Графический метод в комбинации с методом замены переменной при решении уравнений
 Скачать 0.59 Mb.
|
|
Теорема. Множество решений уравнения F (x, ϕ(x)) = 0 совпадает с множеством значений пе- ременной x в множестве решений системы � y = ϕ (x) , F (x, y) = 0. (1) Доказательство. Пусть x0 – решение исходного уравнения. Это значит, что F (x0, ϕ(x0)) = 0 является верным равенством. Обозначим ϕ(x0) через y0. Тогда верными являются равенства y0= ϕ(x0) и F (x0, y0) = 0, то есть пара (x0, y0) является решением системы. Обратное утвержде- ние доказывается в обратном порядке. Пример 3. Решить уравнение (x − 2) + (cos − 2 = 5. Если мы сумеем построить графики уравнений системы (1), то получим возможность применить графический метод для решения исходного уравнения.  2 πx 2 2  � y = cos , 2 Решение. Производим замену cos πx= y. Уравнение приводится к системе πx  2 (x − 2)2 + (y − 2)2 = 5. Решаем ее графическим способом в системе координат Оxy.                Граф√ик первого уравнения — синусоида, второго — окружность с центром в точке (2; 2) и ра-  диусом 5. Из графика видим, что эти фигуры пересекаются в четырех точках с абсциссами 0, 1, − ≤ ≤ 3, 4. Непосредственной проверкой убеждаемся, что все эти значения действительно являются кор- нями исходного уравнения. Проверим, что других корней нет. На отрезке [0; 1] синусоида выпукла вверх, а окружность вниз, поэтому у них не более двух точек пересечения. Та же ситуация на от- резке [3; 4]. На отрезке [1; 3] обе функции выпуклы вниз, и здесь требуются другие рассуждения. В точке (1; 0) касательная к окружности имеет угловой коэффициент 0,5, окружность расположена выше этой касательной, а синусоида при 1 < x 2 ниже касательной. При 1 x < 2 такая же ситуация с касательной в точке (3; 0). Эти касательные пересекаются в точке (1,5; 0,5) и разделяют дуги окружности и синусоиды на отрезке [1; 3]. Значит, других точек пересечения у этих дуг нет. Остальная часть окружности выше синусоиды, так как для нее y >1. Таким образом, уравнение имеет решения 0, 1, 3, 4. Рассмотренные примеры иллюстрируют способы оценки числа корней. Сформулируем основные правила, которыми можно при этом руководствоваться. Если функция y = f (x) возрастает, а функция y = g(x) убывает, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения. При этом монотонность одной из этих функций должна быть строгой, а другой может быть нестрогой (в частности, функция может быть постоянной). Если функция y = f (x) выпукла вверх, а функция y = g(x) выпукла вниз, то графики этих функций имеют не более двух точек пересечения. При этом одна из этих функций может не иметь выпуклости, то есть быть линейной целиком или на отдельных участках. Когда обе функции возрастают или обе убывают, описанные правила не работают. В этих случаях можно попробовать оценить разность этих функций. Но часто это не помогает, так как разность может оказаться комбинированной функцией, и исследование ее на монотонность или выпуклость не проще, чем решение исходного уравнения. В таких случаях можно попробовать отделить графики этих функций друг от друга третьей функцией, как показано в решении примера 3. Описанный прием можно применить и при решении неравенств. Но здесь лучше не пытаться по графику сразу найти множество решений неравенства. Следует решить соответствующее уравнение, а затем применить метод интервалов.  π Пример 4. Решить неравенство 2 cos2 x +7 cos x − 9 ≤ 18x . |