Определенный интеграл. Определенный интеграл. Методические указания. Формула НьютонаЛейбница

• Название: Формула НьютонаЛейбница
• Анкор: Определенный интеграл
• Дата: 03.05.2023
• Размер: 0.79 Mb.
• Имя файла: Определенный интеграл. Методические указания.doc
• Тип: Документы; #1106397
• страница: 3 из 5

РАЗДЕЛ Б

Найти площади фигур, ограниченных линиями:
91. у = у = и осью оу;

92. х² – 9у = 0 , х – 3у +6 = 0;

93. 2х +у = 4, у = 2х²;

94. у= х², у= 3-2х;

95. 4у = х², х ² + 2 у – 6 = 0

96. у² + 8х = 16, у ² – 24 х = 48;

97. х = 4- у² , х = у² – 2у;

98. у = 4 – х² , у = х² – 2х;

99. х = (у-2)³ , х = 4у – 8;

100. у = х² - 1, у = х – 1;

101. х = - 2у², х = 1 – 3у²;

102. у = , у = , х = 16;

103. у = 2х, х = 2у, ху = 2 (х<0, у >0)

104. у = - , у = -1, х = 4;

105. у = (х-2)³, у = 4х – 8;

106. у = , у = 0, х = 0, х =1;

107. у = х+1, у = , х = 0, х =

108. х = 4 – (у-1)², х = у² – 4у+ 3;

109. у = 2- х², у² = х³, у=0, (у 0);

110. у = │ℓnх │у = 1;

111. у = - , у = - , х = 4, у = 0;

112. у = х³, у= - , х = 4;

113. х² + у² = 4, х² – 2у² = 1 (одну из частей круга)

114. х² + у² = 8, у² = 2х (одну из частей круга)

115. х² + у² = 4х, у² = 2х;

116. р = 3(1+ ),

117. р = 4 ;

118. р = 2 ( , (0 ;

119. р = 3

120. р² = ( лемниската);

121. р = ;

122. р = 2(1- );

123. р = 5 + ;

124. р² = 2 ;

125. р = 2, р² = 8 (взять первую четверть вне круга);

126. р = 6 , (меньшая часть)

127. х² + у² – 4х = 0; у = х, у (перейти к полярным координатам);

128. р , р = 6 ;

129. р = 2 , р = 2(1- ) (вне круга);

130. х² +у² – 4у =0, у (перейти к полярным координатам);

131. р = 4 (1+ , = (меньшая часть);

132. р = 8 , (и полярной осью)

133. р = 3(1- ), и полярной осью (верхняя часть)

134. (петля)

135. 
     осями координат и прямой х = 1;
     
136. 
     
     

135. 
     осью ох и прямой, проходящей через высшую точку циклоиды параллельно оси оу
     

135. 
     и осями координат
     

135. 
     
     

135. 
     прямой у =1 и осью оу (выше прямой)
     

135. 
     (петля) ;
     

135. 
     прямой х= 2 и осью ох (меньшая часть);
     

135. 
     и осями координат;
     

135. 
     (астроида);
     

135. 
     (петля);
     

4.3. Длина дуги кривой
Если плоская кривая задана уравнением у = , то длина ее дуги от точки А с абсциссой а до точки В с абсциссой в (а<в) вычисляется по формуле


Если кривая задана уравнением х = , то длину ее дуги можно вычислить по формуле.



где с и - ординаты начальной и конечной точек кривой.

Пример 1. Вычислить длину дуги полукубической параболы у² = (х-1)³ между точками А (2;-1) и В (5;-8).

Решение

Разрешаем данное уравнение относительно у и находим у' :


(знаки в выражении указывают, что кривая симметрична относительно оси ох; точки А и В, имеющие отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси ох).





Если кривая задана параметрическими уравнениями

то длина дуги определяется формулой



Пример 2. Найти длину дуги одной арки циклоиды

х= .

Решение

Из уравнения циклоиды находим:

Когда х пробегает отрезок (0;2 ), параметр пробегает отрезок (0;2 ).

Следовательно,

= 8а

Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярной системе координат р=р( ) ( ), вычисляется по формуле

Пример. Найти длину дуги кривой

Решение

Из уравнения кривой находим производную: и дифференциал ее дуги:



половина этой кривой (рис. 10), описывается концом полярного радиуса при изменении от 0 до
рис. 10
Поэтому длина всей кривой

=