Жоспар. Градусная и радианная меры угла. Вращательное движение
 Скачать 4.53 Mb.
|
Градусная и радианная меры угла. Вращательное движение.Синус, косинус, тангенс и котангенс. Для чего нужны синусы и косинусы в обычной жизни?На практике синусы и косинусы применяются во всех инженерных специальностях, особенно в строительных. Их используют моряки и летчики в расчетах курса движения. Не обходятся без синусов и косинусов геодезисты, и даже путешественники. В географии применяют для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах.Детская школа Гауди в Барселоне Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине Мост в Сингапуре Немного из истории… 1. Древние вавилоняне и египтяне изучали тригонометрию как часть астрономии; разделили окружность на 360 2. Древние индийцы: ввели названия «синус», «косинус», составили таблицы синусов, косинусов 3. IX-XVвв – Средний и Ближний восток: составляли таблицы котангенса, тангенса, косеканса; ввели понятие единичной окружности Немного из истории… 4. Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201-1274) выделил раздел тригонометрии из астрономии. 5. Лев Герсонид (1288-1344) – открыл теорему синусов. 6. XVII-XIXвв: применение тригонометрии в механике, физике, технике, как часть математического анализа (Виетт, Бернулли) – тригонометрические символы, графики – синусоиды. 7. Л.Эйлер: придал тригонометрии современный вид. Тригонометрия раздел математики, изучающий соотношение сторон и углов в треугольнике («три» - три, «гониа» - угол, «метриа» - измеряю) Чему равен угол квадрата?На какой угол поворачивается солдат по команде «кругом»?Чему равен угол между минутной и часовой стрелками на часах, когда они показывают 2ч?Единицы измерения углов Градусы Радианы Градусная мера угла 1 – цена одного деления окружности, разделенной на 360 частей =1 Углом в 10 (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную 1/360 части окружности. Вся окружность состоит из 360 «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен 3600. На рисунке изображен угол β, равный 500 то есть этот угол опирается на круговую дугу размером 50/360 длины окружности. Радианная мера угла 1 радиан – это величина центрального угла, длина дуги которого равна радиусу 1рад. R=1 R=1 l=R Единицы измерения углов Градусы Радианы радиан=180 радиан=180 Перевод из градусной меры в радианную: Пример: 1. 2. 3. Пример: 4. 5. 6. Пример: 1. 2. 3. Пример: 4. 5. 6. радиан=180 Перевод из радианной меры в градусную: Пример: 1. 2. 3. Пример: 1. 2. 3. №1: Переведите в радианную меру углы: 1) 45 2) 15 3) 72 4) 100 5) 200 6) 360 7) 215 8) 150 9) 330 №2: Переведите в градусную меру углы: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Перевод из градусной меры в радианную: Перевод из радианной меры в градусную: Самостоятельная работа 1. Переведите в радианную меру углы: 1) 60 2) 145 3) 240 I вариант II вариант 1) 320 2) 105 3) 40 2. Переведите в градусную меру углы: 1) 2) 1) 2) Ответы 1. 1) 2) 3) I вариант II вариант 1) 2) 3) 2. 1) 72 2) 480 1) 405 2) 150 Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона AC). Катеты – это две оставшиеся стороны AB и BC (те, что прилегают к прямому углу), причем, если рассматривать катеты относительно угла β, то катет AB – это прилежащий катет, а катет BC- противолежащий. Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе. В нашем треугольнике sinβ=BC/AC Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе. В нашем треугольнике cosβ=AB/AC Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому). В нашем треугольнике tgβ=BC/AB Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему). В нашем треугольнике ctgβ=AB/BC Синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Рассмотрим, к примеру, косинус угла β. По определению, из треугольника ABC: cosβ=AB/AC=4/6=2/3, но ведь мы можем вычислить косинус угла β и из треугольника AHI: cosβ=AH/AI=6/9=2/3. Видите, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла. Для треугольника ABCABCABC, изображенного ниже на рисунке, найдем sin α, cos α, tg α, ctg α sin α=4/5=0,8 cos α=3/5=0,6 tg α=4/3 ctg α=3/4=0,75 Попробуйте посчитай то же самое для угла β. Ответы: sin β=0,6; cos β=0,8; tg β=0,75; ctg β=43. Окружность с радиусом, равным 1называется единичной. Данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиуса-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси x (в нашем примере, это радиус AB). Единичная окружность r = 1 x y O Положительное направление поворота: против часовой стрелки. Отрицательное направление поворота: по часовой стрелке. + – x y O Поворот M В т. М можем попасть, выполнив множество разных поворотов. 900 1800 2700 3600 00 Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси x и координата по оси y. Рассмотрим треугольник ACG. Он прямоугольный, так как CG является перпендикуляром к оси x. Чему равен cos α из треугольника ACG? cos α=AG/AC AC – это радиус единичной окружности, а значит, AC=1. cos α=AG/AC=AG/1=AG А чему равен sin α из треугольника ACG? sinα=CG/AC=CG/1=CG А можно сказать, какие координаты имеет точка C, принадлежащая окружности? А если сообразить, что cos α и sinα - это просто числа? Какой координате соответствует sinα? Ну, конечно, координате x! А какой координате соответствует cos α? Все верно, координате y! Таким образом, точка C(x;y)=C(cosα;sinα). x Единичная окружность r = 1 y O x y D * * M(x;y) Cинусом угла называется ордината yточки М, а косинусом угла – абсцисса x точки М. x = a cos y; = a sin sin a cos a tg a ctg a Домашнее задание
3) Переведите в радианную меру углы: 75, 15, 130, 220, 340 4) Переведите в градусную меру углы: , , , , Ответьте на вопросы: 1) Что означает «тригонометрия»? 2) Разделом какой науки являлась тригонометрия в начале развития? 3)Какие единицы измерения углов Вы знаете? 4) Чему равно радиан? 5) Как перевести из градусной меры в радианную и обратно? 6) Было ли интересно на уроке? |