функция одной переменной. Функция одной переменной. Функция одной переменной. Основные определения. Способы задания функций. Основные элементарные функции

• Название: Функция одной переменной. Основные определения. Способы задания функций. Основные элементарные функции
• Анкор: функция одной переменной
• Дата: 23.03.2023
• Размер: 0.54 Mb.
• Имя файла: Функция одной переменной.docx
• Тип: Документы; #1011230
• страница: 2 из 3

Классификация точек разрыва.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.



Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен

3. 
   Непрерывность функции на отрезке. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
   

Определение. Функция y=f(x)непрерывна на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка

Теоремы.

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема Вейерштрасса:

Если функция непрерывна на [a,b] то на этом отрезке она достигает своих наибольших и наименьших значений

Теорема (вторая теорема Больцано - Коши) Если f непрерывна на I и в двух его точках a и bf(a)=A>B=f(b), то для всякой точки C∈[B,A] между точками a и b найдется хотя бы одна точка c, что f(c)=C.

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a,b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.

Cуществование непрерывной обратной функции
Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [α, β] ( α = f(a), β = f(b) ) cуществует обратная функция x = g(y), также строго монотонная и непрерывная на отрезке (α, β).

Свойство 1. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке.

Свойство 2. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.

Свойство 3. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка cϵ(a;b), такая что f(с)=0.

3. 
   Задачи, приводящие к понятию производной.
   

а)о скорости движения материальной точки

б) об угле наклона касательной к графику функции

3. 
   Определение производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
   

Определение:

Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Определение через предел:

Пусть в некоторой окрестности точки x₀R определена функция f:U(x₀)R→R. Производной функции fв точке x₀ называется предел, если он существует,



Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема. Если функцияy=f(x) дифференцируема в произвольной точкеx₀, то она непрерывна в этой точке

3. 
   Основные правила дифференцирования
   

Теорема 1. Если функции  и дифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:

.

Формула обобщается на случай любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2. Если функции  и дифференцируемы в данной точкех, то в этой же точке дифференцируемо и их произведение, при этом:

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

, где  .

Теорема 3. Если в данной точке х функции  и дифференцируемы и , то в той же точке дифференцируемо и их частное, причем

.

3. 
   Производные основных элементарных функций
   

3. 
   Дифференцирование сложной функции
   

3. 
   Дифференцирование параметрически заданных функций.
   

Высшего порядка

3. 
   Дифференцирование неявно заданных функций
   

Под неявным заданиемфункции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Пример: x²+y²-xy=7

y^|=? y^|(3,1)=?

(x²+y²-xy)^|=7^|

2x+2y*y^|-(y+xy^|)=0

y^|= y^|(3,1)=

3. 
   Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование показательно-степенных функций
   

Логарифмическое дифференцирование



Показательно-степенных функций

3. 
   Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
   

Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции называют произведение производной этой функции к приращению аргументов

dy=y^\(x)Δx(1)

dy=y^\(x)dx(2)

Геометрический смысл дифференциала









Вывод: дифференциал функции показывает приращение ординаты касательной

Свойства дифференциала:



Применение дифференциала к приближенным вычислениям

∆у≈dy

y(x+Δx)≈y(x)+y^\(x)*Δx

Для сложной:

где 

3. 
   Производные и дифференциалы высших порядков
   

dⁿx=y⁽ⁿ⁾(x)*(dx)ⁿ

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная  (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если  (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y» или  (x).

3. 
   Уравнения касательной нормали к кривой.
   

Уравнение касательной к данной кривой в точке  имеет вид:



Уравнение нормали к данной кривой в точке  имеет вид:

3. 
   Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма.
   

Теорема Ферма (о равенстве нулю производной)

Пусть функция y = f(x):

1)дифференцируема на интервале (a;b) ,

2)достигает экстремума в точке x0 (a;b) .

Тогда производная в этой точке f ′(x0 ) = 0

3. 
   Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ролля. .
   

Теорема Ролля. (о производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения).Пусть функция y = f (x)

1)непрерывна на отрезке [a;b];

2)дифференцируема на интервале (a;b) ;

3)на концах отрезка [a;b] принимает равные значения: f(a) = f(b) . Тогда на интервале(a;b) найдется по крайней мере одна точка x0 , в

которой f ′(x0 ) = 0

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Если f (a)= f (b)= 0, то теорему Ролля можно сформулировать так:

между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной

3. 
   Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Лагранжа.
   

Теорема Лагранжа (о конечных приращениях).

Пусть функция y = f(x) :

1)непрерывна на отрезке [a;b];

2)дифференцируемана интервале (a;b) .

Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка x0 такая, что

3. 
   Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Коши.
   

Теорема Коши (об отношении приращений двух функций).

Если функции y = f(x) и y= g(x)

1)непрерывны на отрезке [a;b] ;

2)дифференцируемы на интервале (a;b) ;

3)производная g′(x) ≠ 0 на интервале(a;b) .

Тогда на интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка x₀ такая что

3. 
   Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Лопиталя.
   

3. 
   Монотонность функции. Необходимый и достаточный признаки возрастания (убывания) функции.
   

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное.

Определение 1. Функция f называется возрастающей на промежутке X, если для любых и из множества X таких, что , выполнено неравенство .

Определение 2. Функция f называется убывающей на промежутке X, если для любых и из множества X таких, что , выполнено неравенство .