Определенный интеграл. Определенный интеграл. Методические указания. Формула НьютонаЛейбница
 Скачать 0.79 Mb.
|
|
4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 4.1. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-ЛейбницаПусть функция у = ƒ (х) непрерывна на отрезке (а;в). Разобьем этот отрезок произвольным образом на n частичных отрезков длиною Δ х1 , Δ х2 ….. Δ хn ; выберем в каждом отрезке по одной произвольной точке ξ 1, ξ 2 …..ξn ; вычисление значения функции у = ƒ (х) в выбранных точках и составили сумму в выбранных точках и составили сумму: ƒ (ξ 1) Δ х1 + ƒ (ξ 2) Δ х2 + ƒ (ξ n) Δ хn =  Эта сумма называется интегральной суммой функции ƒ (х) на отрезке (а;в). По-разному деля отрезок (а;в) на n частичных сумм и по-разному выбирая в них по одной точке ξί, получаем различные интегральные суммы. При неограниченном возрастании n и при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных отрезков существует общий предел интегральных сумм. Этот общий предел всех интегральных сумм функции ƒ (х) на отрезке (а;в) называется определенным интегралом от ƒ (х) в пределах от а до в и обозначается  Простейшие свойства определенного интеграла: При перестановке пределов изменяется знак интеграла: = - Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: = 0 Каковы бы ни были числа а,в,с имеет место равенство: =  +  Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов: + φ (х)) dх = +  Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:  = с Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница: =  │ = F (x) │ = F(b) – F(a), т.е. определенный интеграл равен разности значений неопределенного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Пример 1 Вычислить интеграл:   Если функции и = и(х) и V = V(х) непрерывны вместе со своими производными на отрезке (а;в), то имеет место формула интегрирования по частям:  │-  Пример 2. Вычислить интеграл  Решение Полагая и = х, dv =  , получили du = dx, v =  = (-x ctg x) │ -  ││ = - Если функция f (х) непрерывна на отрезке (а;в), а функция х = φ(t) непрерывна и дифференцируема на отрезке (α; β). Причем φ(α) = а, φ(β) = в, то справедлива формула  называемая формулой замены переменной в определенном интеграле. Кроме подстановки х = φ(t) применяют также обратную подстановку t= φ(х). Пример 3. Вычислить интеграл:  Решение Полагая х = 2 sin t, получим: dx = 2 cost dt, t1 =  при х 1 = 1; t2 =  при х 2 =  ; │ = -2 ( .РАЗДЕЛ А.
|
