 ; S 2 ; S 3 } = n 1; {1}; 1; {1} ; n 1; {1}; 1; {1} oo и т. д. Конечные и бесконечные множества. В математике имеются различные определения конечного множества и различные определения бесконечного множества. С некоторыми из них вы должны познакомиться в дальнейших курсах. Интуитивно, конечное множество, это множество, все элементы которого можно занумеровать последовательными натуральными числами, начиная си заканчивая некоторым натуральным числом n (те. числами, 2, . . . , Говорят, в этом случае, что данное множество содержит ровно n элементов и что количество элементов данного множества равно n. Пример. 12. Можно утверждать, что множество {13; 2; 15; 43; a; b} содержит шесть элементов, т. к. его элементы легко занумеровать последовательными натуральными числами от 1 до Мы будем пользоваться пока именно этим представлением оконечном множестве. Бесконечное множество это множество, не являющееся конечным. Невозможно выписать все элементы бесконечного множества. Да ив том случае, когда множество конечно, то выписать практически все его элементы мы сможем далеко не всегда. Ведь существуют конечные множества со столь громадным числом элементов, что перечисление их может занять сколько угодно тысяча то и миллиардов тысяч лет Поэтому нужны и другие способы задания множества, не сводящиеся к перечислению всех его элементов. В опросы для самоконтроля) Прочтите запись x ? X . 2) Верно ли утверждение ? ? ?? 3) Требовалось доказать, что множества и равны. Студент доказал, что каждый элемент множества является также и элементом множества После этого он написал ч. т. д. В чем его ошибка) Сколько элементов содержит множество {{1; 2; 3}}? Задание Множество и его элементы 6 Упражнения 1. Элементом каких из следующих множеств служит а) {7; 3; 6; 2; 4; 5; б) {9; 7; 5; 4; 8; 1; в) {1; 12}; {2; 13}; {3; 9}; {4; 10}; {5; 10} г) 2; {1}; {2}; 3; 4; {5}; 5 ? 2. Какие из утверждений верны: (а) {2; 3} ? {7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; б) {2; 3} ? {4}; {2; 4}; {2}; {3}; 2; 3; {1; 2} в) 2; 3} ? {7; 5; 3; {3; 2}; {2; 6} г) {2; 3} ? {1}; {2; 3; 4}; 2; {2; 4} . 3. Задайте множество в символьной форме перечислением его элементов, элементами которого служат: (а) число 1, число 2 и множестово {1; 2} б) буква a, буква b и множество, состоящее из букв a ив) число 1, буква f, и пустое множество; (г) одноэлементное множество, элементом которого служит пустое множество, двухэлементное множество, состоящее из чисел 0 и 1, одноэлементное множество, элементом которого служит число. Сколько элементов содержит множество: (а) {1; 2; 2; 3; б) 0; {0} в) 0; 1; {0}; {1}; {0; 1} . 5. Найдите среди следующих утверждений истинные: (а) 0 ? б) ? ? в) ? ? г) ? ? {0}. 6. Какие из следующих равенств выполнены: (а) {0; 1; 2; 3; 4} = {2; 4; 0; 3; 0; 2; б) 1; 3; 5; 7 = 1; 3; {5; 7} ; Задание Множество и его элементы 7 (в) {2}; 4; 6; 8 = 8; 6; 4; 2 г) 1; 3; 5; 7 = {1; 3; 5; 7} Ответы. (б. 2. (в. 3. (а) 1; 2; {1; 2} ; (б) a; b; {a; b} в) {1; f; ?}; га (б) 2; (в) 5. 5. (б. 6. (а |