Главная страница
Навигация по странице:

  • ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ


  • методы математического програмировани. методы математического програмирования. Формирование исследования операций как самостоятельной ветви прикладной математики относится к периоду 40х и 50х годов


    Скачать 0.98 Mb.
    НазваниеФормирование исследования операций как самостоятельной ветви прикладной математики относится к периоду 40х и 50х годов
    Анкорметоды математического програмировани
    Дата04.04.2021
    Размер0.98 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файламетоды математического програмирования.doc
    ТипЗадача
    #191297
    страница1 из 5
      1   2   3   4   5

    ВВЕДЕНИЕ
    Формирование исследования операций как самостоятельной ветви прикладной математики относится к периоду 40-х и 50-х годов. Последующие полтора десятилетия были отмечены широким применением полученных фундаментальных теоретических результатов к разнообразным практическим задачам и связанным с этим переосмыслением потенциальных возможностей теории. В результате исследование операций приобрело черты классической научной дисциплины, без которой немыслимо базовое экономическое образование.

    Следует отметить, что не существует жесткого, устоявшегося и общепринятого определения предмета исследования операций. Часто при ответе на данный вопрос говорится, что операционный анализ представляет собой применение научных мето­дов к сложным проблемам, возникающим в управлении большими система­ми людей, машин, материалов и денег в промышленности, деловых кругах, правительстве и обороне. Характерной особенностью подхода является по­строение для системы научной модели, включающей факторы вероятности и риска, при помощи которой можно рассчитать и сравнить результаты различных решений, стратегий и управлений.

    Второе определение: Исследование операций – это научная подготовка принимаемого решения – это совокупность методов, предлагаемых для подготовки и нахождения самых эффективных или самых экономичных решений [8].

    Управление любой системой реализуется как процесс, подчи­няющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществле­ния данного процесса. Для этого все параметры, характеризую­щие процесс и внешние условия, должны быть количественно определены, измерены. Следовательно, цель исследования операций — количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.

    При решении конкретной задачи управления применение ме­тодов исследования операций предполагает:

    • построение экономических и математических моделей для задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;

    • изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии при­нятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного вариан­та действия.

    Первые формальные разработки по исследованию операций (ИО) были иниции­рованы в Англии во время Второй мировой войны, когда команда британских уче­ных сформулировала и нашла решение задачи наиболее эффективной доставки во­енного снаряжения на фронт. После окончания войны эти идеи были перенесены в гражданскую сферу для повышения эффективности и продуктивности экономи­ческой и производственной деятельности. Сегодня теория исследования операций является основным и неотъемлемым инструментом при принятии решений в са­мых разнообразных областях человеческой деятельности [5].

    Краеугольным камнем исследования операций является математическое моде­лирование. Хотя данные, полученные в процессе исследования математических моделей, являются основой для принятия решений, окончательный выбор обычно делается с учетом многих других "нематериальных" (не имеющих числового вы­ражения) факторов (таких как человеческое поведение), которые невозможно ото­бразить в математических моделях [4].

    В исследовании операций нет единого общего метода решения всех математиче­ских моделей, которые встречаются на практике. Вместо этого выбор метода реше­ния диктуют тип и сложность исследуемой математической модели.

    Практически все методы ИО не позволяют получить решение в замкнутой (в ви­де формул) форме. Напротив, они порождают вычислительные алгоритмы, кото­рые являются итерационными по своей природе. Это означает, что задача решается последовательно (итерационно), когда на каждом шаге (итерации) получаем реше­ния, постепенно сходящиеся к оптимальному. Итерационная природа алгоритмов обычно приводит к объемным однотипным вычислениям, В этом и заключается причина того, что эти алгоритмы разрабатываются, в основном, для реализации с помощью вычислительной техники.

    Некоторые математические модели могут быть такими сложными, что их не­возможно решить никакими доступными методами оптимизации. В этом случае остается только эвристический подход: поиск подходящего "хорошего" решения вместо оптимального. Эвристический подход предполагает наличие эмпирических правил, в соответствии с которыми ведется поиск подходящего решения [5].

    Несмотря на впечатляющие достижения математического моделирования, мно­гие реальные ситуации невозможно адекватно представить с помощью соответст­вующих математических моделей. Часто в этом "виновата" определенная "жесткость" математики как языка описания и представления событий и явлений. Но даже если существует возможность формализовать рассматриваемую жизнен­ную ситуацию посредством построения математической модели, полученная на ее основе задача оптимизации может быть слишком сложной для современных алго­ритмов решения задач этого класса [6].

    Альтернативой математическому моделированию сложных систем может слу­жить имитационное моделирование. Различие между математической и имитационной моделями заключается в том, что в последней отношение между "входом" и "выходом" может быть явно не задано. Вместо явного математического описания взаимоотношения между входными и выходными переменными математической мо­дели, при имитационном моделировании реальная система разбивается на ряд доста­точно малых (в функциональном отношении) элементов или модулей. Затем поведе­ние исходной системы имитируется как поведение совокупности этих элементов, определенным образом связанных (путем установки соответствующих взаимосвязей) в единое целое. Вычислительная реализация такой модели начинается с входного эле­мента, далее проходит по всем элементам, пока не будет достигнут выходной элемент.

    Имитационные модели значительно гибче в представлении реальных систем, чем их математические "конкуренты". Причина такой гибкости заключается в том, что при имитационном моделировании исходная система рассматривается на элементарном уровне, а математические модели стремятся описать системы на глобальном уровне.

    За гибкость имитационных моделей приходится платить высокими требова­ниями к потребляемым временным и вычислительным ресурсам. Поэтому реали­зация некоторых имитационных моделей даже на современных быстрых и высоко­производительных компьютерах может быть очень медленной [4].

    Несмотря на многообразие задач организационного управления, при их решении можно выделить некоторую общую последовательность этапов, через которые проходит любое операционное исследование. Как правило, это:

    • Постановка задачи. Формируется концептуальная модель исследуемой системы (задачи), в которой в содержательной форме описывается состав системы, ее компоненты и их взаимосвязи, перечень основных показателей качества, переменных, как контролируемых так и неконтролируемых внешних факторов, а также их взаимосвязей с показателями качества системы, перечень стратегий управления (или решений), которые надо определить в результате решения поставленной задачи.

    • Построение содержательной (вербальной) модели рассматриваемого объекта (процесса). На данном этапе происходит формализация цели управления объектом, выделение возможных управляющих воздействий, влияющих на достижение сформулированной цели, а также описание системы ограничений на управляющие воздействия.

    • Построение математической модели, т. е. перевод сконструированной вербальной модели в ту форму, в которой для ее изучения может быть использован математический аппарат.

    • Решение задач, сформулированных на базе построенной математической модели. После достижения удовлетворительного уровня адекватности модели применяют соответствующий метод или алгоритм для нахождения оптимального (или субоптимального) решения на математической модели. Это решение может принимать разные формы: аналитическую, численную, или алгоритмическую (в виде набора процедур, правил, и т.п.).

    • Проверка полученных результатов на их адекватность природе изучаемой системы, включая исследование влияния так называемых внемодельных факторов, и возможная корректировка первоначальной модели.

    • Реализация полученного решения на практике. Это один из важнейших этапов, завершающий операционное исследование. Внедрение в практику найденного на модели решения можно рассмотреть как самостоятельную задачу, применив системный подход и анализ. Полученной на модели оптимальной стратегии управления необходимо предоставить соответствующую содержательную форму в виде инструкций и правил, что и как делать, которая была бы понятной для административного персонала данной фирмы или организации и легкой для выполнения в производственных условиях [8].

    Методы исследования операций

    Если критерий эффективности (целевая функция)пред­ставляет линейную функцию, а функции в сис­теме ограничений также линейны, то такая задача является задачей линейного программирования. Если, исходя из содержатель­ного смысла, ее решения должны быть целыми числами, то эта задача целочисленного линейного программирования. Если критерий эффективности и (или) система ограничений задаются нелиней­ными функциями, то имеем задачу нелинейного программирования. В частности, если указанные функции обладают свойствами вы­пуклости, то полученная задача является задачей выпуклого про­граммирования.

    Если в задаче математического программирования имеется пе­ременная времени и критерий эффективности выражается не в явном виде как функция переменных, а косвенно — через урав­нения, описывающие протекание операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.

    Если критерий эффективности и система ограничений задаются функциями представляющих собой сумму произведений степенных функций от независимых переменных, то имеем задачу геометрического программирования. Если функции в выражениях зависят от параметров, то получаем задачу параметрического программирования, если эти функции носят случайный характер, — задачу стохастическо­го программирования.

    Если точный оптимум найти алгоритмическим путем невозможно из-за чрезмерно большого числа вариантов решения, то прибегают к методам эвристического программирования, позволяющим существенно сократить про­сматриваемое число вариантов и найти если не оптимальное, то достаточно хорошее, удовлетворительное с точки зрения практики, решение.

    Из перечисленных методов математического программирова­ния наиболее распространенным и разработанным является ли­нейное программирование, В его рамки укладывается широкий круг задач исследования операций.

    По своей содержательной постановке множество других, ти­пичных задач исследования операций может быть разбито на ряд классов.

    Задачи сетевого планирования и управления рассматривают соот­ношения между сроками окончания крупного комплекса опера­ций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальных продолжительностей комплекса операций, оптимального соотношения величин стои­мости и сроков их выполнения.

    Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и со­стоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например, в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

    Задачи управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точки заказа) и размера заказа. Особен­ность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

    Задачи распределения ресурсов возникают при определенном на­боре операций (работ), которые необходимо выполнять при ограниченных наличных ресурсах, и требуется найти оптимальные распределения ресурсов между операциями или состав операций.

    Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с из­носом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены оборудования модернизированным.

    Задачи составления расписания (календарного планирования) со­стоят в определении оптимальной очередности выполнения опе­раций (например, обработки деталей) на различных видах обо­рудования.

    Задачи планировки и размещения состоят в определении оп­тимального числа и места размещения новых объектов с уче­том их взаимодействия с существующими объектами и между собой.

    Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, чаше всего встречаются при исследовании разнообразных задач на транспор­те и в системе связи и состоят в определении наиболее эконо­мичных маршрутов.

    На практике в большинстве случаев успех операции оцени­вается не по одному, а сразу по нескольким критериям, один из которых следует максимизировать, другие — минимизиро­вать. Математический аппарат может принести пользу и в слу­чаях многокритериальных задач исследования операции, по край­ней мере, помочь отбросить заведомо неудачные варианты ре­шений.

    Попытка сведения многокритериальной задачи к задаче с од­ним критерием эффективности (целевой функцией) в большинст­ве случаев не дает удовлетворительных результатов. Другой подход состоит в отбрасывании ("выбраковке") из множества допустимых решений заведомо неудачных решений, уступающих другим по всем критериям. В результате такой процедуры остаются так назы­ваемые эффективные (или "паретовские") решения, множество которых обычно существенно меньше исходного. А окончатель­ный выбор "компромиссного" решения (не оптимального по всем критериям, которого, как правило, не существует, а приемлемого по этим критериям) остается за человеком — лицом, принимаю­щим решение.

    Методы исследования операций, как и любые математические методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют задачу, отражая порой нелинейные процессы линейными моделями, стохастические системы — детерминированными, динамические процессы — статическими моделями и т.д. Жизнь богаче любой схемы. Поэтому не следует ни преувеличивать значение количест­венных методов исследования операций, ни преуменьшать его, ссылаясь на примеры неудачных решений. Уместно привести в связи с этим шутливо-парадоксальное определение исследования операций, сделанное одним из его создателей Т. Саати, как "искусства давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами" [7].


    1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ



    Нефтеперерабатывающий завод закупает сырую нефть у двух компаний: “Севернефть” (по цене 75000 ден.ед./т) и “Афройл” (67000 ден.ед./т). Нефть, поставляемая компанией “Севернефть”, содержит 10% примесей, которые необходимо удалять при очистке. Нефть, поставляемая компанией “Афройл”, содержит 15% таких примесей.

    Очищенная нефть смешивается для получения двух видов смазочных материалов: “Люкс” и “Стандарт”. Смазочный материал “Люкс” должен содержать не менее 10% нефти компании “Севернефть” и не более 25% нефти компании “Афройл”. Смазочный материал “Стандарт” должен содержать не менее 15% нефти компании “Севернефть”.

    Смазочные материалы продаются по следующим ценам: “Люкс” – 90000 ден.ед./т, “Стандарт” – 87000 ден.ед./т. Спрос на смазочный материал “Люкс” не превышает 100000 т., “Стандарт” – 120000 т.

    Составить план закупок и использования нефти, обеспечивающий нефтеперерабатывающему заводу максимальную прибыль.



    1. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ


    Составим аналитическую модель задачи, для этого введем переменные:

    : количество тонн нефти компании “Севернефть” купленной для изготовления смазочного материал “Люкс”

    : количество тонн нефти компании “Севернефть” купленной для изготовления смазочного материал “Стандарт”

    : количество тонн нефти компании “Афройл” купленной для изготовления смазочного материал “Люкс”

    : количество тонн нефти компании “Афройл” купленной для изготовления смазочного материал “Стандарт”

    Закупаемая у поставщиков нефть содержит примеси и потому перед ее использованием необходимо произвести очистку. После очистки нефти компании “Севернефть” будет получено 90% очищенной, так как примеси составляют 10%. Таким образом, для величин , будет получено , очищенной от примесей нефти. Нефть компании “Афройл” содержит 15% примесей, следовательно очищенной нефти для величин , будет получено и .

    Введем ограничения.

    Ограничения действующие при производстве смазочного материала “Люкс”:

    - данный смазочный материл должен содержать не менее 10% нефти компании “Севернефть”.

    - в данном смазочном материале не должно использоваться более чем 25% нефти компании “Афройл”.

    - спрос на данный тип смазочного материала не превышает 100000т.

    Ограничения действующие при производстве смазочного материала “Стандарт”:

    - в данном смазочном материл должно содержаться не менее 15% нефти компании “Севернефть”.

    - спрос на данный тип смазочного материала не превышает 120000т.

    Составим целевую функцию.

    Затраты нефтеперерабатывающего завода на закупку нефти у поставщиков:

    - затраты на покупку нефти у компании “Севернефть”

    - затраты на покупку нефти у компании “Афройл”

    Прибыль, получаемая предприятием, от продажи смазочных материалов:

    - прибыль от продажи смазочного материала “Люкс”

    - прибыль от продажи смазочного материала “Стандарт”

    Таким образом,

    После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, получим результирующее уравнение целевой функции:

    - это прибыль предприятия, которую необходимо максимизировать.

    Математическая модель:
    0,81 -0,085 ≥0

    0,77 -0,13 ≥0

    -0,23 +0,64 ≤0

    0,9 +0,85 ≤100000

    0,9 +0,85 ≤120000

    , , , ≥0

    →max
    Чтобы избежать необходимости в использовании двухэтапного симплекс-метода умножим ограничения вида «больше или равно» на (-1). Таким образом, в математической модели задачи будут присутствовать только ограничения вида «меньше или равно», что позволяет решать ее обычным симплекс-методом.

    Математическая модель:
    -0,81 +0,085 ≤0

    -0,77 +0,13 ≤0

    -0,23 +0,64 ≤0

    0,9 +0,85 ≤100000

    0,9 +0,85 ≤120000

    , , , ≥0

    →max

      1   2   3   4   5


    написать администратору сайта