И. А. Долгарев история математики учебное пособие
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
И.А. Долгарев ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ Учебное пособие В пособии рассмотрены основные этапы в истории математики и приведены краткие сведения о жизни и деятельности крупнейших математиков и выдающихся отечественных математиках. Описано зарождение счета, освещена математика древней Греции, рассказано о первых крупных ученых – Фалесе и Пифагоре. Огромна роль в математике основателя учения о логике Аристотеля, отмечено его влияние на первых исследователей, в том числе и на Евклида. Дан анализ работы Евклида «Начала», ее выдающейся роли как в геометрии, так и во всей математике. Рассказано о других трудах Евклида. Освещен важный этап в истории математики – этап количественного изучения явлений окружающего мира. Особо отмечено выдающееся значение открытия великого русского ученого Н.И. Лобачевского. Открыв неевклидову геометрию, Н.И. Лобачевский произвел революцию в математике, обозначив новое отношение к математике у потомков. Аксиоматический метод в математике укрепился благодаря работам Н.И. Лобачевского. Рассматривается история возникновения переменных величин и функций в результате исследования механических движений и других физических явлений. Это связано с исследованиями Галилея, Декарта, Ньютона, Лейбница. Затронуты вопросы истории дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальных уравнений, геометрия кривых и поверхностей, функций комплексной переменной, алгебры и теории вероятностей, а также вопросы истории логического обоснования и систематизации математики. Уделено внимание жизни и деятельности выдающихся российских математиков С.В. Ковалевской и А.Н. Крылова. Отдана дань роли М.В. Ломоносова, первого великого российского ученого. Большую часть своей жизни в России работал математический гений Л. Эйлер, по праву считающийся российским математиком, хотя он родился и учился в Швейцарии. Пособие предназначено студентам университета математической специальности. О Г Л А В Л Е Н И Е Введение Глава 1. Начало Глава 2. Первые элементы науки в древней Греции Фалес Пифагор Аристотель Евклид Глава 3. Лобачевский Николай Иванович Становление аксиоматического метода Глава 4. Из истории математического анализа Глава 5. Творцы русской математической науки М.В. Ломоносов С.В. Ковалевская А.Н. Крылов Л. Эйлер 6. Литература по истории математики «Если мы о чем-нибудь не знаем, как оно образовалось, то и не понимаем его.» А. Шлейхер. ШЛЕЙХЕР, АВГУСТ (Schleicher, August) (1821–1868), немецкий лингвист, представитель сравнительно-исторического языкознания. Родился 19 февраля 1821 в Майнингене в семье врача. В 1840 поступил в Лейпцигский университет, в 1841 перешел в Тюбигенский университет. Еще через два года, оставив занятия теологией и философией, Шлейхер перешел в Боннский университет, в котором изучал классические языки, языки Ближнего Востока и германскую диалектологию. Окончив университет в 1846, работал приват- доцентом, постепенно включая в сферу своих интересов славянские языки. Во время революционных событий 1848–1849 в Европе занимался журналистской деятельностью в ряде европейских столиц, прежде всего в Праге. В 1850–1857 экстраординарный, а с 1853 ординарный профессор Пражского немецкого университета. С 1857 профессор университета в Йене. С 1858 иностранный член-корреспондент Российской Академии наук. Несмотря на относительно недолгий срок преподавательской деятельности Шлейхера, его студентами успели побывать И.А.Бодуэн де Куртенэ, А.Лескин, Й.Шмидт, Х.Шухардт. «История вовсе не имеет своей единственной целью удовлетворение бесполезного любопытства: изучение пришедшего должно в конце концов освещать будущее.» П. Таннери. ТАННЕРИ, ПОЛЬ (Tannery, Paul) (1843-1901), французский математик и историк философии и науки. Брат математика и философа Жюля Таннери. Родился в Манте 20 декабря 1843. В 1861 поступил в Высшую политехническую школу в Париже. С 1865 служил в Пантене в государственных табачных мануфактурах, с 1886 — директор мануфактур. В свободное время занимался изучением истории наук. Читал курс истории арифметики в Сорбонне, в 1892 был назначен профессором греческой и латинской философии в Коллеж де Франс. Научные интересы Поля Таннери были сосредоточены в сфере истории философии и истории математики, в особенности древнегреческой и Нового времени. Поль Таннери — автор работ, ставших классическими в истории античной науки. Его исследования в этой области, в том числе выполненные им переводы сочинений греческих мыслителей, до сих пор не утратили своего значения и служат важным подспорьем для историков науки. Он издал научные труды греческого математика Диофанта и сочинения Ферма; участвовал в издании Полного собрания сочинений Декарта. Сотрудничал в журналах "Revue philosophique", "Bulletin des sciences mathématiques", "Revue des Etudes Grecques", "Archiv für Geschichte der Philosophie", где опубликовал множество статей на разные темы. Статьи, опубликованные в "Revue philosophique", составили позднее книгу За историю эллинской науки (Pour l’histoire de la science hellène). Среди его работ — Геометрия греков (La géométrie grecque, 1887); Исследования по истории древней астрономии (Recherches sur l’histoire de l’astronomie ancienne, 1893). ВВЕДЕНИЕ Множество крупных и мелких, главных и второстепенных научных фактов, из которых слагается всякая отрасль знания, часто заслоняет основные части сложной конструкции науки, подобно тому как внешние особенности изучаемого организма могут отвлечь внимание биолога от основных характерных признаков типа. Историческая точка зрения на предмет изучения дает наилучшую гарантию от ошибок подобного рода. В математике сама грандиозная широта научной области затрудняет проведение видимых ее границ, и все детали этой науки — истины, накопившиеся веками, - вплетены такими прочными логическими нитями в ее сложную конструкцию, что выделить основу ткани можно, только наблюдая за ее постепенным образованием. Чтобы ориентироваться среди многочисленных разветвлений науки, нужно знать, как возникли главные течения научной мысли и какими изгибами дошли они да главного русла, сохраняющего свое положение среди протоков, иногда временных. Наконец, особенно важно, следя за историей математической науки, убедится в неразрывной связи ее развития с успехами научных завоеваний в других областях знания и подметить соотношения, связывающие работу математической мысли с культурной и политической историй, а также с характерными особенностями эпохи. Все эти задачи недостижимы в беглом историческом обзоре. Много существует литературы по истории математики. Много ученых занимались историей математики. Написано много работ о творцах математики: В нашем курсе мы тем более не можем охватить за 8 лекций все разделы по истории математики. Поэтому излагать исторические сведения мы будем фрагментарно. Глава 1 НАЧАЛО 1. Первоначальные представления человечества о числе и форме относятся к очень отдаленной исторической эпохе древнего каменного периода – палеолита. В течении сотен тысячелетий указанного периода люди жили в пещерах, в примитивных условиях, мало отличавшихся от условий жизни животных, и их энергия уходила на добывание пищи простейшим способом – собиранием ее, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения между собой, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства: статуэтки и рисунки. Возможно, что рисунки в пещерах Франции и Испании (возраста порядка 15 тысяч лет) имели ритуальное значение, но несомненно в них обнаруживается замечательное чувство формы. Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, люди вступают в новый каменный период, в неолит. Это великое событие в истории человечества произошло примерно 10 тысяч лет тому назад, когда ледовый покров в Европе и в Азии начал таять и уступать место лесам, степям и пустыням. Постепенно прекращались кочевые странствия в поисках пищи. Рыбаловы и охотники все больше вытеснялись первобытными земледельцами. Земледельцы оставались на одном месте, пока почва сохраняла плодородие, строили жилища, рассчитанные на долгие сроки. Стали возникать поселения для защиты от непогоды и от врагов-хищников. Немало таких неолитических поселений к настоящему времени раскопано. По их остаткам видно, как постепенно развивались такие простейшие из ремесел, как гончарное, ткацкое, плотничье. Существовали житницы, так что население могло, производя излишки, запасать продукты на зиму и на случай неурожая. Выпекали хлеб, варили пиво, в эпоху позднего неолита плавили и обрабатывали медь и бронзу. Совершались открытия и изобретения; появился гончарный круг и тележное колесо; совершенствовались жилища и лодки. Все эти замечательные новшества возникали лишь в пределах той или иной зоны жизни и не всегда распространялись вне ее. Например, американские индейцы узнали о существовании тележного колеса лишь после прихода к ним европейцев. Тем не менее, темп технического прогресса в неолите в колоссальной мере ускорился по сравнению с более древним каменным периодом. Древние люди вели между собой значительную торговлю, которая настолько развилась, что можно проследить наличие торговых связей между местностями, удаленными на сотни километров друг от друга. Указанную коммерческую деятельность сильно стимулировали открытие техники выплавки меди и бронзы и изготовление сначала медных, а затем и бронзовых орудий и оружия. Это в свою очередь содействовало дальнейшему формированию языков. Слова этих языков выражали вполне конкретные вещи и весьма немногочисленные абстрактные понятия, но языки уже имели известный запас слов для простых числовых терминов и для некоторых пространственных образов. На таком уровне находились многие племена в Австралии, Америке и Африки, когда они впервые встретились с белыми людьми, а некоторые племена и сейчас живут в тех же условиях, так что есть возможность изучить их обычаи и способы выражения мыслей. 2. Числовые термины, выражающие некоторые из «наиболее абстрактных понятий, какие в состоянии создать человеческий ум», как сказал Адам Смит, медленно входили в употребление. Впервые они появляются как качественные, чем количественные термины, выражая отличие между одним и двумя и многими. Древнее качественное происхождение числовых понятий и сейчас еще выявляется в тех особых двоичных терминах, которые имеются в некоторых языках, как, например, греческом и кельтском. С расширением понятия числа бờльшие числа сначала образовывались с помощью сложения: 3 путем сложения 2 и1, 4 путем сложения 2 и 2, 5 путем сложения 2 и 3. Вот примеры счета некоторых австралийских племен: племя реки Муррей – 1 есть энза, 2 есть петчевал, 3 есть петчевал-энза; племя Камиларон – 1 есть мал, 2 есть булан, 3 есть гулиба, 4 есть булан-булан, 5 есть булан-гулиба. Развитие ремесла и торговли содействовало кристаллизации понятия числа. Числа группировали объединяли в большие единицы, обычно пользуясь пальцами одной руки, или обеих рук – обычный в торговле прием. Это вело к счету сначала с основанием 5, потом с основанием 10, который дополнялся сложением, а иногда вычитанием, так что 12 воспринималось как 10+2, а 9 как 10-1. Иногда за основу принимали 20 – число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов, исследованных Илсом, 146 были десятичными, 106 – пятиричными и пятирично-десятичными, остальные – двадцатиричными и пятирично-двадцатиричными. В наиболее характерной форме система с основанием 20 существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе. Числовые записи велись с помощью пучков, зарубок на пальцах, узлов на веревках, камешков или ракушек, сложенных по 5 в кучки, – приемами, весьма схожими с теми, к каким в давние времена прибегал хозяин постоялого двора, пользовавшийся бирками. Для перехода от таких приемов к специальным символам для 5, 10, 20 и т.д. надо было лишь сделать один шаг, а именно такие символы мы обнаруживаем в пользовании в начале писанной истории, на так называемой заре цивилизации. Древнейший пример пользования бирками приходится на эпоху палеолита. Это – обнаруженная в 1937 году в Вестонице (Моравия) лучевая кость молодого волка длиной около 17 см. с 55 глубокими зарубками. Первые 25 зарубок размещены группами по 5, за ними идет зарубка двойной длины, заканчивающая этот ряд, а затем с новой зарубки двойной длины начинается новый ряд зарубок (Исис, 1938). Итак, очевидно, что неправильно старое утверждение, которое мы находим у Якоба Гримма и которое часто повторяли, будто счет возник как счет на пальцах. Пальцевый счет, т.е. счет пятками и десятками, возник только на известной ступени общественного развития. Но раз до этого дошли, появилась возможность выражать числа в системе счисления, что позволяло образовывать большие числа. Так возникла примитивная разновидность арифметики. 14 выражали как 10+4, иногда как 15-1. Умножение зародилось тогда, когда 20 выразили не как 10+10, а как 10 2 . Подобные действия с числами выполнялись в течении тысячелетий, представляя собой нечто среднее между сложением и умножением, в частности в Египте и в доарийской культуре Мохенджо- Даро на Инде. Деление началось с того, что 10 начали выражать как «половину тела», хотя сознательное применение дробей оставалось крайне редким явлением. Например, у североамериканских племен известны только немногие случаи применения дробей, и почти всегда это только дробь 2 1 , хотя 3 1 и 4 1 иногда встречаются. Любопытно, что увлекались очень большими числами, к чему, может быть, побуждало общечеловеческое желание преувеличивать численность стада или убитых врагов; пережитки такого уклона заметны в библии и в других религиозных книгах. 3. Возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Единицы измерения были грубы и часто исходили из размеров человеческого тела. Об этом нам напоминают такие единицы как палец, фут (ступня), локоть. Когда начали строить дома такие, как у земледельцев Индии или обитателей свайных построек Центральной Европы, стали вырабатываться правила построения по прямым линиям под прямым углом. Английское слово straight (прямой) родственно глаголу stretch (натягивать), что указывает на использование веревки. Английское слово line (линия) родственно слову linen (полотно), что указывает на связь между таким ремеслом и зарождением геометрии. Таков был один из путей, по которому шло развитие математических знаний. Человек неолита обладал также острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, ковров и тканей, позже – обработка металлов, вырабатывали представление о плоских и пространственных соотношениях. Должны были сыграть свою роль и танцевальные фигуры. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство, симметрию и подобие фигур. В этих фигурах могут проявляться и числовые соотношения, как в некоторых доисторических орнаментах, изображающих треугольные числа; в других орнаментах мы обнаруживаем «священные» числа. Такого рода орнаменты оставались в ходу и в исторические времена. прекрасные образцы имеются на диниловых вазах минойского и раннегреческого периода, позже – в византийской и арабской мозаике, в персидских и арабских коврах. Первоначально ранние орнаменты имели религиозное или магическое значение, но постепенно преобладающим стало их эстетическое назначение. В религии каменного века улавливаются первые попытки вступить в борьбу с силами природы. Религиозные обряды были насквозь пронизаны магией, магический орнамент входил в состав существовавших тогда числовых и геометрических представлений, проявляясь также в скульптуре, музыке, рисунке. Существовали магические числа такие, как 3,4,7 и магические фигуры, как, например, пятиконечная звезда и свастика; некоторые авторы даже считают, что эта сторона математики была решающим фактором ее развития, но, хотя общественные корни математики в новейшие времена, возможно, стали менее заметны, они вполне очевидны в раннем периоде истории человечества. Современная «нумерология» – пережиток магических обрядов, восходящих к неолитической, а может быть, даже к палеолитической эпохе. 4. Даже у самых отсталых племен мы находим какой-то отсчет времени и, следовательно, какие-то сведения о движении Солнца, Луны и звезд. Сведения этого рода впервые приобрели более общий характер, когда стали развиваться земледелие и торговля. Пользование луны календарем относится к более давней эпохе в истории человечества, так как изменение в ходе произрастания растений связывали с фазами Луны. Примитивные народы обратили внимание и на солнцестояние, и на восход Плеяд в сумерках. Самые древние цивилизованные народы относили астрономические сведения к наиболее отдаленному, доисторическому периоду своего существования. Другие первобытные народы пользовались при плавании по морям созвездиями как ориентирами. Эта астрономия дала некоторые сведения о свойствах сферы, окружностей и углах. 5. Изложенные краткие сведения из эпохи зарождения математики показывают, что наука в своем развитии не проходит обязательно все те этапы, из которых теперь складывается ее преподавание. Лишь недавно ученые обратили должное внимание на некоторые из древнейших известных человечеству геометрических фигур, таких, как узлы или орнаменты. С другой стороны, некоторые более элементарные ветви нашей математики, как построение графиков и элементарная статистика, сравнительно недавнего происхождения. А. Шпайзер заметил, что: «За позднее происхождение элементарной математики говорит хотя бы то, что она явно склонна быть скучной, – свойство, видимо ей присущее, – тогда как творческий математик всегда предпочитает заниматься задачами интересными и красивыми. Глава 2 ПЕРВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НАУКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ Древнеэллинская культура, быть может, не в одной отрасли знания не оставила нам такого богатого и прочного наследия, как в области математических наук. Главные научные факты, приемы исследования и изложения, терминология и самое название науки — все это результаты тысячелетней умственной деятельности высокоодаренного племени эллинов на небольшой территории Греции и ее колоний. И предание доисторической древности, и свидетельство греческих историков и сопротивление новейших исследователей согласны в том, что первые математические сведения были заимствованы греками по геометрии — от египтян, по арифметике — от финикян и от древнейших культурных племен Месопотамии из Вавилона. Определенно указывается и на время, к которому относится первые шаги греческой науки, - время египетского царя Псамметиха (7 век до н. э.), открывшего свободный доступ иноземцам в свою страну, и на место — малоазиатские ионийские колонии, по самому географическому положению составлявшие аванпост Греции в ее отношениях с востоком. Трудно решить вопрос о количестве первоначального запаса сведений, внесенного извне в культуру эллинов. Легче составить понятия об их качестве, о коренных изменениях в характерных чертах этого знания с пересадкой его на эллинскую почву. Например. На стенах храма Эдфу (верхний Египет) сохранилось перечисление земельных участков, принадлежащих храмовым жрецам во времена последних Птолимеев, в первом веке до н. э., записи размеров этих участков указывают на такой же неправильный способ определения площади четырехугольника, какой употреблялся в Египте еще за две тысячи лет до н. э. Т. е. древний ошибочный прием сохранился в Египте до первого века до н. э. Хотя в это время греческая геометрия трудами александрийских ученых была уже доведена до высокого совершенства. Знания древнего востока составляли монополию жрецов, поддерживали престиж касты жрецов, играли роль в отправлении религиозного культа. Эти знания приобрели неподвижность, а приемы счисления и землемерия — еще не составляли науки, а выйдя из храмов востока под просторное небо Эллады, на первых же шагах начало организоваться в науку. Фалес Милетский Родоначальник греческой математики Фалес из Милета (640-548 до н. э.) современник Солона, был торговыми делами приведен в Египет и ознакомился с египетской геометрией. Содержание теорем, «открытие» которых приписывается древними Фалесу как самостоятельная работа, дает понятие о ее характере. Равенство углов при основание равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, было известно и до Фалеса, так что приписываемое ему открытие нельзя понимать иначе, как открытие доказательств этих элементарных истин. Каковы были эти доказательство, мы не знаем, но потребность в них указывает на научный характер первых познаний греков, на первые зачатки научной организации. Наибольшее впечатление на умы современников Фалес произвел удачным предсказанием солнечного затмение 585 года. Фалес был основателем ионийской школы философов. Фалес считал воду основной стихией. Из воды состоит весь видимый мир. Пифагор Самосский Почти все философы Греции включали математику прямо или косвенно в круг своих научных интересов. В философской школе, основанной Пифагором из Самоса (564-473) математика занимала господствующее положение. Ему приписывают отдаленные путешествия в Индию, Египет, Вавилон с целью ознакомится первоисточниками мудрости востока. Воззрение востока на область чисел. Например. Четные числа были символами злого а нечетные — доброго начала. Придавалось мистическое значение некоторых чисел, например 3 и 7, магические квадраты и тому подобные арифметические амулеты. Согласно преданию Пифагор путем наблюдения открыл, что три струны дают гармонический аккорд, если числа, представляющие их длины, стоят в определенном отношении чисел 6, 4, 3. обобщая вывод единичного наблюдения Пифагор учил, что в таком же «гармоническом отношении», как длины струн, дающих совершенный аккорд стоят радиусы небесных сфер, несущих на себе луну, солнце и неподвижные звезды. Учения пифагорейцев о числе как основе мира и нашего миропознания. Нечетное число называлось гномоном, сумма гномонов всегда составляет квадратное число т.е. Всегда разлагается на два равных множителя. Путем наглядного построения они нашли сумму арифметической прогрессии нечетных чисел. Число, разлагающееся на два неравных множителя называлось плоскостным прямоугольным, разлагающееся на три — телесным, а если множители равны — кубом. Этими и подобными исследованиями свойств чисел, - свойств, независящих от принятой системы счисления, пифагорейцы положили начало теории чисел. Связи с этим Пифагор говорил, что он поставил арифметику выше потребностей торгаша. Уже во времена Пифагора и ближайших по времени учеников сумма геометрических сведений была довольно значительна: теоремы о равенстве треугольников, учения о параллельных, сумма углов треугольника, подобие, построение равновеликих фигур, элементы стереометрии. Особое мистическое значение придавалось пяти правильным многогранникам, вписанным в шар, который считался наиболее совершенной формой. Еще среди народов востока было известно, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 прямоугольный. Этот факт давал землемерам простейший способ построения прямого угла с помощью трех веревок указанной длины. Это факт стал известен Пифагору и частный случай теоремы сумма квадратов построенных на катетах прямоугольного треугольника равна квадрату, построенному на гипотенузе. Но как Пифагор перешел к общему предложению неизвестно (обычное доказательство приведено у Евклида). Аристотель (384-322 г. до н.э.) Хотя величайший мыслитель древности Аристотель не писал специально по математике, в его философских и естественнонаучных сочинениях встречается немало высказываний, представляющих большой интерес для истории математики, характеризующих состояние этой науки в период, непосредственно предшествовавший «Началам» Евклида. У Аристотеля уже изложены основные принципы построения дедуктивной системы, разъяснена сущность аксиом, постулатов, определений, гипотез и доказательств. Аристотель дает определение непрерывности (непрерывное есть само по себе нечто смежное, я говорю о непрерывном, когда граница, по которой соприкасаются оба следующих друг за другом предмета, становятся для обоих одной и той же), понятие единого (сущность единого — в том, что оно известным образом представляет собой начало числа, но при этом единое — не одно и тоже для всех родов: в одном случае это — наименьший интервал, в другом — гласный и согласный звук; особая единица для тяжести и другая для движения), понятие математической бесконечности (бесконечное это то, что может быть пройдено, оно не остается, а становится) для математики он допускал и актуальную бесконечность. Для обозначения величин Аристотель применял буквы алфавита. Евклид (около 300 г. до н. э.) Евклид внес большой вклад на выработку научного метода, определенных форм искания строгого доказательства и последовательного изложения математических истин. Соединение математических истин в одно логически неразрывное целое, сведение в систему основных элементов науки дающую прочный фундамент для ее дальнейших построений. Его бессмертные «Элементы» - начала — основы — вначале переписывались, потом перепечатывались бесчисленное количество раз в переводах на языки всего мира, и потому знакомы хоть понаслышке каждому образованному человеку; они составляют вечный памятник эллинской арифметике и элементарной геометрии конца 4 века. «Начала» Евклида « » состоят из 13 книг, в содержание которых включается прежде всего изучение геометрических фигур на плоскости и, поскольку для этого требуются числа, то и учение о целых (положительных) числах и дробях. Но, так как отношение фигур не всегда выражается рациональными числами, то изучаются так же несоизмеримые геометрические величины. Исследование распространяется с плоскости на пространство. Главная особенность «Начал» в том, что они построены по единой логической схеме, что все содержащие в них теории строго логически обоснованы по принципу построения научных дисциплин, который намечался еще у Аристотеля. «Начала» справедливо считаются образцом дедуктивной системы, строго выдерживающей изложение, исходящее из общих положений и идущее от них к частным. Однако это не означает, что индукция в началах отсутствует. «Начала» Евклида начинаются с определений, постулатов и общих понятий. Характер определений у Евклида различен. В большинстве они описательны, например «Точка есть то, что не имеет частей». Пример генетического определения: (указывающее на способ происхождения вещи): «Сфера будет, если при неподвижности диаметра полукруга, вращающийся полукруг снова вернется в тоже самое, из которого он начал двигаться, то охваченная фигура и есть сфера». Пример аксиоматического определения (которые могут быть сформулированы в виде аксиом: «Равные круги суть те, у которых диаметры равны или прямые из центра равны». Определения предпосланы почти каждой отдельной книге. Постулаты (числом 5) и общие аксиомы (9) помещены впереди всего труда в первой книге. Постулат- это требования, построить некоторые простейшие фигуры. Аксиомы — это общепризнанные положения, не нуждающиеся в доказательстве и лежащие в основе доказательства. Постулаты «Начал» - это постулаты идеального циркуля и линейки. Эти ограничения усложнили производства построений и в «Начало» поэтому не вошла теория конических сечений, хотя она была хорошо развита. (Однако Евклид вовсе не пренебрегал изучением конических сечений, и написал о них отдельное сочинение.) В «Начала» также не вошла и логистика (учение о практических вычислениях) т.к. она считалась скорее ремеслом, чем наукой. Другие сочинения Евклида. Из чисто математических сохранились лишь два: «Данные» и «О делении фигур». С именем Евклида также связывается одна задача, содержащаяся в арифметических эпиграммах греческой антологии начала 4 века новой эры, сводящаяся к решению линейного уравнения с одним неизвестным. Она гласит: «Мул и Осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал Осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший Мул обратился к советчику с речью: Что ж, старина, ты заныл, и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы в двойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись, сколько нес каждый из них, о. геометр, поведай нам это». Ответ: груз мула равен 7, груз осла равен 5. Сохранились некоторые сочинения Евклида из области прикладной математики: «Астрономические феномены», «Сферика», «Оптика». Первые успехи количественного изучения явлений и время упадка античной науки (5 век до н.э. - 6 век н.э.). Раньше вся жизнь эллинского народа сосредотачивалась вокруг средиземного моря. Мягкий умеренный климат не требовал от них особых усилий физического труда или технической изобретательности. В 4 веке до н.э. Отдаленные экспедиции Александра Македонского ставят эллинов лицом к лицу с грандиозными чудесами тропической природы. За 10 лет (334-323) они становятся обладателями половины древнего мира — от болотистых берегов Аральского моря до безбрежных песков Сахары, от холмов Аркадии до снежных гигантов Гималаев. Среди разнообразных условий чужой природы, к которым приходится приспособляться, основываются греческие поселения, пробуждается интерес к опытному изучению природы. Великий завоеватель, ученик Аристотеля, во время трудных походов не забывает, как говорит предание, о собирании научных коллекций и отсылает их, как ценный дар ликею старого учителя. Александрия — этот новый пункт международных отношений сделался научным не только центром эллинского мира, но и школой реального знания. В обширных залах александрийского музея хранились свитки знаменитой библиотеки, обширные естественно научные коллекции и приборы для экспериментальных работ, обсерватория Серапиума была снабжена всеми известными тогда астрономическими инструментами; зоологический и ботанический сады давали материал для наблюдения живой природы. Уже в армии Александра были инженеры, трактаты которых по практической механике цитировались позднейшими писателями. В начале 3 века Феофраст не только описывает в своей ботанике более 400 растений, но и пытается изучать законы растительной жизни. Эратосфен (250 г до н.э.) дает снабженное географическими картами, описание земли и производит первое измерение ее окружности. Из далеких Сиракуз Архимед присылает на суд своих учителей исследование в области теоретической механики, равновесие твердых и жидких тел, и большую популярность приобретает он своими практическими изобретениями: подъемными и метательными машинами, винтом для подъема воды, зажигательными зеркалами. Герон (2 век до н.э.) в Александрии прославился изобретением множества разнообразных приборов, основанных на изучении свойствах жидкости, газов, водяного пара оптических и акустических явлений. Ничто, по видимому, не мешало развитию опытного знания. Александрийским ученым покровительствовали греческие властители Египта. Они не жалели денег на содержание музея, библиотек, обсерватории. На содержание целого штата ученых отпускались огромные суммы. По приглашения Птолемея 1, Евклид переселяется в Александрию и делается основателем математического факультета музея, который стал питомником новых научных деятелей. В демократических Афинах наука была общим достояниям: она соединила бесчисленными нитями со свободно развивающейся народной жизнью. Блестящее развитее всех духовных сил греческого народа в 5-4 веках переносит невзгоды персидского вторжения и научное движение иссякнет в конце четвертого века одновременно с окончательным падением афинской свободы, последовавшего за смертью Александра. Придворные философы и профессора скоро начинают вырождаться в ученый ремесленный цех, с обычной игрой самолюбий и интриг научного самовольства. В 47 году до н.э. При осаде Александрии Цезарем половина книжных сокровищ погибает в пламени, борьба Октавия с Антонием заканчивается обращением Египта в римскую провинцию, какою на сто лет раньше уже сделалась Греция. Античная наука пришла в полный упадок. |