ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Государственный университет высшая школа экономики
 Скачать 13.38 Kb.
|
|
Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ — ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ Международный институт экономики и финансов Программа дисциплины ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА для направления 080100.62 “Экономика” подготовки бакалавра специализация по внешней программе “Экономика”, “Банковское дело и финансы”, “Экономика и финансы”, “Экономика и менеджмент” Автор к.ф-м.н. Д.Д. Первушин
Москва, 2009 г. Лектор: Дмитрий Давидович Первушин Преподаватели семинарских занятий: Дмитрий Давидович Первушин, Борис Борисович Демешев, Даниил Михайлович Есаулов, Артем Олегович Кальченко, Александр Игоревич Засорин. Описание дисциплины Линейная алгебра - полусеместровый курс, являющийся обязательным элементом учебной программы МИЭФ для студентов второго года обучения. По своей сути этот курс является инструментальным, так как его отдельные разделы затем используются в курсах “Методы оптимальных решений”, “Анализ временных рядов” и “Эконометрика”. Изучаемый материал входит в экзаменационные программы Лондонского университета по “Mathematics 1”, “Mathematics 2” и “Further mathematics for economists”. Тем не менее линейная алгебра является самостоятельным предметом, прямое назначение которого - донести до слушателей основные принципы классического матричного исчисления. С широкой точки зрения, основной задачей курса является ознакомление слушателей с формальным языком для выражения одной из самых общих математических идей - идеи линейности. Курс подразделяется на три части, посвященные обсуждению следующих тем. 1. Вопросы, связанные с решением систем линейных уравнений и расширением геометрической интуиции двумерного и трехмерного пространств на конечномерные векторные пространства: базис, ранг, размерность, линейная оболочка, линейное подпространство и т.д. 2. Вопросы, относящиеся к кососимметрическим полилинейными формам (определитель), а также вопросы из геометрии линейных операторов, такие как собственные значения, собственные векторы, диагонализуемость, и т.д. 3. Вопросы, связанные с симметрическими билинейными формам: исследование квадратичных форм, ортогонализация и другие геометрические вопросы пространств со скалярным произведением. С практической точки зрения, самой важной задачей является не просто научить слушателей производить действия над векторами и матрицами, а подготовить к использованию линейно-алгебраических методов для решения, например, линейных дифференциальных или линейных конечно-разностных уравнений. Основные изменения по сравнению с курсами предыдущих лет. По сравнению с курсом 2012 года существенных изменений в структуре курса, а также в проведении лекций и семинаров не планируется. Учитывая ограниченное количество часов и плотное расписание экзаменов осенней сессии, рассматривать тему “Комплексные числа” не представляется возможным. Методы - Лекции - Семинары - Выполнение домашних заданий - Самостоятельная работа Формы контроля знаний студентов - Домашние задания (еженедельно) - Тренировочный домашний экзамен (онлайн) - Промежуточный экзамен. - Финальный экзамен Промежуточный экзамен, проводимый ориентировочно после 4-5 лекций, и финальный экзамен, проводимый после окончания курса, имеют сходный формат, состоящий из двух частей (Multiple choice и Free response). Продолжительность промежуточного экзамена 90 минут. Продолжительность финального экзамена 120 минут. Темы промежуточного экзамена не включаются и в финальный экзамен. Определение итоговой оценки В ходе изучения курса студенты выполняют домашние задания, сдают промежуточный и финальный экзамен. Еженедельные домашние работы составляют 10% финальной оценки. Промежуточный экзамен составляет 40% финальной оценки. Финальный экзамен составляет 50% финальной оценки. Студенты, пропустившие промежуточный экзамен по уважительной причине, оцениваются на основе оценки за финальный экзамен с учетом суммарного веса 90%. Студенты, пропустившие промежуточный экзамен по неуважительной причине, получают за него ноль баллов с занесением этой оценки в рейтинг. Веса оценок на пересдаче определяются причиной пропуска экзамена или степенью неудовлетворительности предшествующей оценки. Список основной литературы 1. Pervouchine DD. Lecture Notes on Linear Algebra. ICEF 2011 (Pervouchine) 2. Chernyak V. Lecture Notes on Linear Algebra. Introductory course. Dialog, MSU, 1998, 2000 (Chernyak) 3. Carl P. Simon and Lawrence Blume. Mathematics for Economists, W.W. Norton & Company, 1994 (Simon, Blume) Список дополнительной литературы 1. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, 3rd ed., 1984 2. R.O.Hill, Elementary Linear Algebra, Academic Press, 1986 3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре Москва, Наука, 1999. 4. Кострикин А.И., Манин Ю.И., Линейная алгебра и геометрия, Москва, Наука 1986. 5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, Москва, Наука, 1985. Содержание курса Системы линейных уравнений в матричной форме. Обозначения, базисные понятия. Геометрическая интерпретация. Определенные, неопределенные и несовместные системы. Элементарные операции над уравнениями. Методы исключения переменных Гаусса и Гаусса-Жордана. (Pervouchine, глава 1; Chernyak, глава 1-5; Simon & Blume, глава 7) Линейное пространство. Линейная независимость и ее связь с системами линейных уравнений. Ранг. Полнота. Линейная оболочка. Базис и размерность линейного пространства. Координаты в базисе. Замена базиса. Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов. Примеры. (Pervouchine, глава 2; Chernyak, глава 9-11; Simon & Blume, глава 7,11) Операции над подпространствами. Решение однородной системы как подпространство. Представление общего решения неоднородной системы с помощью подпространства. Фундаментальный набор решений.(Pervouchine, глава 2-3; Chernyak, глава 11; Simon & Blume, глава 11) Матрица как система векторов-строк и векторов-столбцов. Линейные операции над матрицами. Транспонированная матрица. Законы матричной алгебры. Специальные виды матриц. Матрицы элементарных преобразований. (Pervouchine, глава 5; Chernyak, глава 2-3; Simon & Blume, глава 8) Определитель системы векторов. Геометрическая интерпретация. Определитель матрицы. Вычисление и основные свойства определителей. Правило Крамера. Приложение к нахождению ранга системы векторов. (Pervouchine, глава 4; Chernyak, глава 6-8; Simon & Blume, глава 9) Обратная матрица. Вырожденные и невырожденные матрицы. Определение обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы: способ приписывания единичной матрицы и алгебраические дополнения. (Pervouchine, глава 4-5; Chernyak, глава 12; Simon & Blume, глава 8) Линейные преобразования как алгебраический и как геометрический объект. Матрица линейного преобразования. Примеры линейных преобразований, в том числе в функциональных пространствах (на примере оператора дифференцирования). Преобразование координат векторов и матриц линейного преобразования при замене базиса. Сопряженные матрицы. (Pervouchine, глава 6; Chernyak, глава 15) Собственные значения и собственные векторы. Свойства собственных векторов. Характеристическое уравнение. Базис и размерность собственных подпространств. Диагонализация матрицы. Приложения. (Pervouchine, глава 6; Chernyak, глава 13-14; Simon & Blume, глава 23) Билинейные и квадратичные формы. Канонический вид. Приведение к каноническому виду выделением полных квадратов. Симметрические матрицы. Определенность. Критерий Сильвестра. (Pervouchine, глава 7; Simon & Blume, глава 16) Линейные пространства со скалярным произведением. Скалярное произведение. Норма вектора. Измерение расстояний и углов. Проекция вектора на подпространство. Ортогонализация базиса. Уравнения прямых и плоскостей. (Pervouchine, глава 8; Chernyak, глава 16, Simon & Blume, глава 10) Тематический план учебной дисциплины
|