И. А. Долгарев история математики учебное пособие
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
Глава 3 ЛОБАЧЕВСКИЙ НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ (1792-1856). Н.И. Лобачевский, второй сын мелкого чиновника, родился в нижнем Новгороде. Когда Николаю было 7 лет, его мать, Прасковья Ивановна, осталась одна с 3-мя малыми сыновьями. И до этого жалованье отца с трудом хватало на содержание семьи. Теперь она встретилась с крайней нищетой. Она переехала в Казань, где как могла, подготавливала детей к школе, и они были приняты в гимназию на казенное содержание. Николай приступил к занятиям в 10 летнем возрасте. Его успехи в математике и в древних языках были феноменальными. 14 лет он был подготовлен для университета. В 1807 году он студент Казанского университета, который был основан в 1905 году, в котором ему предстояло провести последующие 40 лет жизни — как студенту, профессору и ректору. Надеясь в конечном счете поставить Казанский университет на один уровень с лучшими университетами Европы, власти пригласили нескольких видных профессоров из германии. Среди них был астроном Литров, который стал потом директором Венской обсерватории. Профессор математики Бартельс распознал гений Лобачевского и оказывал ему полную поддержку. (Бартельс сыграл ранее видную роль в становлении Гаусса как математика) В 1811 году, в возрасте 18 лет, Лобачевский получил степень магистра с отличаем. В это время его старший брат Алексей вел курсы элементарной математики по подготовке младших правительственных чиновников, и, когда он получил отпуск по болезни, Николай заменил его. В апреле 1814 года он был утвержден адъюнктом чистой математики, а два года спустя ему было присвоено звание профессора. Назначение Лобачевского профессором состоялось в возрасте 23 лет. Его обязанности были многотрудными. Дополнительно к работе по математике ему поручались лекционные курсы по астрономии и физике. Он блестяще справился с заданием. Это послужило поводом для еще большей нагрузки. Вскоре Лобачевский взялся за переустройство университетской библиотеке и университетского музея, находившихся в хаотическом состоянии. Среди неисчислимых обязанностей в 1819 до 1825 года было наблюдение за всеми учащимися Казани — от начальных школ до курсов для окончивших университет. Наблюдать полагалось за политической благонадежностью. Трудности такого неблагодарного поручения можно легко представить. То, что Лобачевский не потерял уважения своих коллег и учащихся говорит о его способностях, может быть, больше, чем его ордена и медали, которыми он любил в торжественных случаях украшать себя. В 1827 году Лобачевского назначили ректором. Под его руководством весь штат был реорганизован, были привлечены лучшие люди, была построена библиотека, были организованны механические мастерские для изготовления научных инструментов, которые требовались для исследования и преподавания, была основана и оборудована обсерватория. Кажется невероятным, что Лобачевский, так сильно перегруженный преподавательскими и административными обязанностями, мог находить время для научной работы. Он создал один из величайших шедевров всей математики, и поставил веху в человеческом мышлении. Он трудился над этим не менее 20 лет. Его публичное сообщение по этой теме было сделано на физико-математическом факультете Казанского университета в 1826 году. Гаусс не знал о его трудах примерно до 1840 года, а в 1842 году по ходатайству Гаусса Лобачевского избрали иностранным членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества за создание неевклидовой геометрии. Чтобы понять, что сделал Лобачевский, нужно сначала коснутся выдающегося достижения Евклида. Имя Евклида до совсем недавнего времени практически было синонимом школьного курса геометрии. Дополнительно к систематическому изложению элементарной геометрии, его «Начала» содержат все, что было известно в то время по теории чисел. Геометрическое обучение шло согласно Евклиду 2200 лет. Право Евклида на бессмертие основывается на чем-то совершенно ином, а не на логическом совершенстве которое приписывается ему. Это понимание того, что пятый из его постулатов является лишь предположением. Пятый постулат может быть сформулирован в многих эквивалентных формах, каждая из которых выводится из любой другой с помощью других постулатов евклидовой геометрии. Возможно, простейшей из формулировок является следующая: Если дана прямая L и точка P не лежащая на этой прямой, то в плоскости, определяемой L и P, можно провести только одну прямую, проходящую через P, которая никогда не пересекается с L, как бы далеко эти две прямые ни были продолжены (в том или другом направлениях). Таким образом, пятый постулат Евклида утверждает, что через P проходит одна и только одна прямая параллельная L. Глубокое проникновение Евклида в суть геометрии убедило его в том, что этот постулат не выводим из других постулатов, хотя и было предпринято много попыток доказать его. Будучи сам не в состоянии вывести этот постулат из своих других допущений и желая использовать его в доказательствах многих своих теорем, Евклид честно поместил его в своих постулатах. В геометрии Евклида сумма углов любого прямолинейного треугольника равна 180 градусов. Это утверждение также эквивалентно 5 постулату. Своей первой опубликованной работе об открытой им геометрии, напечатанной в Казани в 1829 году под названием «О началах геометрии», Лобачевский начинает изложение основ новой геометрии (он ее называет воображаемой, а Евклидову — употребительной) следующим образом: «Мы видели, что сумма углов треугольника не может быть больше Пи. Остается предполагать эту сумму равной Пи или меньшей Пи. То и другое может быть принято без всякого противоречия в последствии, отчего и происходит две Геометрии: одна — употребительная до ныне по своей простоте — соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая — воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычислениях — допускает возможность зависимости линий от углов. Если в одном прямолинейном треугольнике принять сумму углов за Пи то она будет такой же во всех других треугольниках. Допуская же, что менее Пи, легко доказать, что сумма углов уменьшается с возрастанием боков треугольника. Всякий раз, следовательно, две линии встречаться на плоскости не могут, когда они с третьей составляют углы, сумма которых Пи. Они могут не пересекаться и в том случае, когда эта сумма меньше Пи, если к тому предположить сумму углов в треугольнике меньше Пи. Итак, все линии на плоскости в отношении к одной могут быть разделены на сходящиеся и несходящиеся. Последние будут называться параллельными, если они представляют границу, или иначе сказать переход от одних к другим между всеми выходящими из одной точки.» Еще один эквивалент постулата эквивалентности, так называемая «гипотеза прямого угла», наводит на мысль о еще двух возможностях, не одна из которых не эквивалентна предположению Евклида: одна из них приводит к геометрии Лобачевского, вторая к геометрии Римана. Рассмотрим фигуру AXYB, которая «выглядит как прямоугольник», состоящую из четырех отрезков прямых AX, XY, YB, BA, в которой BA является основанием, AX и YB — перпендикуляры к AB одинаковой длины, восстановленные по одну и туже сторону по AB. Существенно помнить об этой фигуре, что каждый из углов XAB и YBA является прямым и что стороны AX и BY равны. Без использовании постулата о параллельных можно доказать, что углы AXY и BYX равны между собой, невозможно доказать, что эти углы прямые, хотя они и выглядят такими. Если мы примем постулат о параллельных, мы сможем доказать, что углы AXY и BYX прямые; наоборот, если мы примем, что углы AXY и BYX прямые, мы можем доказать постулат о параллельных. Таким образом, допущение, что углы AXY и BYX прямые, эквивалентно постулату о параллельных. Это допущение теперь называется гипотезой прямого угла. Известно, что гипотеза прямого угла ведет к непротиворечивой, практически полезной геометрии, а именно к евклидовой геометрии, обновленной, что бы устоять перед современными требованиями логической строгости. Но нарисованная фигура наводит на мысль о двух других возможностях: каждый из равных углов AXY и BYX меньше прямого угла — гипотеза острого угла; каждый из равных углов AXY и BYX больше прямого угла — гипотеза тупого угла. Поскольку всякий угол может быть равным, меньшим или большим прямого угла, то три приведенные гипотезы исчерпывают все возможные случаи. Повседневный опыт предрасполагает нас к первой гипотезе. Что бы убедится, что каждая из двух других не так бессмысленно, как это может сперва показаться, рассмотрим нечто более близкое к действительному человеческому опыту, чем в высшей степени идеализированная плоскость, в которой Евклид представлял нарисованные свои фигуры. Но прежде заметем, что ни гипотеза острого угла, ни гипотеза тупого угла не дает нам возможности доказать евклидов постулат о параллельных, потому что, как было сказано выше, постулат Евклида эквивалентен гипотезе прямого угла. Следовательно, если мы преуспеем в построении геометрий на двух новых гипотез, мы не найдем в них параллельных в евклидовом смысле. Чтобы сделать эти гипотезы менее неблагоразумными, чем они могут казаться с первого взгляда, предположим что Земля является идеальной сферой (без неправильностей в виде гор и т.д.). плоскость, проведенная через центр это воображаемой Земли, пересечет ее поверхность по большому кругу. Предположим, что мы желаем перейти на поверхности Земли и из точки А в точку В, причем хотим двигаться по кратчайшему пути. Эта задача «плавания по большому кругу». Вообразим плоскость проходящую через центр Земли и данные точки А и В (имеется одна и только одна такая плоскость); эта плоскость пересечет поверхность Земли по большому кругу. Чтобы путешествие было кратчайшим, мы движемся из А в В по меньшей из двух дуг полученного большого круга, соединяющих эти точки. Если точки диаметрально противоположны, можно двигаться по любой из двух дуг. Предыдущий пример подводить к важному определению геодезической линии поверхности, которое теперь будет объяснено. Только что мы видели, что кратчайшей линией соединяющей данные две точки на поверхности сферы, является дуга большого круга, проходящего через них. Мы также видели, что самое длинное расстояние между двумя точками будет представлять собой другая дуга большого круга. Вспомним теперь что на плоскости отрезок прямой, соединяющей две точки, определяется обычно как кратчайшее расстояние между этими двумя точками. Перенося это на сферу, мы говорим, что прямой линии на плоскости соответствует большой круг на сфере. Переходя к произвольной поверхности, назовем геодезическими линиями этой поверхности все экстремальные (наибольшие, наименьшие) линии, соединяющие любые две точки поверхности. Таким образом, на плоскости геодезическими являются евклидовы прямые, на сфере — дуги большого круга. Геодезическую линию можно представить себе как положение нити, плотно прилегающей к поверхности и по возможности натянутой между двумя точками поверхности. Далее, по крайней мере в навигации, океан не мыслится как плоская поверхность (евклидова плоскость), если даже интересуются небольшими расстояниями; он принимается и то очень приближенно, за часть поверхности сферы, так что геометрия в «плавания по большому кругу» не является евклидовой. Таким образом, евклидова геометрия не является единственно полезной для человека геометрией. На плоскости две геодезические пересекаются только в одной точки, пока они не становятся параллельными, когда они вообще не пересекаются (евклидова геометрия), но на сфере любые две геодезические всегда пересекаются ровно в двух точках. Далее, на плоскости никакие две геодезические не могут охватывать части плоскости, в тоже время как на сфере любые две геодезические всегда охватывают часть сферы. Представим теперь экватор на сфере и две геодезические, проведенные перпендикулярно экватору через северный полюс. В северном полушарии образуется криволинейный треугольник, две боковые стороны которого равны между собой. Каждая сторона этого треугольника является дугой геодезической линии. Нарисуем любую другую геодезическую, пересекающую равные боковые стороны так, что отсеченные их дуги от экватора равны. Мы получим на сфере четырехстороннюю фигуру, соответствующую фигуре AXYB, которую мы имели выше на плоскости. Два угла при основании этой фигуры являются прямыми и соответствующие стороны равны, как и раньше, но каждый из равных углов при X и Y теперь больше прямого угла. Так в геометрии плавания по большому кругу, в высшей степени практичной и гораздо более близкой к реальному человеческому опыту, чем идеализированные чертежи элементарной геометрии, выполняется не евклидов постулат о параллельных, или его эквивалент — гипотеза прямого угла, а гипотеза тупого угла, которая порождает другую геометрию. Подобным же способом, изучаю другую, менее известную поверхность, мы можем сделать приемлемой гипотезу острого угла. Эта поверхность выглядит как две бесконечно длинных трубы духового оркестра, сложенных вместе широкими концами. Такая фигура называется псевдосферой. Если на этой поверхности нарисовать, как раньше, используя геодезические, четырехугольник с двумя равными сторонами и двумя прямыми углами, мы найдем, что выполняется гипотеза острого угла. Таким образом, гипотезы прямого угла, тупого угла, и острого угла верны соответственно на евклидовой плоскости, на сфере и на псевдосфере, и во всех случаях «прямыми» являются геодезические линии. Евклидова геометрия представляет собой предельный, или вырожденный случай геометрии сферы, когда ее радиус становится бесконечным. Вместо того чтобы строить геометрию Земли, какой ее теперь знают люди, Евклид, очевидно, исходил из предположения, что Земля плоская. Так было сделано если не им, то его предшественниками, и со временем теория пространства, или геометрия, доставившая голые предположения которые он воплотил в свои постулаты, уже воспринималась по виду как собрание неизменно необходимых истин, открытых человечеству более возвышенным умом как подлинная суть всех материальных вещей. Понадобилось больше 2000 лет, чтобы освободить геометрию от вечных истин, и это сделал Лобачевский. Если воспользоваться словами Эйнштейна, Лобачевский бросил вызов одной аксиоме, всякий, кто бросает вызов общепринятой истине, кажущейся необходимой или приемлемой подавляющему большинству здравомыслящих людей не менее 2000 лет, вручает этому большинству, если не свою жизнь, свою научную репутацию. Эйнштейн сам бросил вызов аксиоме, что два события в разных местах могут происходить в одно и тоже время, и анализируя это давнее предположение, пришел к специальной теории относительности. Лобачевский бросил вызов предположению, что евклидов постулат параллельных является необходимым для непротиворечивой геометрии, и подкрепил свой вызов созданием геометрии, основанной на гипотезе острого угла, в которой имеется не одна прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку, а две. Не одна из этих двух параллельных прямых Лобачевского не пересекается с прямой, которой они обе параллельны, так же как и любая прямая, лежащая внутри угла, образованного двумя указанными параллельными прямыми, и проходящая через фиксированную точку. Это кажущаяся ситуация «реализуется» геодезическими на псевдосфере. Для повседневных целей (измерение расстояний и т.д.) различие между геометриями Евклида и Лобачевского слишком мало, что бы его учитывать, но не это самое важное, а то что каждая из них совместна сама по себе и каждая адекватно человеческому опыту. Лобачевский отменил необходимую «истину» евклидовой геометрии. Его геометрия была первой из нескольких построенных его последователями. Некоторые из этих геометрий заменяют евклидову (например, Риманова геометрия общей теории относительности) и сегодня и сегодня по крайней мере так же важны для все еще живущих и растущих частей физической науки, как была и есть сама евклидова геометрия в сравнительно различных классических частях. Для одних целей последняя является наилучшей, для других она не подходит и требуется неевклидова геометрия. В течении 2200 лет в некотором смысле верилось, что Евклид своей системой геометрии открыл абсолютную истину или необходимый способ человеческого познания. Созданное Лобачевским было настоятельным доказательством ошибочности этого верования. Смелость этого вызова и порожденный им успех вдохновили математиков вообще бросить вызов другим принятым «истинам», например «принципу» причинности. Сильный стимул от метода Лобачевского бросать вызов аксиомам, вероятно, все еще должен ощущаться и не преувеличение называть Лобачевского Коперником геометрии. И так, день рождения неевклидовой геометрии настал 11 февраля (23 февраля) 1826 года. На заседании отделения физико-математических наук Казанского университета Лобачевский доложил о своем сочинении: «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Через три года, в 1829 году, он издал это сочинение в расширенном виде под названием «О началах геометрии». В последующем, в течении всей жизни, Лобачевский развивал свою новую геометрию, опубликовав ряд работ: «Воображаемая геометрия». (1835; немецк. 1837), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных». (1838, немецк. 1840), «Пангеометрия» (1855). Попытки доказать аксиому о параллельных приведением к противоречию имели место и до работ Лобачевского. Саккери (1733) даже получил ряд предложений, которые затем ошибочно признал противоречивыми, а следовательно аксиому о параллельных — досказанной. Ламберт (1786), следуя по тому же пути, не смог ни примерится с получающейся системой выводов, ни опровергнуть ее. Аналогичные исследования предпринимали Швейкарт (1818) и Тауринус (1825). однако только венгерский математик Янош Больяи (1802-1860) ясно выразил ту же мысль, что и Лобачевский, и к 1832 году, независимо от последнего развил систему неевклидовой геометрии, выпустив сочинение: «Аппендикс, т.е. Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную». После смерти Гаусса (1855) выяснилось, что он тоже открыл начальные факты геометрии Лобачевского, но молчал о них, из боязни уронить свою научную репутацию. Он даже не решился поддержать молодого Я Больяи, когда тот прислал свою работу. Подлинное мужество ученого, свойственное Лобачевскому, особенно ярко проявилось в обстановке непризнания и нападок, созданной вокруг его работ, и непреодоленной им до самой смерти. Он умер не понятым и не признанным. Геометрия Лобачевского в абсолютной своей части не отличается по существу от геометрии Евклида. В той же части, которая использует аксиому о параллельных, дело обстоит иначе. К этой части относятся теоремы о: а) расположении параллельных прямых; б) сумме углов в треугольниках и многоугольниках; в) площадях; г) вписанных в окружность и описанных многоугольниках; д) подобии и равенстве фигур; е) тригонометрии; ж) теореме Пифагора; з) измерении круга и его частей. В этих пунктах двумерная геометрия Лобачевского отличается от евклидовой планиметрии. В сочинениях Лобачевского была построена система, не содержащая логических погрешностей и столь же богатыми фактами, как и геометрия Евклида. Тем самым было показано, что мыслима не только одна система геометрии и, что другие системы можно получать путем видоизменений и обобщений основных положений геометрии Евклида. Но на сочинения Лобачевского академики (в том числе Остроградский) давали отрицательные отзывы, задача, которую не смог решить Лобачевский — эта задача обоснования новой геометрии. Можно сколько угодно далеко идти по пути накопления ее фактов, но не получить уверенности: а) в строгости ее логической основы; б) в ее значимости для практических приложений; в) относительно ее места в науке. Данные всякой теории должны проверятся опытом. Геометрия Евклида возникла как обобщение многовекового опыта людей и подтверждена практикой. Возможная конструкция, созданная Лобачевским, должна опереться на систему реально существующих объектов, что быть признанной не противоречивой. Как это часто бывает в истории математики, разгадка находилась рядом; математики уже имели все необходимое, что бы решить проблему интерпретации геометрии Лобачевского. Необходимо было лишь привлечь данные теории поверхностей. Дифференциальная геометрия в начале 19 века получила новую область распространения в теории поверхностей. В трудах Гаусса, особенно в его «Рассуждении о кривых поверхностях», была построена внутренняя геометрия поверхностей. Для этого Гаусс использовал криволинейные координаты u и v на поверхности. Линейный элемент (дифференциал дуги) ds 2 =Edu 2 +2Fdudv+Gdv 2 гауссова кривизна K=1/(R 1 R 2 ) дали возможность найти все элементы поверхности. Факты внутренней геометрии оказались инвариантными относительно изгибания поверхностей, т.е. таких деформаций последней, при которых линейный элемент остается инвариантным. Около 1840 года Ф. Миндинг, профессор университета в Дерпте, изучал поверхности постоянной гауссовой кривизны. Среди поверхностей постоянной отрицательной кривизны он особо выделил поверхность вращения трактрисы. Он вывел формулу из которой, можно вывести остальные формулы гиперболической геометрии. Тригонометрия геодезических треугольников на поверхности постоянной отрицательной кривизны оказалось гиперболической тригонометрией. За пять лет выхода этой работы Миндинга Лобачевский в «Воображаемой геометрии» показал, что требование аксиомы параллельности можно свести к вопросу о справедливости соотношений гиперболической тригонометрии. Результат Миндинга означал по существу, что внутренняя геометрия псевдосферы изоморфна планиметрии Лобачевского. Однако ни Миндинг, ни Лобачевский это не заметили. Обнаружил этот факт итальянский геометр Бельтрами. Он внимательно изучал сочинения Лобачевского по французским и итальянским переводам. При этом, он увидел, что результаты одного его дифференциально-геометрического исследования содержат искомую интерпретацию геометрии Лобачевского. Бельтрами исследовал задачу картографии: отобразить поверхность на плоскость таким образом, что бы все геодезические линии на поверхности изображались прямыми на плоскости. Он установил, что такое отображение можно установить для сфер и для поверхностей постоянной отрицательной кривизны, а так же обнаружил среди последних псевдосферу. Линейные элементы (основные метрические формы) плоскости Лобачевского и псевдосферической поверхности оказались выраженными одной и той же формулой. Это означало, внутренняя геометрия псевдосферы изоморфна внутренней геометрии гиперболической плоскости Лобачевского. Образом прямых Лобачевского явились геодезические на поверхности, а движения интерпретировались изгибаниями поверхности на себя. Бельтрами опубликовал свои результаты в 1868 году в статье: «Опыт истолкования неевклидовой геометрии». Эта была первая интерпретация геометрии Лобачевского. Она произвела большое впечатление. После нее положение этой части геометрии изменилось. Сомнения в ее непротиворечивости отпали, т.к. Плоскость Лобачевского интерпретировалась на поверхности евклидова пространства. Однако интерпретация была не полной, т.к. Поверхность псевдосферы изображает лишь часть плоскости Лобачевского, что легко заметить на рисунке. Очевидно так же, что не какие комбинации бельтрамиевых поверхностей не устраняют не полноту. Бельтрами смог таким образом доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского лишь для некоторой ограниченной части плоскости. Остался открытым вопрос об интерпретации всей плоскости Лобачевского. Только в 1901 году Д. Гильберт доказал что в 3- х мерном пространстве не существует аналитической поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей ни где особенностей и по всюду регулярной. По этому осуществить интерпретацию типа Бельтрами всей плоскости Лобачевского не возможно. Следующая по времени интерпретация, проведенная в 1871 г. Ф. Клейном в работе, «О так называемой неевклидовой геометрии», основывается на введенном Кэли проективном мероопределении на плоскости. Кэли ввел это понятие в 1859 г. в «Шестом мемуаре о формах» следующим образом: формы — это однородные многочлены. Для геометрического истолкования теории форм Кэли привлек аналитическую геометрию проективного пространства, построенную Плюккером. С бинарной формой он связал систему точек прямой, однородные координаты которых обращают эту форму в ноль. Аналогично тернарная форма представляется кривой проективной плоскости; если эта форма квадратична, соответствующая кривая есть коническое сечение. Затем Кэли фиксирует одну из бинарных квадратичных форм и пару точек соответствующей ей на прямой. Его определение абсолюта по существу вводит его как образ, относительно которого рассматриваются автоморфизмы. Для определения расстояния между двумя точками Кэли строит ангормоническое отношение этих двух точек и точек абсолюта. Логарифм ангормонического отношения и есть, по Кэли расстояние. На плоскости абсолютом является кривая второго порядка; ее пересечение с любой прямой плоскости определит на ней абсолют проективной метрики. Клейн в упомянутой выше работе доказал, что проективная метрика Кэли, определяемая действительной кривой второго порядка, совпадает с метрикой пространства постоянной отрицательной кривизны. Теперь Клейн отображает плоскость Лобачевского на внутренность абсолюта, например, внутрь круга. Точки плоскости отображаются на внутренние точки абсолюта, прямые переходят в хорды без конечных точек, параллельные прямые — в хорды общим концом. Движение — проективное преобразование, переводящее круг сам в себя и хорды — в хорды. Расстояния, как и у Кэли. В пространстве используется проективное отображение на внутренность сферы. Геометрия Лобачевского интерпретируется через посредство абсолюта Клейна. Например, из точки О можно провести две прямые ОМ и ОН, не пересекающиеся с данной прямой МН и тем самым параллельные ей в смысле Лобачевского. Геометрия Лобачевского оказывается с этих позиций геометрии подгруппы всех проективных преобразований, при которой абсолют отображается сам в себя. Модель Клейна явилось долгожданным полным доказательством непротиворечивости геометрии Лобачевского и наличие у нее реального смысла. После этой работы Клейна появились и продолжают появляться новые интерпретации, обнаруживая новые связи геометрии Лобачевского с другими областями математики. Например, модель Пуанкаре, предложенную им в 1882 году в связи с задачами геометрическими теориями функций комплексного переменного. Плоскость Лобачевского изображается тоже внутренностью круга, прямые - дугами окружности, перпендикулярными данной окружности, и диаметрами. Движения интерпретируются комбинациями инверсий (гиперболическая инверсия). Становление аксиоматического метода в геометрии. Идея Лобачевского о том, что логически мыслимо не одна геометрия Евклида, получила во второй половине 19 века подтверждение; возникли многочисленные геометрические системы. Воплотилась в жизнь в виде разнообразных интерпретаций, а затем и приложений, и другая его идея — что истинность геометрии проверяется лишь опытом и что расширяющийся опыт потребует введения не только евклидовой геометрии. Истинная природа пространства может оказаться и неевклидовой. Третья большая идея Лобачевского состояла в том, что новые геометрии могут быть построены путем видоизменения и обобщения системы аксиом и вообще исходных положений евклидовой геометрии. Эта идея повлекла целую серию исследований по основаниям геометрии. Еще в 1866 году Гельмгольц ввел движение в качестве основного понятия геометрии. Кантор (1871 г) и Дедекинд (1872 г) исследовали аксиому непрерывности. Паш (1882), добиваясь решения проблемы включения метрической геометрии в проективную, глубоко исследовал две группы аксиом: порядка и принадлежности. Вслед за Пашем эти группы аксиом исследовали Пеано(1889) и Пиери(1899). В 1899 г. появилось первое издание «Оснований геометрии» Гильберта, в котором впервые была изложена полная и достаточно строгая система аксиом геометрии. Таким образом, к концу 19 века в геометрии укоренился аксиоматический метод. С того же времени аксиоматический метод распространился на другие области, сделавшись одним из основных методов современной математики. Геометрические теории оказались едва не самой удобной частью математики для становления аксиоматического метода. Вместо громоздкой системы определений, аксиом и постулатов принятой в «Началах» Евклида теперь сделалось возможным ввести лишь совокупность аксиом, которая и служит описанием основных понятий и их свойств. В геометрии сложились первые требования логической строгости, которым должны удовлетворять аксиомы, требование независимости, непротиворечивости и полноты. Развитие геометрии в 20 веке из-за громадного фактического объема и сложностей связи не оказалось возможным включить в состав настоящих лекций. Первоначальные представления об этом предмете можно получить, например, из статьи А.Д. Александрова «Геометрия» (БСЭ, изд. 2, т. 10, стр. 533-550). |