Графический метод в комбинации с методом замены переменной при решении уравнений
 Скачать 0.59 Mb.
|
|
Графический метод в комбинации с методом замены переменной при решении уравнений Ю. А. Игнатов В статье рассматривается метод решения уравнений и неравенств с помощью комбинации гра- фического метода с методом замены переменной. Этот метод может применяться при решении уравнений комбинированного типа, например, тригонометрического, показательного, логарифми- ческого в комбинации с рациональным. При решении уравнений разных типов (тригонометрических, показательных, логарифмических и других) один из распространенных методов решения — метод замены переменной. С его помощью уравнение приводится к более простому виду, обычно квадратному. Решив получившееся уравнение, обратной заменой возвращаемся к исходной переменной и находим ее значения, являющиеся корнями исходного уравнения. Этот метод хорошо разработан в методической литературе и широко используется в обычной школьной практике. Но метод работает эффективно только в том случае, если структура уравнения позволяет полностью избавиться от старой переменной в результате замены, и при этом получается уравнение более простого вида. Типы уравнений, для которых метод полезен, описаны в школь- ных учебниках. Но для уравнений комбинированного типа метод обычно не работает. Например, рассмотрим уравнение 2x = 2x. Если произвести замену 2x = y, с помощью которой избавляемся от показательного выражения в уравнении, то придем к уравнению y = 2 log2 y, которое не проще исходного. Когда непонятно, каким методом решать уравнение, можно применить метод подбора. Исполь- зование этого метода допустимо только в том случае, если сопровождается доказательством того, что найдены все корни. В этом случае метод подбора становится вполне законным и имеет право на использование. При подборе корней уравнения обычно бывает полезен графический метод. Недостаток этого метода, во-первых, в том, что с его помощью корни находятся приближенно, и, во-вторых, остается вопрос, все ли корни найдены. Первое замечание снимается непосредственной проверкой: найден- ные значения переменной подставляем в исходное уравнение и тем самым выясняем, являются ли они точными. Второе замечание требует специального исследования, и вид графика подсказывает направление этого исследования. Например, применим графический метод для решения рассмотренного выше уравнения. Пример 1. Решить уравнение 2x = 2x. Решение. Строим графики функций y = 2x и y = 2x. По рисунку определяем, что графики пересекаются в точках с абсциссами x = 1 и x = 2. Подстановкой в уравнение убеждаемся, что эти значения переменной x действительно являются корнями исходного уравнения. То, что других корней нет, подсказывает вид графиков: первый является кривой, выпуклой вниз, а второй — прямой линией. Такие линии могут пересекаться не более чем в двух точках, поэтому больше корней нет. 12                       Исследование функций на выпуклость обычно проводится с помощью второй производной. В обычной школьной программе этот аппарат не используется, но вид графиков стандартных функций хорошо известен, и их свойства, связанные с выпуклостью, можно использовать. Применение описанного метода затруднено, если построить графики слишком сложно. В этом случае может помочь комбинация графического метода с методом замены переменной. Следующий пример иллюстрирует этот прием для простого случая.  2 Пример 2. Решить уравнение 2cos x−1 = cos2 x. ∈ Решение. Уравнение преобразуется к виду 2cos x= cos x+ 1. Производим замену cos x= t. При- ходим к уравнению 2t= t + 1, которое решается аналогично уравнению из примера 1. Уравнение имеет два корня 0 и 1. Других корней нет, так как график левой части уравнения — экспонента, выпуклая вниз, а график правой части — прямая, и они могут иметь не более двух точек пересече- ния. Значит, обратной заменой приходим к уравнению cos x= 0 или cos x= 1, и решения исходного уравнения 2πn; π/2+ πn, nZ. В более сложных случаях возможна следующая ситуация. Пусть в уравнении напрашивается замена y = ϕ(x), но эта замена не позволяет удалить все вхождения переменной x. Тогда мы про- изводим замену на y там, где возможно, оставив некоторые вхождения переменной x. Уравнение будет тогда содержать две переменные x и y, то есть иметь вид F (x, y) = 0. Нетрудно сообразить, что система F (x, y) = 0, y = ϕ(x) равносильна исходному уравнению. Но ввиду важности этого утверждения дадим его точную формулировку и строгое доказательство. |