И. А. Долгарев история математики учебное пособие
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
ВОПЛОЩЕННЫЙ АНАЛИЗ ЭЙЛЕР (1770 – 1783) Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит или как орел парит над землей. – Доминик Араго Афоризм Араго не преувеличивает несравненных математических способностей Леонарда Эйлера, самого продуктивного математика в истории, человека, которого современники назвали «воплощенным анализом». Эйлер писал свои великие работы также легко, как опытный литератор пишет письма друзьям. Даже полная слепота в течении последних 17 лет жизни не сдержала его беспрецедентной активности. Более того, у Эйлера с потерей зрения обострилось восприятие внутреннего мира математики, обострилось воображение. Леонард Эйлер большую часть своей жизни провел в России и вполне заслуженно может считаться русским математиком. Объём научного наследия Эйлера не был точно известен вплоть до 1936 года, но делались оценки, что понадобится от60 до 80 больших томов, чтобы издать полное собрание его сочинений. В 1909 годы Швейцарская ассоциация естественных наук предприняла публикацию рассеянных трудов Эйлера, опираясь на финансовую помощь со стороны математических обществ и частных лиц всего мира, справедливо полагая, что Эйлер принадлежит не одной Швейцарии, а всей мировой цивилизации. Предполагаемая сумма расходов неожиданно намного возросла, когда в Петербурге была обнаружена до того неизвестная масса рукописей Эйлера. Математическая деятельность Эйлера началась в год смерти Ньютона. Более благоприятного периода для гения, подобного Эйлеру, нет возможности указать. Аналитическая геометрия, опубликованная в 1637 году была в ходу уже 90 лет, анализ – около 50, а закон всемирного тяготения Ньютона, являющийся ключом к изучению вселенной, был известен ученым 40 лет. В каждой из этих областей было решено множество отдельных задач, то здесь, то там делались заметные попытки к унификации, но систематическое наступление на всю тогдашнюю чистую и прикладную математику не предполагалось. В частности, мощные аналитические методы Декарта, Ньютона и Лейбница еще не были разработаны до пределов их возможностей, особенно в механике и геометрии. Находившиеся на более низком уровне развития алгебра и тригонометрия также ожидали систематизации и распространения; последняя была почти готова для полного завершения. В области диофантова анализа и изучения свойств целых чисел, чем занимался Ферма, не было возможностей такого «временного совершенства», но даже и здесь Эйлер показал себя мастером. Действительно, одной из наиболее замечательных черт универсального гения Эйлера была его одинаковая устремленность в оба главных течения математики, математики непрерывного и дискретного. Как алгоритмист Эйлер не превзойден никем, и здесь, вероятно, к нему даже никто не приближается, кроме, может быть, Якоби. Алгоритмист – это математик, который изобретает алгоритмы для решения задач специальных видов. Укажем пример. Предположим, что всякое положительное число имеет действительный квадратный корень. Как этот корень может быть вычислен? Для этого имеется множество способов; алгоритмист изобретает практически осуществимые методы. Точно также в диофантовом анализе или в интегральном исчислении решение задачи может не получаться, пока не будет сделана какая-то остроумная, часто простая, замена одной или большего числа переменных функциями других переменных; алгоритмист – это математик, у которого такие остроумные расчеты (выкладки) появляются естественно. Здесь нет однообразного способа действий, – алгоритмисты, подобно поэтам, импровизаторами рождаются, а не делаются. Когда такая одаренность действительно высока, как у индийца Рамануджана, и появляется совершенно неожиданно, то даже искусные аналитики считают ее высшим даром: глубокое проникновение в явно не связанные между собой формулы обнаруживает скрытые следы, ведущие из области в другие, и аналитики получают новые задачи, рождаются новые пути. В XVIII столетии университеты не являлись основными научными центрами Европы. Ведущее положение занимали королевские академии. Развитию математики способствовали прусский король Фридрих Великий и русская царица Екатерина Вторая. Для Эйлера Берлин и Петербург были оплотами математической деятельности. Названные академии были исследовательскими учреждениями, которые содержали своих членов с целью выполнения ими научных исследований. Обеспечение было достаточно высоким. (Одно время у Эйлера была семья в 18 человек, его жалования хватало на их содержание должным образом.) Случилось так, что важнейшая проблема математических исследований во времена Эйлера тесно переплеталась с практической проблемой, по-видимому, первостепенного значения для этого века, с проблемой контроля над морями. Большое значение имела навигация, выигрывали те навигаторы, которые оказались способными извлечь практические приложения из чисто математических исследований XVIII века в области небесной механики. Одно из таких применений обосновано Эйлером. Основателем современной навигационной науки является Ньютон. Для решения практических навигационных задач нужно было решить особенно трудную задачу трех тел, задачу о взаимном расположении Солнца, Земли и Луны. Эйлером была создана теория Луны, дававшая хороший приближенный метод задачи трех тел; метод позволил рассчитать положение Луны на будущее и обеспечить практические навигационные требования. Вычислитель британского Адмиралтейства составил соответствующие таблицы, за что получил большую премию 5000 фунтов стерлингов, а Эйлер, открывший метод, получил 300 фунтов. Леонард Эйлер родился в Базеле 15 апреля 1707 года, его родители Пауль Эйлер и Маргарита Брюкер. В следующем году семья переехала в соседнюю деревеньку Рюген, где отец стал священником. Пауль Эйлер сам был хорошим математиком, учился у Якова Бернулли. Отец хотел, чтобы сын унаследовал его приход, но допустил ошибку, став учить сына математике. Юный Эйлер поступил в Базельский университет изучать богословие и древние языки. Его успехи в математике привлекли внимание Иоганна Бернулли, который стал давать юноше частные уроки математики по одному уроку в неделю. Эйлер тратил почти всю неделю на подготовку к следующему уроку, чтобы задавать своему учителю как можно меньше вопросов. Скоро его прилежание и способности были замечены Даниилом и Николаем Бернулли, которые стали его близкими друзьями. В 1724 году в возрасте 17 лет, Леонард защитил магистерскую степень. Отец стал настаивать, чтобы он оставил математику и все свое время посвятил богословию. Но после того, как Бернулли сказали ему, что удел его сына стать великим математиком, Пауль Эйлер отступил. Первую самостоятельную работу Эйлер написал в 19 лет. Сильной стороной работы является использование математических средств исследования, слабой – отдаленность от каких-либо связей с практикой. А работа была представлена в Париж на конкурс о расположении мачт корабля. В то время Эйлер еще не видел ни одного корабля. Работа получила похвальный отзыв. Эйлера не раз критиковали за то, что его математические рассуждения расходятся с его пониманием реальности. Физический мир побуждал Эйлера заниматься математикой, но едва ли был для него достаточно интересным сам по себе, и если вселенная не соответствовала его анализу, то именно в ней было что-то неладно. Эйлер претендовал на профессорскую кафедру в Базеле, но потерпел неудачу. Отправившиеся в Петербург Даниил и Николай Бернулли обещали Эйлеру подыскать место в Петербургской академии. Когда Бернулли написали Эйлеру об ожидаемом открытии отделения медицины в Петербургской академии наук, он занялся физиологией и стал посещать лекции по медицине в Базеле. Физиология уха связана с математическим исследованием звука, которое, в свою очередь, влекло за собой исследование распространения волн и т.д. Бернулли были надежными людьми. В 1728 году Эйлер получил официальный вызов в Петербург для поступления на отделение медицины Академии наук. Но радость Эйлера была вскоре омрачена. В день его приезда в Россию умерла Екатерина I. Новые правители России смотрели на Академию как на ненужную роскошь и в течении нескольких месяцев обдумывали, как разделаться с ней и выслать иностранных членов академии домой. В это время Эйлер проскользнул на отделение математики, предварительно чуть не став с горя лейтенантом флота. Но все устроилось и Эйлер приступил к работе. В течение 6 лет он не отрывался от стола: был полностью поглощен математикой и не решался вести нормальную жизнь в обществе из-за окружавших его вероломных соглядаев. В 1733 году Даниил Бернулли возвратился в Швейцарию и в 26 лет Эйлер занял положение ведущего математика в академии. Чувствуя, что ему придется провести в Петербурге остаток жизни, Эйлер решил жениться и устроить свой быт. Его выбор пал на Катарину, дочь живописца Гзелля, которого Петр Великий привез с собой в Россию. С наступлением ухудшения политической обстановки, Эйлер все более решительно стремился уехать, но ввиду скорого появления ребенка и дальнейшего увеличения семейства, чувствовал себя на новом месте связанным еще больше, чем раньше и нашел прибежище в непрестанных трудах. Некоторые биографы Эйлера объясняют его, не имеющую себе равной, продуктивность первого пребывания в России так: благоразумие заставило его выработать неукоснительный режим работы и трудолюбие. Эйлер был одним из нескольких великих математиков, которые умели работать всюду при любых условиях. Он очень любил детей. У него своих было 13, из которых 5 умерло в раннем детстве. Часто писал свои работы, держа на коленях ребенка, в то время как старшие дети играли вокруг него. Невероятна легкость, с которой он разрабатывал наиболее трудные вопросы математики. О потоке идей, исходивших от него, сохранилось много легенд. Говорят, что Эйлер мог набросать математическую статью за полчаса – между первым и вторым во время обеда. Как только статья была закончена, она занимала место наверху постоянно растущей кипы работ, ожидающих издания. Когда был нужен материал для трудов академии, издателю оставалось лишь взять какую-то подкорку из этой кипы. Поэтому часто получалось, что дата публикации работы отличалась от даты ее написания. Эта путаница осложнялась тем, что у Эйлера была привычка много раз возвращаться к тому или иному вопросу, чтобы внести улучшения в его освещение или дать более широкое изложение уже сделанного; так что последовательность печатных работ Эйлера по определенным вопросам, случается, представляется такой, будто смотришь в телескоп не с того конца. Когда в 1730 году малолетний царь умер, императрицей стала Анна Иоанновна, племянница Петра, и это событие благоприятно отразилось на судьбе академии. Но во время фактического правления фаворита Анны Бирона, Россия испытала террор и кровопролитие, каких мало было в ее истории. Эйлер на 10 лет безмолвно погрузился в работу. В этот период его постигло первое большое несчастье. Он сделал попытку получить парижскую премию, назначенную за решение астрономической задачи, на что ведущие математики считали необходимым потратить несколько месяцев. Эйлер решил задачу за 3 дня. Но умственное перенапряжение привело к болезни, в результате которой он ослеп на правый глаз. Во время пребывания в России математика не всецело поглощала энергию Эйлера. Его часто просили заняться и не исследовательскими математическими делами и другими проблемами; отдача с лихвой покрывала назначенное ему правительственное содержание. Эйлер писал учебники по элементарной математике для учебных заведений России, наблюдал за работой географического отделения, помогал организовать службу мер и весов, предлагая практические способы проверки весов. Это лишь некоторые стороны его деятельности. Независимо от объема посторонней работы, Эйлер всегда много занимался математическими исследованиями. Одной из наиболее важных работ этого периода является трактат по механике, относящийся к 1736 году. Почти через 100 лет после основного трактата Декарта по геометрии, Эйлер сделал в механике то, что Декарт сделал в геометрии: он ввел в механику аналитические методы. Считается, что «Начала» Ньютона могли бы быть написаны Архимедом, настолько идеи Архимеда близки к идеям Ньютона. Механику Эйлера не мог бы написать никто из древних греков. Впервые вся мощь анализа была обращена на механику и в этой фундаментальной науке началась современная эра. В этом направлении Эйлера обошел его близкий друг Лагранж, но первый шаг был сделан Эйлером. С 1740 года, после смерти императрицы Анны, русское правительство стало более либеральным, но Эйлеру за 13 лет уже достаточно надоели российские порядки и он был рад принять приглашение Фридриха Великого стать членом Берлинской академии наук. Следующие 24 года Эйлер прожил в Берлине, правда, не всегда счастливо. Фридрих предпочитал лощеных придворных скромному простому Эйлеру. Хотя Фридрих считал своим долгом поощрять занятия математикой, он презирал эту науку, будучи сам в ней не силен. Однако он достаточно ценил талант Эйлера, чтобы привлекать его к решению практических проблем – чеканки монет, прокладки водопровода, строительства каналов, пенсионного обеспечения других дел. Россия никогда не забывала об Эйлере, и даже, когда он жил в Берлине, платила ему часть жалования. Несмотря на обилие иждивенцев, Эйлер жил в достатке и помимо своего берлинского дома владел мызой в Шарлоттенбурге. Одной из причин непопулярности Эйлера при дворе Фридриха была его неспособность избегать философских споров, в которых он был не силен. Вольтер легко опутывал Эйлера узами метафизической паутины. Эйлер принимал все это добродушно и смеялся вместе с остальными над собственными нелепыми промахами. Фридриха это злило, он стал подумывать о более изощренном философе, который бы возглавил академию и развлекал двор. В Берлин был приглашен Даламбер для того, чтобы ознакомиться с положением. Между ним и Эйлером возникли небольшие разногласия в личных взглядах и во взглядах на математику, однако Даламбер прямо заявил Фридриху, что было бы кощунством поставить любого другого математика над Эйлером. Это только сделало Фридриха упрямее и злее, чем раньше и обстановка стала для Эйлера нетерпимой. В 1766 году, в возрасте 59 лет он возвратился в Петербург, куда его сердечно пригласила Екатерина II. Екатерина встретила математика как члена королевской фамилии, предоставив ему полностью меблированный для него и его 18 иждивенцев дом и также выделив одного из своих поваров. В это время стало слабеть зрение Эйлера на второй глаз и вскоре он ослеп совершенно. Развитие у него слепоты вызвало тревогу и сочувствие у Лагранжа, Даламбера и других ведущих математиков того времени. Сам Эйлер ожидал наступление слепоты хладнокровно. Он не «ушел в отставку» в безмолвие, в темноту и немедленно нашел способ поправить непоправимое. Перед тем, как свет угас для него, он наловчился писать свои формулы мелом на большой грифельной доске. После этого он диктовал объяснения формул своим сыновьям, главным образом Альберту, выступавшим в качестве секретарей. Его математическая производительность не уменьшилась, а, наоборот, возросла. Эйлер в течении всей жизни обладал феноменальной памятью. Наизусть знал «Энеиду» Вергилия, мог всегда процитировать первую и последнюю строки любой страницы своего экземпляра знаменитой поэмы. У него была развита и зрительная и слуховая память. Он также обладал необыкновенной способностью производить сложные вычисления в уме, не толь арифметического характера, но и более трудного типа, требующие обращения к высшей алгебре и анализу. Все основные формулы в полном объеме математики того времени точно укладывались в его памяти. Эти удивительные качества Эйлера теперь пригодились ему, и он не очень много потерял как математик, лишившись зрения. Теория Луны – исследование ее движения, что было единственной задачей, когда-либо вызывавшей головную боль Ньютона, – получила свою полную разработку у Эйлера. Весь сложный анализ был проведен им полностью в уме. Через 5 лет после возвращения Эйлера в Петербург с ним произошла другая беда. Во время большого пожара 1771 года его дом и вся обстановка были разрушены, и только благодаря героизму слуги-швейцарца Петра Грима сам Эйлер избежал гибели. Библиотека сгорела, но рукописи Эйлера были спасены при использовании энергии графа Орлова. Екатерина II быстро восполнила весь материальный ущерб, и вскоре Эйлер снова был погружен в свою работу. В 1776 году в 69-летнем возрасте Эйлер испытал тяжелую потерю: умерла его жена. В следующем году он женился снова на сводной сестре первой жены Саломее Гзелль. Большой его трагедией была неудачная операция с целью восстановить зрение левого глаза – правый был безнадежен. Эйлер стал видеть, радости его не было границ, однако вскоре в глаз попала инфекция, и после длительных страданий, которые он сам находил ужасными, он снова погрузился во тьму. Обозревая огромное математическое наследие Эйлера, можно вначале склониться к мысли, что любой одаренный человек мог бы сделать большую часть тог же почти также легко, как и Эйлер. Но знакомство с современной математикой быстро опровергает это предположение. В теперешнем своем состоянии математика с ее джунглями теорий относительно ненамного сложнее, если учесть мощь располагаемых ею методов, чем та, что противостояла Эйлеру. Математика созрела для нового Эйлера. В свое время Эйлер систематизировал и унифицировал обширные области, напичканные частными результатами и изолированными теоремами, расчищая почву и увязывая значительные вещи с помощью легко реализуемой мощи своего аналитического аппарата. Даже сейчас многое из того, что изучается в курсах математики высших учебных заведений, практически является тем же, каким оно осталось у Эйлера. Например, рассмотрение конических сечений и поверхностей второго порядка в 3-мерном пространстве с точки зрения унифицированного подхода на основе общего уравнения второй степени принадлежит Эйлеру. Далее, расчеты ежегодных рент и все, что выросло из них – страхование, пенсии и т.д., Эйлером приведены к виду, известному теперь студентам под названием «математической теории инвестирования». Как указывает Араго, один из источников выдающегося и прямого успеха Эйлера как учителя состоит в полном отсутствии у него ложной гордости. Когда требовались сравнительно непритязательные работы для пояснения уже имевшихся более впечатляющих трудов, Эйлер не медлил написать их и при этом не опасался, что его репутация пострадает. В творческом отношении Эйлер сочетал учебные цели со своими открытиями. Его великие трактаты 1748, 1755 и 1768 – 1770 годов по анализу (введение в анализ бесконечно малых; дифференциальное исчисление; интегральное исчисление) немедленно стали классическими и в течении трех четвертей века продолжали вдохновлять молодых людей, которым предстояло стать великими математиками. В своем труде 1744 года по вариационному исчислению «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимуму и минимума», Эйлер впервые раскрыл себя как математик высшего класса. Как уже отмечалось, громадный шаг Эйлера вперед состоял в том, что он сделал механику аналитической; каждый студент, изучающий механику твердого тела, знает теперь эйлерово исследование вращательного движения, – это лишь один из достигнутых им здесь успехов. Аналитическая механика является ветвью чистой математики, так что у Эйлера не было при этом соблазна, как в некоторых других его взлетах в сторону практики, устремиться по первой увиденной им касательной, ведущей в бесконечную голубизну чистых вычислений. Наиболее суровой критике со стороны современников Эйлера его работы подвергались именно за то, что в них проявлялся неудержимый порыв вычислять только ради красоты анализа. Возможно, иногда недостаточно понимая физическую картину, он пытался сводить все к вычислениям, не видя, что стоит за ними. Тем не менее, основные уравнения движения жидкости, используемые и сегодня в гидродинамике, – это уравнения Эйлера. Он мог быть достаточно практичным, когда это было достойно его работ. Одна особенность эйлерова анализа должна быть упомянута, так как она в значительной мере повлияла на одно из главных направлений развития математики в XIX веке. Это признание того факта, что пока не установлено, что бесконечный ряд сходится, пользоваться им небезопасно. Исследование сходимости показывает, как избежать абсурдных результатов. Интересно, что хотя Эйлер сознавал необходимость осторожности, когда приходится иметь дело с бесконечными процессами, он не соблюдал ее в большинстве своих работ. Его вера в анализ была так велика, что он иногда искал превратное «объяснение», чтобы сделать явную нелепицу приемлемой. После всего сказанного нужно добавить, что мало кто может сравниться по количеству выполненных им безупречных новых трудов первостепенной важности. Те, кто любит арифметику, – возможно, не очень «важный» предмет, – отдадут пальму первенства Эйлеру в диофантовом анализе, где сделанное им имеет те же объем и свежесть, как у Ферма и у самого Диофанта. Эйлер был первым и, вероятно, величайшим из математиков- универсалов. Но он не был только математиком. В литературе и во всех естественных науках, включая биологию, он по крайней мере был хорошо начитан. Но даже когда Эйлер наслаждался «Энеидой», он не мог не искать новых задач, чтобы подвергнуть их атаке своего математического гения. Строка «Якорь брошен, стремительный киль останавливается» заставляла его в таких обстоятельствах заниматься движением судна. Его неуемная любознательность поглотила однажды даже астрологию, но он показал, что не привел ее в надлежащий вид, вежливо отказавшись составить гороскоп царевича Ивана в 1740 году, сославшись на то, что это относится к компетенции придворного астронома. Одно сочинение берлинского периода – его прославленные «Письма к одной немецкой принцессе», содержащие уроки механики, физической оптики, астрономии, акустики и т. д., – показывает нам Эйлера как изящного литератора. Письма немедленно стали популярными и распространялись в виде книг на 7 языках. Общественный интерес к науке вовсе не является привилегией нашего времени, как мы иногда склонны думать. Эйлер оставался полноценным математиком, здоровым душой и телом до самой последней секунды своей жизни. Смерть наступила на 77-ом году его жизни, 18 сентября 1783 году. Насладившись после полудня вычислением законов поднятия воздушного шара на грифельной доске, как обычно, он пообедал с Лекселем и своей семьей. «Планета Гершеля» Уран была тогда только что открыта; Эйлер набросал вычисления его орбиты. Немного позже он попросил принести ему внука. Удар случился, когда он играл с ребенком и пил чай. Трубка выпала из рук, и со словами «я умираю» «Эйлер перестал жить и вычислять», как написал Кондорсе в некрологе. Из 77 лет жизни Эйлер, родившийся в Швейцарии, работал 56 лет. Он прожил и проработал в России 32 года и 24 года в Германии. Похоронен он в Петербурге, на Смоленском кладбище. ЛИТЕРАТУРА ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ 1. Кольман Э. История математики в древности. – М.: Гостехиздат, 1961. – 236с. 2. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. – М.- Л., Гомтехиздат, 1946. – 248с. 3. Лишевский В.П. Охотники за истиной: Рассказы о творцах науки. – М.: Наука. 1990. – 288с. 4. Ливанова А.М. Три судьбы. – М.: Знание, 1975. – 224с. 5. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Наука, 1984. – 286с. 6. Белл Э.Т. Творцы математики. – М.: Просвещение, 1979. – 256с. 7. Шереметевский В.П. Очерки по истории математики.- М.: Учпедгиз, 1940. – 180с. 8. Рыбников К.А. История математики, I. – М.: МГУ. – 190с. 9. Колесников М.С. Лобачевский. – М.: Молодая гвардия, 1965. – 320с. 10. Математика XIX века. Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. – М.: Наука, 1978. – 256с.; 1981. – 370с. 11. Математика, ее содержание, методы и значение. I. Под ред. А.Д. Александрова. – М.: АН СССР, 1956. – 296с. 12. История отечественной математики. Т. 1 – 4. Киев, Наукова думка, 1966 – 1970. |