док. І. механiка кінематика матеріальної точки та поступального руху тіл. Основнi формули
![]()
|
І. МЕХАНIКА 1. Кінематика матеріальної точки та поступального руху тіл. Основнi формули 1. Кiнематичнi рiвняння руху в координатнiй формi x = x(t); y = y(t); z = z(t). 2. Кiнематичне рiвняння в природній формi s = s(t), деs – шляхова координата 3. Проекцiї швидкостi на координатнi осi ![]() 4. Величина (модуль) миттєвої швидкості ![]() 5. Рівняння (формупа) шляху S = S(t). 6. Миттєва швидкiсть ![]() 7. Шлях, пройдений тілом ![]() 8. Середня швидкість руху ![]() 9. Проекцiї прискорення на осi координат ![]() 10. Величина (модуль) прискорення ![]() 11. Величина (модуль) тангенцiальної складової прискорення ![]() 12. Величина (модуль) нормальної складової прискорення ![]() де R – радіус кривини траєкторії. 13. Величина (модуль) повного прискорення ![]() 14. Середнє прискорення ![]() 15. Кiнематичне рiвняння рiвномiрного прямолiнiйного руху ![]() 16. Кiнематичне рiвняння рiвнозмiнного прямолiнiйного руху ![]() Два автомобілі рухаються по двох прямолінійних і взаємно перпендикулярних дорогах в напрямках до перехрестя зі сталими швидкостями v1 = 100 км/год. і v2 = 50 км/год. Перед початком руху перший автомобіль перебував на відстані S1 = 50 км від перехрестя, другий на відстані S2 = 100 км. Через скільки часу після початку руху відстань між автомобілями буде мінімальною? (0,8 год.) Рухи двох матеріальних точок задаються рівняннями: x1 = A1 + B1t + C1t2, x2 = A2 + B2t + C2t2, де A1 = 10 м, B1 = 4 м/с, C1 = -0,2 м/с2, A2 = 1 м, B2 = 2 м/с, C2 = 0,6 м/с2. В який момент часу t швидкості цих точок будуть однаковими? Визначити швидкості v1 і v2 та прискорення α1 і α2 точок у цей момент. (1,25 с; 3,5 м/с; 0,4 м/с2, 1,2 м/с2) Дві матеріальні точки рухаються згідно з рівняннями: x1 = A1 + C1t2 + D1t3, x2 = B2t + C2t2 + D2t3, де A1 = 2 м, C1 = 23 м/с2, D1 = -1 м/с3, B2 = 4 м/с, C2 = 11 м/с2, D2 = 1 м/с3. В який момент часу прискорення цих точок будуть однакові? Визначити швидкості точок у цей момент часу. (2 с; 80 м/с; 60 м/с) Одночасно з одного і того ж пункту в одному напрямку починають рухатись прямолінійно два автомобілі. Залежність пройденого шляху від часу визначається рівняннями: S1 = C1t2, S2 = C2t2 + D2t3, де C1 = 3 м/с2, C2 = 5 м/с2, D2 = 3 м/с3. Визначити відносну швидкість автомобілів у момент часу t = 2 с.(44 м/с) Залежність пройденого тілом шляху від часу описує рівняння S = Ct2 + Ht4, де С = -9 м/с2, Н = 0,25 м/с4. Визначити екстремальне значення швидкості тіла. (29,4 м/с) Ракета, встановлена в момент старту на висоті Н0 = 5 м над поверхнею Землі, рухається вгору з прискоренням, яке з часом змінюється за законом α = kt2, де k = 1,5 м/с4. На якій висоті над поверхнею Землі буде ракета через час t = 6 с після старту? (167 м) Залежність швидкості тіла від часу задається рівнянням v = A + Bt + Ct2, де А = 4 м/с, В = 2 м/с2, С = 0,3 м/с3. Який шлях проходить тіло за проміжок часу від t1 = 2 с до t2 = 5 с? Яка середня швидкість <v> тіла і середнє прискорення <α> за цей проміжок часу? (44,7 м; 14,9 м/с; 3,1 м/с2) Залежність швидкості тіла від часу визначається рівнянням v = A + Bt, де А = 3 м/с, В = 4 м/с2. Який шлях проходить тіло за проміжок часу від t1 = 0 с до t2 = 4 с? Визначити середню швидкість <v> тіла за цей проміжок часу. (44 м; 11 м/с) М’яч кинули з підвищення в горизонтальному напрямку зі швидкістю v0 = 20 м/с. Визначити швидкість v, тангенціальне ατі нормальне αn прискорення м’яча через час t = 4 с після початку руху. (44 м/с; 8,73 м/с2; 4,45 м/с2) Точка рухається по колу зі швидкістю v = Bt, де В = 0,75 м/с2. Після початку руху вона проходить шлях, рівний 0,2 довжини кола. Визначити повне прискорення α точки у цей момент часу. (2,03 м/с2) Нормальне прискорення точки, що рухається по колу радіусом R = 4 м, змінюється за законом αn = A + Bt + Ct2, де А = 1 м/с2, В = 3 м/с3, С = 2,25 м/с4. Визначити тангенціальне прискорення ατ точки, шлях, що пройшла точка за час t1 = 6 с після початку руху, повне прискорення α у момент часу t2 = 2/3 с. (3 м/с2; 66 м; 5 м/с2) Рух матеріальної точки в площині xy описується рівнянням x = At, y = At + Bt2, де А = 0,5 м/с, В = -1 м/с2. Отримати рівняння траєкторії матеріальної точки y(x), швидкість v точки в момент часу t1 = 0,5 с, прискорення α точки, момент часу t2, коли кут між швидкістю і прискоренням α = π/4. (y = 0,5 + 4x2; 1,6 м/с; 2 м/с2; 0,5 с) Рівняння руху матеріальної точки мають вигляд: x = A1 + B1t, y = B2t + C2t2, z = 0, де А1 = -9 м, В1 = 3 м/с, В2 = 4 м/с, С2 = -1 м/с2. Визначити швидкість v, прискорення α та кут γ між векторами цих величин у момент часу, коли координата y має екстремальне значення. (3 м/с; 2 м/с2; 900) Рівняння руху матеріальної точки мають вигляд: x = B1t + D1t3, y = B2t + C2t2, z = 0, де В1 = 27 м/с, D1 = -1 м/с3, B2 = 32 м/с, C2 = -8 м/с2. Визначити тангенціальне ατ , нормальне αn прискорення і радіус кривини R траєкторії в момент часу t1, коли координата y приймає екстремальне значення і в момент t2, коли таке значення приймає координата x. (12 м/с2; 16 м/с2, 14 м; 16 м/с2; 18 м/с2; 14,2 м) Рух матеріальної точки по колу радіусом R = 2 м описується рівнянням S = A + Ct2, де А = 4 м, С = -1 м/с2. Визначити момент часу t, коли нормальне прискорення точки дорівнює αn = 8 м/с2. Знайти швидкість v, тангенціальне ατ і повне α прискорення точки в цей момент часу. (2 с; 4 м/с; 2 м/с2; 8,2 м/с2) Залежність шляху від часу для точки, що рухається по колу радіусом R = 3 м, дається рівнянням S = Dt3, де D = 0,01 м/с3. Визначити момент часу t, коли лінійна швидкість точки v = 3 м/с. Знайти нормальне αn, тангенціальне ατ і повне α прискорення точки в цей момент часу. (10 с; 3,0 м/с2; 0,6 м/с2; 3,1 м/с2) Матеріальна точка починає рухатися за годинниковою стрілкою по колу радіусом R = 0,2 м із сталим тангенціальним прискоренням ατ = 0,15 м/с2. Через який час t вектор прискорення α утворить з вектором швидкості v кут α= 600? Який шлях пройде за цей час рухома точка? (1,52 с; 0,17 м) Матеріальна точка рухається по колу радіусом R = 9 м. В момент часу, коли вектори повного α і нормального αn прискорень утворюють кут α = 600, нормальне прискорення точки αn = 4 м/с2. Визначити швидкість v і тангенціальне ατ прискорення точки. (6 м/с; 6,9 м/с) 2. Кінематика обертального руху твердого тіла. Основнi формули Кiнематичне рiвняння обертального руху ![]() Миттєва кутова швидкiсть ![]() Середня кутова швидкiсть ![]() Величина (модуль) кутового прискорення ![]() Кiнематичне рiвняння рiвномiрного обертального руху ![]() Перiод обертання ![]() Частота обертання ![]() Лiнiйна швидкiсть ![]() Тангенцiальне прискорення ![]() Нормальне прискорення ![]() Шків радіусом R1 = 15 см сполучений ремінною передачею зі шківом радіусом R2 = 10 см. Частота обертання першого шківа n1 =10 об/с. Визначити частоту n2 обертання другого шківа. (15 об/с) Маховик, обертаючись рівноприскорено, збільшив за час t = 2 с частоту обертання від n1 = 4 об/с до n2 = 14 об/с. Визначити кутове прискорення маховика і число обертів N, які він здійснив за час t. (31,4 рад/с²; 18 обертів) Маховик, який обертався з частотою n1 = 16 об/с, при гальмуванні почав обертатися рівносповільнено і виконав N = 314 обертів. Коли гальмування припинили, частота обертання маховика стала n2 = 4 об/с. Визначити кутове прискорення маховика і час t, протягом якого здійснювалось гальмування. (2,4 рад/с2; 31,4 с) Якір електродвигуна обертається з частотою n0=50 об/с. Після вимкнення струму якір почав рухатися рівносповільнено і до зупинки зробив N = 1570 обертів. Визначити кутове прискорення якоря. (5 рад/с) Колесо обертається згідно з рівнянням φ = А + Вt + Сt2 + Dt3, де А = 1 рад, В = 4 рад/с, С = 0,5 рад/с2, D = 0,6 рад/с3. Визначити кутову швидкість і кутове прискорення в момент часу t = 2 с, середню кутову швидкість <> і середнє кутове прискорення <> за проміжок часу від t1 = 2 c до t2 = 4 c. (13,2 рад/с; 8,2 рад/с2; 23,8 рад/с; 11,8 рад/с2) Диск радіусом R = 4 см обертається навколо нерухомої осі так, що залежність кутової швидкості від часу задається рівнянням = Аt + Dt4, де А = 2 рад/с2, D = 0,5 рад/с3. Визначити повне прискорення α точок на ободі диска в момент часу t = 2 с після початку руху і число обертів N, виконаних диском. (5,8 м/с²; 1,15 обертів) Колесо обертається навколо нерухомої осі так, що кут його повороту залежить від часу як φ = Ct2, де С = 0,7 рад/с2. У момент часу t = 1,5 с лінійна швидкість точки на ободі колеса v = 0,5 м/с. Визначити повне прискорення α цієї точки. (1,1 м/с2) Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом φ = А + Вt + Ct2, де А = 5 рад, В = 8 рад/с, С = -1 рад/с2. Визначити повне прискорення точки, яка знаходиться на відстані R = 5 см від осі обертання, в момент часу t = 2 с. (0,8 м/с2) Тіло обертається навколо нерухомої осі так, що кут його повороту змінюється в залежності від часу t за законом φ = Вt – Ct2, де В = 2,4 рад/с, С = 0,3 рад/с2. Визначити момент часу t3, в який тіло зупиняється, та число обертів N тіла до зупинки. (4 с; 0,764 оберта) Тверде тіло обертається навколо нерухомої осі за законом φ = Вt – Dt3, де В = 6,0 рад/с, D = 2,0 рад/с3. Визначити середні значення кутової швидкості <> і кутового прискорення <> за проміжок часу від t = 0 до зупинки. Знайти кутове прискорення в момент зупинки тіла. (4 рад/с; 6 рад/с2; 12 рад/с2) Кутова швидкість тіла змінюється згідно з рівнянням = A + Bt + Ct2, де A = 3 рад/с, B = 2 рад/с2, С = 0,6 рад/с3. На який кут повернеться тіло за проміжок часу від t1 = 0 c до t2 = 10 c. Знайти середню кутову швидкість <> за цей проміжок часу. (330 рад; 33 рад/с) Тверде тіло починає обертатися навколо нерухомої осі з кутовим прискоренням = Аt, де А = 0,5 рад/с3. Через який час t після початку обертання вектор повного прискорення α довільної точки тіла буде утворювати кут α = 450 з її вектором швидкості v ? (2 с) Тверде тіло обертається навколо нерухомої осі так, що його кутова швидкість залежить від кута повороту φ за законом = 0 – Aφ, де 0 = 0,8 рад/с, А = 0,5 с-1. В момент часу t = 0 с кут φ = 00. Визначити кут повороту φ і кутову швидкість в момент часу t = 2 с. (1,01 рад; 0,29 рад/с) При обертанні маховика його кутове прискорення змінювалося за законом = А – В, де А = 0,8 рад/с2, В = 0,2 с-1. Перед гальмуванням кутова швидкість маховика 0 = 2 рад/с. Якою буде кутова швидкість маховикачерез час t = 5 с після початку гальмування? (3,3 рад/с) 3. Динаміка матеріальної точки |