I и ii порядка Введение. Исследование
![]()
|
3. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка ![]() называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде ![]() ![]() Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого уравнения, оно может быть записано в виде ![]() Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения. Пусть величина Z является с одной стороны функцией величины y, т.е. z=M(y). С другой стороны величина Z является функцией величины x, т.е. z=g(x). Например, если Z-объем выпуска продукции, то с одной стороны z зависит от величины y – объема основных фондов, с другой стороны z может рассматриваться зависимой от величины x – объема затрачиваемых трудовых ресурсов. Таким образом, через соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией другой величины x или, соответственно, y. Исходное дифференциальное уравнение отображает эту функциональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x), уравнивая их, т.е. dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать, что ![]() Таким образом, чтобы найти эту функциональную связь в виде y=y(x),x=x(y) или f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения, получая ![]() ![]() H(y)=G(x)+c. Если это возможно, из него одна из величин может быть представлена явно функцией другой y=y(x) или x=x(y). Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение получаемое при моделировании процесса распространения информации о новом товаре ![]() ![]() Данное уравнение, очевидно, относится к уравнению с разделяющимися переменными. Разнеся переменные x и t и их дифференциалы по разные стороны, уравнение запишем в виде ![]() ![]() Проинтегрируем каждую из сторон этого уравнения: ![]() ![]() Приравнивая найденные интегралы получаем ![]() ![]() где c=N(c1-c2). Отсюда далее ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Нетрудно проверить, что дискретной и огибающей кривых дифференциальное уравнение не имеет. Однако беря крайние значения для ![]() ![]() Пример 2. Возьмем дифференциальное уранение ![]() ![]() геометрическая иллюстрация решений которого рассматривается в параграфе 2. Данное уравнение является с разделяющимися переменными> Разнося переменные в разные стороны, записываем уравнение в виде ![]() Интегрирование левой и правой частей уравнения, дает общее решение вида ![]() ![]() ![]() ![]() Как видно получилось семейство гипербол. Пусть из данного семейства интегральных кривых (гипербол) необходимо выделить кривую (решение) проходящую через точку M(1,1), т.е. выделить решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1. Для этого в общее решение уравнения подставим значения x=1, y=1, и найдем, отвечающее искомой кривой, значение постоянной ![]() ![]() Yx=1 или ![]() Пример 3. Рассмотрим уравнение ![]() ![]() ![]() Оба являются с разделяющимися переменными и приводятся к виду dy=dx и dx=-dx. Интегрирование левых и правых частей уравнений дает следующие их общие решения y=x+c и y=-x+c. Пример 4. Следующим уравнением возьмем уарвнение ![]() Разрешая его относительно y/ получаем ![]() ![]() Разделяя переменные имеем ![]() Найдем интегралы от левой и правой частей уравнения: ![]() ![]() Приравнивая интегралы и заменяя две постоянных на одну получаем следующий вид общего решения уравнения ![]() Возводя в квадрат обе части данного уравнения, получаем окончательный вид общего решения (x-c)2+y2=1. Пример 5. Решить дифференциальное уравнение ![]() Найти его частное решение при условии ![]() Разрешая уравнение относительно y/, видим, что оно является уравнением с разделяющимися переменными ![]() Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем ![]() Интегрируя каждую из частей этого уравнения, получаем следующее общее решение исходного дифференциального уравнения ![]() ![]() Используя начальное условие ![]() ![]() ![]() 4. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Функция f(x,y) называется однородной степени m, если ![]() Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если ![]() Например, функция ![]() ![]() ![]() ![]() Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве ![]() ![]() ![]() ![]() Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y/)=0, называется однородным, если оно может быть представлено в виде y/=f(x,y) или ![]() Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x. Подставляя в исходное уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1. Рассматривается уравнение (x2-y2)dx+2xydy=0. Перепишем его в виде ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Разделяя переменные приходим к уравнению ![]() Интегрируем левую и правую части этого уравнения: ![]() Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u ![]() ![]() Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид ![]() Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения ![]() Последнее выражение приводится к виду ![]() Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является семейство окружностей с центрами в точках ![]() ![]() Пример 2. Требуется найти частное решение уравнения ![]() Удовлетворяющих начальному условию y(1)=0. Нетрудно видеть (убедиться), что справа стоит однородная функция нулевой степени. Итак, исходное дифференциальное уравнение является однородным. Выполняя замену y=ux, приводим его к виду ![]() ![]() Разделяем переменные, получаем ![]() Интегрируя обе части этого уравнения, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения ![]() ![]() Подставим в него ![]() ![]() ![]() ![]() Последнее соотношение дает общее решение исходного дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальными условиями x=1,y=0. Подставим их в общее решение ![]() ![]() ![]() Таким образом, искомое частное решение имеет вид ![]() 5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y/+g(x)y=h(x). Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и y/ его можно рассматривать как линейное. Если ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Его общее решение имеет вид ![]() ![]() Предположим теперь, что ![]() Представим исходное уравнение в виде ![]() и подставим в выражение, стоящее в квадратных скобках, ![]() ![]() ![]() являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения с исходным). Общее решение этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть представлено в виде ![]() где A – произвольная постоянная. Очевидно, ![]() ![]() ![]() Если теперь освободиться от условия фиксирования постоянной ![]() ![]() В нем второй множитель функция ![]() ![]() ![]() Действительно, подставляя в это уравнение u/x(x,c), получаем тождество ![]() ![]() Таким образом, показано, что общее решение линейного дифференциального уравнения ![]() Представляется в виде y=u(x,c)v(x), где v(x) – частное решение однородного уравнения ![]() Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с разделяющимися переменными. Заметим, что хотя при решении однородного уравнения ![]() Являющегося уравнением с разделяющимися переменными. На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения u/v(x)=h(x), Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их решений общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде Y=u(x,c)v(x). Пример 1. Решить уравнение Y/+2y=sinx. Сначала решаем однородное уравнение v/+2v=0. Из него получаем ![]() ![]() Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл (решение) вида ![]() Полагая в нем c=0 и потенциируя его, получаем следующее его нетривиальное частное решение ![]() Далее решаем уравнение вида ![]() ![]() Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем общее решение этого уравнения ![]() Вычислим интеграл: ![]() ![]() Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла, находим его вид ![]() Следовательно, ![]() Тогда общее решение исходного уравнения будет ![]() Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее через точку M(0,0), т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем соответствующее значение постоянной c: ![]() ![]() Искомым частным решением является ![]() Пример 2. Решить уравнение ![]() являющееся линейным дифференциальным уравнением. На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения ![]() ![]() Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем ![]() Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное решение ![]() На втором этапе решаем уравнение вида ![]() Делая замену ![]() ![]() Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение ![]() Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид ![]() |