ШПОРЫ Финансовая математика. Финансовая математика предмет, принцип временной стоимости денег, виды процентных ставок
 Скачать 0.62 Mb.
|
Финансовая математика – раздел количественного анализа финансовых операций, предметом которого является изучение функциональных зависимостей между параметрами коммерческих сделок или финансово-банковских операций и разработка на их основе методов решения финансовых задач определенного класса. Фактор времени играет огромную роль и определяется принципом неравноценности денег, относящимся к разным моментам времени. Сегодняшние деньги ценнее будущих по следующим причинам:
Относительный показатель, характеризующий интенсивность начисления процентов за единицу времени, – процентная ставка. Методика расчета проста: отношение суммы процентных денег, выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Таким образом, процентная ставка показывает, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование в течение определенного периода времени 100 единицами первоначальной суммы долга. Виды процентных ставок:  Простая процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной сумме долга на протяжении всего срока ссуды, т.е. исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же. Сложная процентная ставка применяется к наращенной сумме долга, т.е. к сумме, увеличенной на величину начисленных за предыдущий период процентов, – таким образом, исходная база постоянно увеличивается. Фиксированная процентная ставка – ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах. Постоянная процентная ставка – неизменная на протяжении всего периода ссуды. Переменная процентная ставка – дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику. Плавающая процентная ставка – привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной.
Основные параметры простой кредитной операции: P – первоначальная сумма денег, S – наращенная сумма, I – плата за кредит (общая сумма процентных денег). P________________S  T – период начисленияi = I/P = (S-P)/P – процентная ставка простейшей кредитной сделки. Простые ставки процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (срок менее года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Расчет простых процентов может быть произведен одним из трех возможных способов:
Чисто формально возможен и четвертый вариант: точные проценты с приближенным числом дней ссуды, – но он лишен экономического смысла.
Простые ставки процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (срок менее года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Рассмотрим процесс наращения (accumulation), т.е. определения денежной суммы в будущем, исходя из заданной суммы сейчас. Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Здесь идет движение денежного потока от настоящего к будущему. При использовании простых ставок процентов проценты (процентные деньги) определяются исходя из первоначальной суммы долга. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов. Из определения процентов нетрудно заметить, что проценты представляют собой, по сути, абсолютные приросты: I = S-P. Поскольку база для их начисления является постоянной, то за ряд лет общий абсолютный прирост составит их сумму или произведение абсолютных приростов на количество лет ссуды: I = (S-P) n = [(S-P) / P • P] n = i • P • n, где i = (S- P) / P - процентная ставка. Таким образом, размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины инвестированной суммы, от уровня процентной ставки и от срока финансовой операции. Тогда наращенную сумму по схеме простых процентов можно будет определять следующим образом: S = P + I = P + i • P • n = P (1 + i • n) = P • kн., где kн – коэффициент (множитель) наращения простых процентов. Данная формула называется "формулой простых процентов". Для облегчения финансовых расчетов можно использовать финансовые таблицы, содержащие коэффициенты наращения по простым процентам. Для расчета процентов используется методика расчета с вычислением процентных чисел: каждый раз, когда сумма на счете изменяется, производится расчет "процентного числа" за период, в течение которого сумма на счете была неизменной. Процентное число вычисляется по формуле: Процентное число = (Сумма на счете • Длительность периода в днях) / 100 = = (P • t) / 100 Для определения суммы процентов за весь срок их начисления все "процентные числа" складываются, и их сумма делится на постоянный делитель, который носит название "процентный ключ" или дивизор, определяемый отношением количества дней в году к годовой процентной ставке: I = Σ Процентных чисел : Постоянный делитель, где Постоянный делитель = Продолжительность года в днях / Годовая ставка процентов = T / i Проценты, вычисляемые с использованием дивизора, рассчитанного исходя из 365 дней в году, называются точными и будут меньше, чем проценты обыкновенные (коммерческие), где количество дней в году принято за 360. При простых переменных ставках формула наращения принимает вид: S = P(1+n1i1+n2i2+…) = P(1+Σntit), где it – ставка простых процентов в периоде с номером t, nt – продолжительность периода t – периода начисления по ставке it.
Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом (discount): D = S-P Термин дисконтирование в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину. Нередко такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину P называют приведенной (современной или текущей) величиной S. Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной. Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции. Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования:
Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:
i = (S-P) / P
d = (S-P) / Sn Учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем процентная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дисконтирование в случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, то видно, что приведенная величина по процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке. Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина. В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина. Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором, исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт. Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу дисконт. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг. Для расчета дисконта используется простая учетная ставка: D = S-P = S • n • d = S • t / T • d , где n – прод-сть срока в годах от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем. Отсюда: P = S - S • n • d = S • (1 - n • d), где (1 - n • d) – дисконтный множитель. Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше дисконт. Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным. В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке: P2 = P1 • (1 + n1 • i ) • (1 - n2 • d ), где P1 – первоначальная сумма долга; P2 – сумма, получаемая при учете обязательства; n1 – общий срок платежного обязательства; n2 – срок от момента учета до погашения.
Когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление простых процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке: P2 = P1 • (1 + n1 • i ) • (1 - n2 • d ), где P1 – первоначальная сумма долга; P2 – сумма, получаемая при учете обязательства; n1 – общий срок платежного обязательства; n2 – срок от момента учета до погашения. Пример: Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисленными по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d=15%. Требуется определить сумму, получаемую при учете. Решение: Р2 = 2(1+100/365*0,2)(1-40/360*0,15)=2,074 млн. руб При наращивании использовалась временная база 365 дней, а при дисконтировании – 360.
В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз пр иданной процентной ставке. Ответ можно получить, приравняв множитель наращения величине N: а) для простых процентов (1+niпр.) = N, откуда n = (N-1) / iпр. б) для сложных процентов (1+iсл.)n = N, откуда n = ln N/ ln(1+iсл.) Особенно часто используется N=2, тогда эти формулы называются формулами удвоения и принимают следующий вид: а) для простых процентов n = 1 / iпр, б) для сложных процентов n = ln2 / ln(1+iсл.) Если учесть , что ln2=0,7, а ln(1+iсл.)=i, то n=0,7/i Важно учесть следующее:
Пример: Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов 3%. Результаты сравнить. Решение: а) при простых процентах: n = 1/iпр = 1/0,03 = 33 1/3 года; б) при сложных процентах и точной формуле: n = ln2/ln(1+iсл.) = 0.693147/ln(1+0.03) = 0.693147/0.0295588 = 23.45 года; в) при сложных процентах и приближенной формуле: n = 0.7/i = 0.7/0.03 = 23.33 года
Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет. В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:
S = P • (1 + i)n, n = a + b, где n – период сделки; a – целое число лет; b – дробная часть года.
S = P • (1 + i)a • (1 + bi). Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы. • в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е. S = P • (1 + i)a Пример. В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов. Решение: а) Общий метод: S = P • (1 + i)n = 250 • (1 + 0,095)2,9 = 320,87 тыс. долларов. б) Смешанный метод: S = P • (1 + i)a • (1 + bi) = = 250 • (1 + 0,095)2 • (1 + 270/360 • 0,095) = = 321,11 тыс. долларов. Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят I = S - P = 320,87 - 250,00 = 70,84 тыс. долларов, а по смешанному методу I = S - P = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. долларов. Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.
Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (j). Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год. Эта ставка
Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит N = n • m Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде: S = P • (1 + j / m)N = P • (1 + j /m)mn , где j – номинальная годовая ставка процентов. Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами: а) по формуле сложных процентов S = P • (1 + j / m)N/r где N/r - число периодов начисления (возможно, дробное) б) по смешанной формуле S = P • (1 + j / m)a *(1+bj / m) Пример: Сумма в размере 2000 дол. дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату, введя ежеквартальное начисление процентов. Решение: Количество периодов начисления: N = m • n = 4 • 2 = 8 Наращенная сумма составит: S = P • (1 + j / m)mn = 2'000 • (1 + 0,1 / 4 )8 = 2'436,81 руб. Сумма начисленных процентов: I = S - P = 2'436,81 - 2'000 = 436,81 руб. Таким образом, через два года на счете будет находиться сумма в размере 2'436,81 руб., из которой 2'000 руб. является первоначальной суммой, размещенной на счете, а 436,81 руб. – сумма начисленных процентов. В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:
Сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i) P, P(1 + i), P(1 + i)2, P(1 + i)3, …, P(1 + i)n, где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1). Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле  , где (1 + i)n – множитель наращения декурсивных сложных процентов. Более широко распространено математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем  , где 1/(1 + i)n – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке. При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид  , где j – номинальная сложная процентная ставка; 1/  – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.Для дисконтирования при сложной процентной ставке - при начислении процентов один раз в году - используется формула:  А при начислении процентов m раз в году формула:  . При учете вексель выполняет две функции: коммерческого кредита и средства платежа. Абсолютная величина дисконта определяется как разность между номиналом векселя и его современной стоимостью на момент проведения операции. При этом дисконтирование осуществляется по учетной ставке d, устанавливаемой банком: где t - число дней до погашения; d – учетная ставка банка; P - сумма, уплаченная владельцу при учете векселя; N - номинал; Современная стоимость PV (ценные обязательства Р) при учете векселя по формуле: Суть данного метода заключается в том, что проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока операции. При этом применяется учетная ставка d. При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом норму приведения называют антисипативной ставкой процентов[2]. Учетная ставка d иногда применяется и для наращивания по простым процентам. Необходимость в таком наращивании возникает при определении будущей суммы контракта, например, общей суммы векселя. Формула определения будущей величины в этом случае имеет вид: Пример 1: Простой вексель на сумму 100 000 с оплатой через 90 дней учитывается в банке за 60 дней до погашения. Учетная ставка банка 15 %. Определить величину дисконта в пользу банка и сумму, полученную владельцем векселя. Disc = (100000 * 60 * 0.15) / 360 = 2500; Соответственно, владелец векселя получит величину PV: PV=100000 – 2500 = 97500; Предположим, что в рассматриваемом примере владелец векселя решил учесть вексель немедленно после получения, тогда: Disc = (100000 * 90 * 0.15) / 360 = 3750; PV = 100000 – 3750 = 96250; Как следует из полученного результата, при неизменном значении ставки d чем раньше производится учет векселя, тем больше будет величина дисконта в пользу банка и тем меньшую сумму получит владелец.
Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста – универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции). Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов. Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так: kн = (1 + j / m)m = (1 + j / 365)365 Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j:
где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа. Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет: FV = PV • e j • n = P • e δ • n Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов ( j ). Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться: а) один раз в год; б) ежедневно; в) непрерывно. Решение: Используем формулы дискретных и непрерывных процентов: начисление один раз в год FV = 100'000 • (1 + 0,08)3 = 125'971,2 долларов; ежедневное начисление процентов FV = 100'000 • (1 + 0,08 / 365)365 • 3 = 127'121,6 долларов непрерывное начисление процентов FV = 100'000 • e0,08 • 3 = 127'124,9 долларов.
- при наращении по сложной годовой ставке %, - при наращении по номинальной ставке % m раз в году, - при наращении по постоянной силе роста. В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV), наращенная или будущая величина (FV), процентная ставка (i) и время (n). Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки. Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции. Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов. Если срок определяется в годах, то n = (FV - PV) : (PV • i), а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя: t = [(FV - PV) : (PV • i)] • T. Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:
n = [log (FV / PV)] / [log (1 + i)] = [log (FV / PV) ] / [log(1 + j / m)m];
Пример. Что выгоднее: увеличение вклада в три раза за три года или 46% годовых? Решение: Такого рода задачи приходится решать не только лицам, занимающимся финансовой работой, но и населению, когда решается вопрос о том, куда выгоднее вложить деньги. В таких случаях решение сводится к определению процентной ставки:
Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно.
- при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке, - при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году. 14. Расчет процентной ставки: - при наращении по сложной годовой ставке %, - при наращении по номинальной ставке % m раз в году, - при наращении по постоянной силе роста. 15. Расчет процентной ставки: - при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке, - при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году.
Эквивалентные процентные ставки – ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Процедура нахождения эквивалентных ставок:
П  ример: iкв=3%; iгод-?  а) простые ставки процента, уравнение эквивалентности:  б) сложные ставки процента, уравнение эквивалентности:  Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю. Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату. Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка. Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов: i = (1 + j / m)m - 1. j = m[(1 + i)1 / m - 1]. Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении. Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов. Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными. Пример. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%? Решение: Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов: j = m[(1 + i)1 / m - 1] = 2[(1 + 0,25)1/2 - 1] = 0,23607. Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов: j = m[(1 + i)1 / m - 1] = 4[(1 + 0,25)1/12 - 1] = 0,22523. Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными. При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок: простая процентная ставка: i = [(1 + j / m)m • n - 1] / n; сложная процентная ставка:
Эквивалентность простой и сложной ставок.  По простой  | ||||||||||||||||||||||||||||||
