Лекции Гармонический анализ. Гармонический анализ

• Название: Гармонический анализ
• Дата: 25.04.2023
• Размер: 1.04 Mb.
• Имя файла: Лекции Гармонический анализ.doc
• Тип: Документы; #1087963
• страница: 2 из 3

§ 4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций периода 2.
Определение 12. Функция f(x) называется четной, если она не меняется при изменении знака ее аргумента, т.е. если f(–х) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси координат.
Определение 13.Функция f(x) называется нечетной, если при изменении знака аргумента она меняет знак, но сохраняет абсолютную величину, т.е. если

f(–х) = – f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция может не быть ни четной, ни нечетной.
Теорема 5. Произведение двух функций одинаковой (различной) четности четно (нечетно). Сумма четных функций – четная функция, нечетных функций – нечетная.

Лемма. Верна формула .

Теорема 6. Если f(x) четна, то . (1.15)

Если же f(x) нечетна, то . (1.16)
Пусть f(x) – четная функция, тогда ее коэффициент Фурье а₀ по формуле (1.15) может быть записан в виде

а₀ = . (1.17)

Поскольку произведение f(x) cos nx четно по теореме 5, то по той же формуле (1.15)

а_n = . (1.18)

b_n = 0, так как произведение f(x) sin nx нечетно по теореме 5 и к b_n применима формула (1.16). Отсюда следует
Теорема 7. Ряд Фурье четной функции f(x) не содержит членов с синусами и имеет вид:

f(x) = + , (1.19)

причем его коэффициенты можно находить по упрощенным формулам (1.17), (1.18).

Таким же способом устанавливается
Теорема 8. Ряд Фурье нечетной функции f(x) не содержит ни свободного члена, ни членов с косинусами и имеет вид:

b_n sin nx , (1.20)

гдеb_n= (1.21)

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию, определенную равенством f(x) =  x  при – < x .

Решение:

f (x) имеет период 2, удовлетворяет условиям теоремы, т.е. разлагается в ряд Фурье. f(–x) = f(x), т.е. она четная. (См. рис. 3.)

По формулам (1.17) и (1.18) найдем коэффициенты Фурье:

а₀ = = = ,

а_n = = = - dx =
= cos nx =  =

Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

f(x) = – (cos x + cos3x+ cos5x + ... + cos((2n+1)x) +...) = cos((2n+1)x).

На интервале [–; ] ряд сходится к функции  x  .
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию: f(x)=

Решение:

f(x) имеет период 2. Она удовлетворяет условиям теоремы, т.е. разлагается в ряд Фурье.

f(–х) = – f(x) (см. рис. 4), т.е. f(x) – нечетна, следовательно а₀ = 0 и а_n= 0.



Рис. 4.
По формуле (1.21) найдем коэффициент Фурье:

b _n = sin nx dx = - cos nx = ( 1–(–1)ⁿ ) =

b_2k+1 = .

Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

f(x) = (sin x + sin x + sin x + ... + sin((2k+1)·x ) ), ( k = 0,1,2,... )

f(x) = sin (( 2k + 1) x).

На интервале [–; ] ряд сходится к функции f(x), в точках х = 0 и х =   – к нулю.
§ 5. Сдвиг основного промежутка.
Вся теория рядов Фурье излагалась для функций, заданных на отрезке [–; ], однако вместо этого отрезка можно было бы положить в основу рассуждения любой другой отрезок длины 2, так как 2 есть период всех функций системы 1, cos x, sin x, cos 2x, …, и справедлива

Теорема 9. Если функция f(x) имеет период 2, то интеграл от числа а не зависит. Поэтому всю теорию можно перенести с отрезка [–; ] на любой отрезок [а, а+2].
Теорема 10. Если f(x) дифференцируема на отрезке [0; 2], то всюду на открытом промежутке (0, 2) будет

f(x) = + , где

а₀ = , (1.22)

а_n= , (n=1,2,...); (1.23)

b_n= , (n=1,2,...); (1.24)

ряд сходится в точках x= 0, x= 2, где его сумма равна

( без доказательства)

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x, заданную на отрезке [0; 2].



Рис. 5.
Решение:

График функции изобразим на рис. 5. Видно, что функция – разрывная. Найдем коэффициенты Фурье. Здесь

а₀ = = ,

а_n = , (n=1,2,...),

b_n = .

Стало быть, при 0 < x < 2π будет x = .

В точках x= 0 и x= 2 сумма S(x) ряда равна .
§ 6. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2ℓ.
Пусть функция f(x) задана и дифференцируема на отрезке [–l; l]. Положим φ(z) = .

Тогда φ(z) будет заданной и дифференцируемой уже на отрезке [–π; π].Значит к φ(z) применима теория, изложенная выше, поэтому при – π < z< π будет

φ(x) = + .

Положим в этом равенстве . Тогда для – l < x< l , то есть для функций с любым периодом 2ℓ разложение в ряд Фурье, когда оно возможно, и формулы для коэффициентов Фурье таковы:

f(x) = + cos + sin ), ( 1.25 )

где а₀ = (x)dx; а_n= x) cos dx; b_n= x) sin dx (1.26)

Если f(x) – четная, то , (1.27)

где а₀ = (x)dx; а_n= (x) cos dx . (1.28)

Если f(x) – нечетная, то , (1.29)

где b_n= (x) sin dx. (1.30)
Замечание. Можно от периода 2 перейти к периоду 2, произведя замену переменной по формуле х = или х^/ =  (x–l) и затем вычислять коэффициенты Фурье для 2 - периодических функций.
Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x, заданную на интервале –2  х  2.

Решение:



Рис. 6


График функции f(x) = x изображен на рисунке 6. Видно, что функция нечетная с периодом 2ℓ = 4, то есть ℓ = 2. Найдем коэффициенты Фурье по формуле 1.30.

b_n= dx= = – х cos dx =

= – cos n + = – cos n + sin n = – cos n =

=

Следовательно, по 1.29 разложение в ряд Фурье функции f(x) имеет вид:

f(x) = x = – + – ... = – .
Пример 6.

Разложить в ряд Фурье функцию f(x) =

Решение:

Воспользуемся замечанием. Произведем замену переменой х = , т.о. получаем функцию:

f
при 0 < х ^/ < .

при - < х ^/  0,
(x) =
Найдем коэффициенты Фурье.

а ₀ = dx ^/ + dx ^/ = 3/2.

a_n= cos nx ^/ dx ^/ + cos nx ^/ dx ^/ = =
= + = nx ^/ dx ^/ =

=
n – четное

n – нечетное.
[1–(–1)ⁿ] =

b_n = sin nx ^/ dx ^/ + sin nx ^/ dx ^/ = sin nx ^/ dx ^/ = – .

Следовательно, f(x) = + cos[(2k+1)(x–1)] – sin[n(x–1)].