Задание № 2 - кинематика точки. И инженерной графики

• Название: И инженерной графики
• Дата: 08.01.2022
• Размер: 77.42 Kb.
• Имя файла: Задание № 2 - кинематика точки.docx
• Тип: Исследование; #325734

российский государственный геологоразведочный университет имени серго орджоникидзе

(МГРИ)
кафедра механики И ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ


Расчетная работа

по теоретической механике № 2

Кинематическое исследование движения точки по заданным

уравнениям движения в декартовых координатах
Вариант № 14


Выполнил:

студент группы

студенческий билет №

___________________

_____________ ___________________

(подпись) (ФИО)
Проверил:

доцент каф. Механики и

инженерной графики


Москва, 2022




Точка М движется в плоскости OXY (рис.). Траектория точки на рисунках показана условно. Закон движения точки задан уравнениями x = f₁(t); y = f₂(t), где x и y выражены в см, t - в с.

Найти уравнение траектории точки, определить скорости и ускорения точки, а также ее касательное и нормальные ускорения, радиус кривизны в соответствующих точках траектории, для момента времени t = 1с.

Указания. Задание относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах, а также формул для определения тангенциального и нормального ускорения точки.

В данном задании все кинематические характеристики движения определяются для моментов времени t = 0 с и t = 1 с.

При решении некоторых вариантов следует учесть известные тригонометрические зависимости:

cos2 - 2·sin² = 2·cos² – 1;

sin 2· 2·sin ·cos .

N варианта	у = f2 (t) , рис. 4
1	8·sin( )

Рис. 2. 4

Решение:

1. Определим уравнение траектории, по которой движется точка М. Для этого представим уравнение в виде

x = 2·t => t = x/2 ;

y = 8·sin( ) .

Тогда

y = 8·sin( ) .

Это уравнение синусоиды:

у , см

х , см

рис. 1, а

Из уравнений для x и y следует, что х ≥ 0 ; -8 ≤ у ≤ 8 .

Таким образом, траекторией точки М является колебательный процесс с амплитудой А = 8 см .

График траектории точки M показан на рис. 1, а .

2. Определяем начальное положение М₀ точки и направление ее движения.

При t = 0 x₀ = 0; y₀ = 0 .

В начальный момент времени точка находится в начале координат и движется слева направо .

При t = 1 с x = 2 см ; y = 4·√2 см .

3. Определяем скорость точки М

v_x = = dx/dt = 2 ;

v_y = = dy/dt = 2·π·cos ( ) .

Модуль скорости:

= .

Направление вектора скорости:

= ;

= ,

где α и β – углы между направлением вектора скорости v и положительным направлением осей координат OX и OY соответственно.

При t = 1 с получаем:

v_x = 2 см/с ;

v_y = 0 см/с ;

α = ; β = /2 .

4. Определяем ускорение точки М

a_x = = d²x/dt² = -2 sin t ;

a_y = = d²y/dt² = - 4 cos2 t .

Модуль полного ускорения

=

Направление вектора ускорения:

=
=

где α₁ и β₁ – углы между направлением вектора полного ускорения a и положительными направлениями осей OX и OY.

Касательное (тангенциальное) ускорение найдем, дифференцируя по времени уравнение скорости , но учитывая, что

2v или va = v_Xa_X + v_Ya_Y ,

Получаем

= =

= =

= =

=

Нормальное ускорение определяется из равенства

a_n = =
При t = 1с
a_x = 0; a_y = ; a = ; a = 0; a_n = ; α₁ = - ; β₁ =

5. Находим радиус кривизны траектории в функции времени:

^3/2

6. Проверяем правильность вычисления радиуса кривизны траектории по формуле:



Вычисляем производные:

y‘ = dy/dx = -x; y’’ = d²y/dx² = -1

Тогда

= (1+4sin² )^3/2

При t = 1с см.

На траектории (рис. 1, б) показывают положение точки М при t = 1 с и направления векторов v; a_n ; ; a.


а)


б)

Рис. 1 (а, б)