док. І. механiка кінематика матеріальної точки та поступального руху тіл. Основнi формули

• Название: І. механiка кінематика матеріальної точки та поступального руху тіл. Основнi формули
• Дата: 05.01.2021
• Размер: 409 Kb.
• Имя файла: doc1 (3).doc
• Тип: Документы; #165996
• страница: 2 из 4

та поступального руху тіл.
Основнi формули

1. 
   Імпульс тіла
   

2. 
   Рiвняння руху тiла (другий закон Ньютона)
   

де - рівнодійна сил, що дiють на тiло.

3. 
   Сила тяжіння
   

4. 
   Сила тертя ковзання
   

де  - коефіцієнт тертя ковзання; N – сила нормального тиску.

5. 
   Закон збереження iмпульсу
   

де n - кількість тiл, що входять в замкнену систему.

1. 
   Брусок масою m = 3 кг тягнуть за нитку так, що він рухається зі сталою швидкістю по горизонтальній площині з коефіцієнтом тертя k = 0,14. Визначити кут α між ниткою і площиною, при якому натяг нитки буде найменшим. Чому дорівнює сила натягу F_min? (8⁰; 4,08 Н)
   
2. 
   Похила площина може змінювати кут нахилу α при незмінній довжині основи. З її верхньої точки вільно ковзає невелике тіло. Коефіцієнт тертя тіла об поверхню площини k = 0,14. При якому куті α₀ нахилу площини до горизонту час ковзання тіла буде мінімальним? (49⁰)
   
3. 
   Матеріальна точка масою m = 5 кг рухається під дією сили згідно з рівнянням x = A + Bt + Ct² + Dt³, де С = 3 м/с², D = -0,4 м/с³. Визначити значення сили F в момент часу t₁ = 0 с; t₂ = 4 с. В який момент часу t₃ сила дорівнює нулю? (30 Н; 18 Н; 2,5 с)
   
4. 
   Тіло масою m = 14 кг рухається так, що залежність його координати від часу описується рівнянням x = A cos t, де А = 2 м,  = 1,57 рад/с. Визначити величину сили F, що діє на тіло, в момент часу t = 2 c. (69 Н)
   
5. 
   Кулька підвішена на нерозтяжній нитці до стелі вагона, який рухається прямолінійно в горизонтальному напрямку згідно із законом S = A + Ct², де А = 4 м, С = 0,7 м/с². На який кут αвідхиляється нитка від вертикалі? (8⁰)
   
6. 
   На горизонтальній площині з коефіцієнтом тертя k = 0,25 лежить тіло масою m = 8 кг. У момент часу t = 0 с до тіла приклали горизонтальну силу, яка залежить від часу як F = Bt, де В = 4 м/с. Визначити шлях S, який пройшло тіло за час t = 6,9 с дії сили. (0,67 м)
   
7. 
   На візку масою m₁ = 40 кг, який може вільно рухатися вздовж горизонтальних рейок, лежить брусок масою m₂ = 10 кг. Коефіцієнт тертя між бруском і візком k = 0,25. Брусок тягнуть з силою F, яка напрямлена паралельно до рейок і змінюється за законом F = Bt, де В = 5 Н/м. Визначити прискорення візка α₁ і бруска α₂в момент часу t = 8 с. (0,61 м/с²; 1,55 м/с²)
   
8. 
   На тіло масою m = 2 кг, що знаходиться на гладкій горизонтальній поверхні діє сила, яка пропорційна часу: F = Bt, де В = 8 Н/м. При t = 0 тіло має початкову швидкість v₀ = 4 м/с. Який шлях S пройде тіло за час t = 3 с? (30 м)
   
9. 
   Частинка масою m = 0,1 кг рухається прямолінійно і рівномірно із швидкістю v₀ = 1 м/с по гладкій поверхні. З деякого часу на частинку починає діяти сила F, яка напрямлена в бік, протилежний напрямку швидкості, а модуль сили змінюється з часом t за законом F = Bt, де В = 0,12 Н/м. Знайти момент часу t, коли швидкість частинки дорівнює нулю, та її швидкість v через t = 5 с від початку дії сили. (1,29 с; 14 м/с)
   
10. 
    Тіло масою m = 1 кг в момент часу t = 0 почало рухатись під дією сили F = F₀ sin t, де F₀ = 2,6 Н,  = 0,785 рад/с. Визначити шлях S, який пройшло тіло за час t = 2 с. (2,4 м)
    
11. 
    На тіло масою m = 1,5 кг, що лежить на гладкій горизонтальній площині, в момент часу t = 0 почала діяти сила, яка залежить від часу за законом F = Bt, де В = 3 с^-1. Напрямок сили весь час складає кут α = 60º з горизонтом. Визначити швидкість v тіла в момент відриву від площини і шлях S, який пройшло тіло до цього моменту. (16 м/с; 30,2 м)
    
12. 
    На тіло масою m = 2 кг діє сила F = 30 Н під кутом α = 60⁰ до напрямку руху. Сила тертя залежить від швидкості за законом F_T = F₀ + Bv, де F₀ = 5 Н, В = 0,5 Н∙с/м. Визначити швидкість v і прискорення α тіла в момент часу t = 4 с; а також швидкість v₀, що встановиться, якщо в момент часу t = 0 тіло не рухалося. (12,6 м/с; 3,2 м/с²; 20,0 м/с²)
    
13. 
    Автомобіль масою m = 400 кг з вимкненим двигуном, маючи початкову швидкість v₀ = 12 м/с, зупиняється під дією сили опору, яка пропорційна до швидкості автомобіля: F_on = -rv, де r = 16 Н∙с/м. Визначити гальмівний шлях S автомобіля. (300 м)
    
14. 
    Тіло масою m = 0,5 кг рухається зі швидкістю v₀ = 5 м/с і потрапляє у в’язке середовище, де на нього діє сила опору F = -Сv², де С = 0,6 Н∙с²/м. Визначити, якою буде швидкість v руху тіла в середовищі через час t = 4 с. (0,2 м/с)
    
15. 
    Куля, рухаючись зі швидкістю v₁ = 400 м/с, пробиває стіну товщиною ℓ = 0,8 м і вилітає з неї зі швидкістю v₂ = 200 м/с. Сила опору стіни пропорційна кубу швидкості кулі: F_on = -Cv³. Визначити час t руху кулі в стіні. (3 мс)
    
16. 
    Тіло масою m₁ = 3 кг рухається назустріч другому тілу масою m₂ = 1 кг і зазнає з ним абсолютно непружного зіткнення. Швидкості даних тіл безпосередньо перед ударом дорівнювали v₁ = 1 м/с і v₂ = 2 м/с. Коефіцієнт тертя k = 0,05. Скільки часу t тіла будуть рухатись після удару. (0,51 с)
    
17. 
    Куля масою m₁ = 0,5 кг рухається зі швидкістю v₁ = 2 м/с і пружно зіштовхується з кулею масою m₂ = 4 кг, яка рухається зі швидкістю v₂ = 1 м/с під кутом α = 45⁰ до траєкторії першої кулі. В результаті удару друга куля відхилилась на кут β₂ = 30⁰ відносно початкової траєкторії першої кулі, а її швидкість стала v₂′ = 0,5 м/с. На який кут β₁ відхилилась перша куля після співудару? (41⁰6′)
    
18. 
    Снаряд, що летів горизонтально зі швидкістю v = 30 м/с на висоті Н = 41,6 м, розривається на дві рівні частини. Одна частина снаряда через час t = 2 с падає на землю точно під місцем вибуху. Визначити швидкість v₂ другої частини снаряда відразу після вибуху. (61 м/с)
    
19. 
    Човен масою m₁ = 140 кг стоїть нерухомо у стоячій воді. Людина масою m₂ = 70 кг, що знаходиться у човні, переходить з носа на корму. Човен при цьому змістився на S = 1,2 м. Опір води дуже малий. Яка довжина ℓ човна? (3,6 м)
    
20. 
    Три човни, кожний масою m = 180 кг, йдуть один за одним з однаковою швидкістю v = 10 м/с. З середнього човна одночасно в передній і задній човни кидають зі швидкістю v₁ = 2 м/с відносно човна тягарі масою m₁ = 10 кг. Визначити швидкості човнів після перекидання тягарів? (10,2 м/с; 10 м/с; 9,8 м/с)
    
21. 
    На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки масою m₁ = 10 кг, яка має легкі колеса. На одному кінці дошки стоїть людина масою m₂ = 70 кг. Людина пішла вздовж візка із швидкістю (відносно дошки) v₂ = 2 м/с. З якою швидкістю v₁ відносно підлоги буде рухатись візок? Масою коліс знехтувати. (1,75 м/с)
    

4. Робота і енергія.
Основнi формули

1. 
   Робота, яка виконується сталою силою
   

де  - кут мiж напрямами векторiв сили i перемiщення

2. 
   Робота змiнної сили
   

де F_ℓ - проекція сили на напрям елементарного переміщення вздовж траєкторії руху L.

3. 
   Середня потужнiсть за iнтервал часу t
   

4. 
   Миттєва потужнiсть
   

де  - кут між напрямами векторів сили і швидкості

5. 
   Кінетична енергія матеріальної точки або поступального руху тіла
   

.

6. 
   Теорема про зміну кінетичної енергії
   

.

7. 
   Потенціальна енергія тіла в полі земного тяжіння
   

.

8. Потенціальна енергія тіла, на яке діють сили пружності





де - вектор зміщення тіла відносно положення рівноваги.

9. Закон збереження механічної енергії консервативної системи

.

10. Зміна механічної енергії системи

,

де А* - робота неконсервативних сил, які діють на тіла системи.

1. 
   Швидкість реактивного літака на деякій ділянці траєкторії залежить від пройденого шляху S за законом v = B + CS, де В = 10 м/с, С = 0,03 с^-1. Маса літака m = 810³ кг. В момент часу t₁ = 10 с швидкість літака v₁ = 200 м/с. Визначити роботу двигунів за проміжок часу від t₁ = 10 с до t₂ = 40 с. (807,9 МДж)
   
2. 
   Куля масою m₁ = 3 кг, що рухається зі швидкістю v₁ = 6 м/с, доганяє кулю масою m₂ = 1 кг, що рухається зі швидкістю v₂ = 2 м/с. Удар кулі центральний. Визначити швидкості куль після пружного співудару. (4 м/с; 8 м/с)
   
3. 
   Куля масою m₁ = 3 кг, що рухається з деякою швидкістю v₁, стикається з нерухомою кулею масою m₂ = 1 кг. Удар куль абсолютно пружний і центральний. Яку частину w своєї кінетичної енергії перша куля передала другій? (0,75)
   
4. 
   Санки, які рухалися по льоду зі швидкістю v = 5 м/с, виїжджають на асфальт. Довжина полозів санок L = 1 м, коефіцієнт тертя об асфальт k = 0,5. Вважати, що маса розподілена по довжині санок рівномірно. Який шлях S пройде передній кінець санок по асфальту до повної зупинки? (3,05 м)
   
5. 
   По похилій площині з кутом нахилу α = 30⁰ з’їжджає лижник масою m₁ = 70 кг. Проїхавши віддаль ℓ = 20 м від вершини, він стріляє вгору сигнальною ракетою. Маса ракети m₂ = 0,5 кг, її початкова швидкість v₂ = 85 м/с. Тертя не враховувати. Визначити швидкість v₁лижника після пострілу. (14,4 м/с)
   
6. 
   З вершини ідеально гладкої сфери зісковзує невеликий вантаж. Радіус сфери R = 1,2 м. На якій висоті h, рахуючи від низу сфери, вантаж зірветься з неї? (2,0 м)
   
7. 
   Потенціальна енергія частинки в центральному силовому полі задана як функція відстані r від центра поля до точки, де перебувала частинка:
   

,

де А = 310^-4 Джм, В = 510^-6 Джм².

Визначити, при яких значеннях r потенціальна енергія і сила, що діє на частинку, мають екстремальні значення і знайти ці значення. (3,33 см; 5,00 см; -4,5 мДж; -0,04 Н)

8. 
   Автомобіль рухається під дією сили тяги F, яка змінюється залежно від пройденого шляху за законом F = B + CS + DS², де В = 300 Н, С = 50 Н/м, D = 3 H/м². Визначити роботу сили на ділянці шляху від S₁ = 3 м до S₂ = 50 м. (32598 Дж)
   
9. 
   На моторний човен, який рухається на північ, діє сила вітру F = 180 Н. Кут між напрямом дії сили F і напрямом руху човна змінюється за законом α = BS, де В = 910^-2 рад/м.. Напрям вітру змінився з південного на східний. Знайти роботу вітру. (2000 Дж)
   
10. 
    Сила тяги автомобіля змінюється в залежності від шляху за законом F = B + CS, де В = 500 Н, С = 80 Н/м. Визначити роботу А сили на ділянці шляху від S₁ = 2 м до S₂ = 10 м. (7840 Дж)
    
11. 
    Прискорення човна на підводних крилах змінюється в залежності від шляху за законом a = B + CS + DS², де В = 0,1 м/с², С = 210^-4 1/с², D = 310^-6 1/(м•c²). Маса човна m = 510³ кг. Визначити роботу А переміщення човна на ділянці шляху від S₁ = 0 м до S₂ = 10³ м. (6 МДж)
    
12. 
    Вітрильник масою m = 2000 кг рухається під дією сталої сили прямолінійно, причому залежність пройденого шляху S від часу t визначається виразом S = Bt + Ct², де В = 1 м/с, С = 0,05 м/с². Визначити роботу А сили вітру за проміжок часу від t₁ = 0 до t₂ = 30 с. (150 кДж)
    
13. 
    Швидкість поїзда, маса якого m = 10⁵ кг, змінюється за законом v = B + Dt², де В = 6 м/с, D = 0,2 м/с³. Визначити роботу сили тяги за проміжок часу від t₁ = 5 с до t₂ = 30 c. (943,75 МДж)
    
14. 
    Всередині труби біля її краю знаходиться корок довжиною ℓ₀ = 5 см. Максимальна сила тертя між корком і трубою F_T = 50 Н. Стінки труби стискають корок по всій довжині рівномірно. Яку роботу потрібно виконати, щоб витягнути корок з труби? (1,25 Дж)
    
15. 
    Вітер, який дме зі швидкістю v₀ = 20 м/с, діє на вітрило площею S = 27 м² зі силою
    

,

де A – деякий безрозмірний коефіцієнт (А = 2) , ρ – густина повітря (ρ = 1,2 кг/м³) , v – швидкість судна. Визначити максимальну миттєву потужність N вітру. (6,4 кВт)

16. 
    Матеріальна точка масою m = 5 кг рухалася під дією деякої сили згідно з рівнянням S = A + Bt + Ct² + Dt³, де А = 5 м, В = -2 м/с, С = 3 м/с², D = -0,2 м/с³. Визначити потужність N, яка затрачується на рух точки в момент часу t = 2 с. (136,8 Вт)
    
17. 
    Частинка масою m = 2,0 г рухається в двомірному полі, де її потенціальна енергія E_р = Bxy, де В = 0,2 мДж/м². В точці з координатами x₁ = 1 м, y₁ = 4 м частинка мала швидкість v₁ = 2 м/с, а в точці координатами x₂ = 5 м, y₂ = 2 м швидкість v₂ = 3 м/с. Визначити роботу сторонніх сил на шляху між цими точками. (6,2 мДж)
    

5. Динаміка обертального руху твердого тіла.