Графический метод в комбинации с методом замены переменной при решении уравнений
 Скачать 0.59 Mb.
|
|
Решение. Заменим неравенство на уравнение и для его решения сделаем замену у = cos x. Уравнение будет равносильно системе � y = cos x,  π 2y2 + 7y − 9 = 18x. Применим для решения графический метод. Второе уравнение приводим к виду   9 18 2 x = π ( 1 y2 + 7 y − 1 . Его графиком является парабола, причем ось абсцисс и ось ординат поменялись ролями. Координаты   72 4 2 9 вершины параболы x= −85 π, y= −7 . Для более точного построения найдем координаты трех точек:   y = 1, x = 0; y = 0, x = − π ; y = –1, x = − 7π . Строим графики.             2 − 3 − − ≤ ≤ ( − ≤ ≤ По графику видим, что две построенные фигуры, парабола и синусоида, имеют три пересечения. Но это, конечно, требует обоснования. Сначала найдем координаты точек пересечения. Две из них, x = 0, y = 1 и x = π, y = 0, уже найдены, они соответствуют вспомогательным точкам, найден- ным при построении параболы. Для нахождения третьей точки график подсказывает попробовать значение y = 1/2. Для параболы получаем соответствующее значение x = 2π, точка с такими координатами лежит и на графике косинуса. Покажем теперь, что других точек пересечения нет. При 1 y 0 соответствующие участки графиков выпуклы в противоположные стороны, поэтому имеют не более двух точек пересечения. При 0 y 1 выпуклость в одну сторону, поэтому для обоснования отсутствия других пересечений рассмотрим касательные к параболе в крайних точ- ках промежутка. Учтем, что в уравнении параболы аргументом является y, а функцией x. Имеем    9 18 18 18 2 18 18 xм= π2 y+ 7 . При y= 0 получаем xм= 7π, и уравнение касательной в этой точке x= 7πy−π. При  y = 1 получаем xм = 11π , и уравнение касательной в этой точке x = 11π (y − 1). Точка пересечения   этих касательных имеет координаты x = − 5π , y = 1 . На графике косинуса соответствующая точка   при y = 1 имеет абсциссу x = − π , то есть лежит левее точки пересечения касательных. Значит, 2 3 18 2 эти касательные разделяют графики двух уравнений на соответствующем участке, и других точек пересечения нет. 2 3 2 Таким образом, найдены все решения уравнения, полученного из исходного неравенства: − 2π ,    − π , 0. Теперь методом интервалов получаем решение неравенства: − 2π ; − π ∪[0; +∞). 3  Рассмотрим д√ругие возможности применения метода. Часто при решении уравнений, содержа- щих выражение 1 − x2, применяется подстановка x = cos y, позволяющая благодаря основному тригонометрическому тождеству избавиться от радикала. Можно использовать другие тождества, позволяющие упростить уравнение.  Пример 5. Решить уравнение ex= x + √1+ x2. |