Определенный интеграл. Определенный интеграл. Методические указания. Формула НьютонаЛейбница
![]()
|
РАЗДЕЛ Б
4.2. Площадь плоской фигуры Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции у = ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() рис. 1 рис. 2 Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций у = ![]() ![]() у = ![]() ![]() ![]() Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций у= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции х= ![]() ![]() ![]() Рис. 3 рис. 4 Рис. 5 Пример 1. Вычислить площадь трапеции, ограниченной параболами: у= 4-х2 и у = х2 – 2х Решение Определить точки пересечения парабол А(-1;3) и В(2;0) и построить эти точки и параболы (рис. 6), видим, что искомую площадь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, ![]() ![]() Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями х = х(t), у = у(t), прямыми х = а, х = в и осью ох, то ее площадь вычисляется по формуле ![]() ![]() ![]() Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды ![]() Решение ![]() = 2 ![]() В полярных координатах площадь криволинейного сектора ОАВ (рис. 8), ограниченного кривой ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную координатой ![]() Решение Кардиоида асимметрична относительно полярной оси (рис. 9). Поэтому искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора ОАВ. Дуга АВО описывается концом полярного радиуса ![]() ![]() Рис. 9 Поэтому согласно имеющейся формуле ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() РАЗДЕЛ АНайти площади фигур, ограниченных линиями:
|