I и ii порядка Введение. Исследование
 Скачать 4.42 Mb.
|
|
6. Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах. Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в виде M(x,y)dx+N(x,y)dx=0, Где M(x,y) и N(x,y) – функции двух переменных x и y. Тогда, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е. dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде dU(x,y)=0, а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0. Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение системы подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии, массы, стоимости и т.д.). Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах. Путьс dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для U(x,y) частными производными первого порядка, соответственно, по переменным x и y, т.е.  .Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные частные производные, соответственно, по y и x, т.е. выполнение соотношений  ,из тождества  получаем, что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие  .Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 Было уравнением в полных дифференциалах. Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в два этапа. На первом этапе функция U(x,y) рассматривается как функция только аргумента x, переменная y получает как бы фиксированное значение  . Тогда соотношению ставится в соответствие дифференциальное уравнение  .Пусть его общее решение представляется в виде  .Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c является функцией y, т.е. c=h(y). Следовательно, общее решение предыдущего дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления его значения, имеет вид U(x,y)=g(x,y)+h(y). На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к соотношению  ,в котором уже закрепляется как бы значение переменной x. Используя данное соотношение и вид функции U(x,y), получаем дифференциальное уравнение, связывающее переменные h и y:  или  .Интегрируя это уравнение, находим его общее решение  .Из  , получаем окончательный вид функции U(x,y), а именно или .В последнем двойном интеграле вместо  можно взять функцию  (т.к.  ). Тогда функция U(x,y) получает вид .Так как общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде U(x,y)=c=const, то, заменяя две постоянных на одну, получаем следующий вид общего решения уравнения  или .Пример 1. Дано дифференциальное уравнение (6x2y2+6xy-1)dx+(4x3y+3x2y+2y)dy=0. В нем M(x,y)=6x2y2+6xy-1, N(x,y)=4x3y+3x2y+2y. Из  и тождества ,Следует, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Проведем его решение в два этапа. На первом решаем уравнение  или dU=(6x2y2+6xy-1)dx,в котором переменная y считается закрепленной. Интегрируя это уравнение, получаем U(x,y)=2x3y2+3x2y-x+h(y). На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого соотношение  и дифференциальное уравнение для h и y 4x3y+3x2+h/(y)=4x3y+3x2+2y или  .Интегрируя последнее, получаем h=y2+c. Общий интеграл исходного уравнения тогда можно записать в виде 2x3y2+3x2y-x+y2=c. Пример 2. Найти решение уравнения 2xsinydx+(3y2+x2cosy)dy=0. Проверяем, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? Для этого из M(x,y)=2xsiny, N(x,y)=3y2+x2cosy Находим  .Так как, очевидно, выполняется условие ,то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Сначала решаем уравнение  или dU=2xsinydx,считая y постоянной. Интегрирование уравнения дает U(x,y)=x2siny+h(y). Затем находим функцию h(y), используя соотношения  , с одной стороны, и  , с другой стороны. Соотношения приводят к дифференциальному уравнению или  .Интегрируя последнее уравнение, получаем h=y3+c. Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается в виде X2siny+y3+c=0. Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя. Ранее отмечалось, что уравнение в полных дифференциалах возникает, когда поведение системы сохраняет некоторую величину U, т.е. удовлетворяет соотношению U(x,y)=c. Дифференциальным аналогом его является уравнение dU(x,y)=0 или M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, Где .Предположим теперь, что частные производные функции U(x,y) представимы в виде  .Тогда соотношению U(x,y)=e будет соответствовать уравнение в полных дифференциалах вида M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0. Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых g(x,y), то получим уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего, из которого оно получено, однако оно может уже не являться уравнением в полных дифференциалах, также для него возможно будет  .В то же время после умножения его на множитель g(x,y), оно становится уравнением в полных дифференциалах. Определение. Функция g(x,y) называется интегрирующим множителем дифференциального уравнения M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в полных дифференциалах. Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом интегрирующего множителя. Найдем условие, которому должен подчиняться интегрирующий множитель g(x,y). Из предложения, что уравнение M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0 Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия  .Разверернув левую и правую части этого тождества  ,заключаем, что функция g(x,y) должна являться решением уравнения  .В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения. Отметим два случая, когда его решение становится проще. Случай первый. Пусть  .Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей только от x. Действительно, пусть g=g(x). Тогда в виду  ; получаем, что искомая функция g(x) является решением дифференциального уравнения или  ,интегрируя которое, находим  , т.е.  .Второй слуяай относится к аналогичной ситуации, когда  .Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции только от y, т.е. g=g(y). Аналогично предыдущему, не трудно видеть, что функция g(y) является решением уравнения  и представляется в виде  .Пример 3. Дано уравнение (y2-3xy-2x2)dx+(xy-x2)dy=0. Из M(x,y)=y2-3xy-2x2, N(x,y)=xy-x2,  ,  следует , т.е. уравнение не является в полных дифференциалах.Однако из соотношения  вытекает, что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после умножения на который исходное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Указанный множитель находим из уравнения  ,интегрируя которое получаем  , или g=xc. Так как в качестве множителя достаточно взять одну из функций, то положим c=1 и, тогда, g=x.Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем (xy2-3x2y-2x3)dx+(x2y-x3)dy=0, являющееся уже уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим  , ,затем из U/y=x2y-x3+h/(x) и U/y=N(x,y)=x2y-x3 получаем x2y-x3+h/=x2y-x3, т.е.  и,следовательно, h=c=const. Таким образом, общее решение имеет вид  .Пример 4. Требуется решить уравнение (2xy2-y)dx+(y2+x+y)dy=0. Из M(x,y)=2xy2-y, N(x,y)=y2+x+y,  следует .Однако из соотношения  ,вытекает, что для исходного дифференциального уравнения существует интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель находится из уравнения  .Интегрируя его, получаем  .Умножая исходное уравнение на множитель , приходим к уравнению .Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах. Решаем его  , ,затем из  и  ,получаем  или  .Интегрируя последнее уравнение, имеем  .Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид  .7. Дифференциальные уравнения второго порядка. Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид F(x,y,y/,y//)=0 или  .Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y//+py/+qy=h(x), где p и q – числа, h(x) – некоторая функция от x. Если в этом уравнении  , то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.Рассмотрим решение однородного уравнения  .Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида  ,Называемое характеристическим. Его корни  , как известно, определяются формулами .Возможны следующие три случая для вида корней этого уравнения: 1) корни уравнения – действительные и различные; 2) корни – действительные и равные; 3) корни уравнения – комплексно-сопряженные. Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p2-4q>0. Тогда оба корня действительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид ,где c1, c2 – произвольные постоянные. Действительно, если , то  ,  . Подставляя выражения для y,y/ и y// в уравнение получим  .Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т.е p2-4q=0. Тогда оба корня действительные и равные, т.е.  .В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид  .Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен, т.е. p2-4q<0. Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая  , общее решение однородного уравнения дается в виде .Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения y//+py/+g(y)\h(x), где h(x) – некоторая функция от x. Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y/=z, y//=z/, приходим к решению линейного дифференциального уравнения первого порядка z/+pz=h(x). |