Последняя тайна бога (И. Мисюченко). И. Мисюченко Последняя тайна
 Скачать 6.4 Mb.
|
|
Глава 11. Атом водорода и строение вещества § 11.1. Простейшая модель атома водорода. Всё ли изучено? Развив представления о строении элементарных частиц, можно перейти к представлениям о более крупных и сложных структурных единицах зримой материи, к атомам. Самым простым и хорошо изученным на сегодняшний день представляется атом водорода, состоящий из одного протона и одного электрона. В начале XX века трудами Резерфорда и Бора была создана планетарная модель атома водорода. Согласно этой модели, электрон совершает круговое движение вокруг протона таким образом, что центробежная сила компенсирует силу Кулоновского притяжения между электроном и протоном, подобно тому, как при движении планет по орбитам центробежная сила компенсирует силу тяготения. У этой модели был, казалось, лишь один серьёзный недостаток: учёные уже знали, что движущийся ускоренно электрон должен излучать электромагнитные волны и, соответственно, терять энергию. Поэтому он должен был упасть на протон. Правда, тогда учёные даже не задавались вопросом, а как долго будет излучать электрон под воздействием постоянного ускорения? Микросекунду? Секунду? Час? Год? Вечность? Даже не поставив в явной форме вопроса, они безмолвно приняли ответ «вечность». Нам трудно понять почему, но так случилось. Изучив данные о спектрах излучения и поглощения атомов водорода, проанализировав массу других данных, учёные пришли к выводу, что электрон в атоме водорода может двигаться не с любыми скоростями и не на любом расстоянии от протона, а лишь с определёнными скоростями и на определённых расстояниях. Эта идея известна как «постулаты Бора». Первый постулат Бора гласит, что электрон, движущийся по стационарным орбитам, не излучает электромагнитных волн и, следовательно, такое состояние атома устойчиво. Кроме того, этот постулат связывает радиус n-той орбиты и скорость движения электрона по орбите h n vr m B = 0 ( 3 , 2 , 1 = n ). Величину h именуют модифицированной постоянной Планка π 2 h = h , а целое число n – номером орбиты или «главным квантовым числом». Второй постулат касается излучаемых атомом частот: при переходе с орбиты на орбиту электрон излучает порцию электромагнитной энергии с частотой h E E m n − = ν , пропорциональной разности энергий стационарных состояний электронной орбиты. Сейчас, понимая, что электрон под воздействием постоянного ускорения не может излучать вечно, мы перефразировали «излучательную проблему» модели Бора: почему электрон излучает, переходя с орбиты на орбиту, понятно – потому что деформируется, а вот почему квантованы радиусы орбит? На этот вопрос мы тоже попытаемся ответить, но чуть позже. Пока же отметим, что, несмотря на отсутствие объяснений, постулаты Бора дали возможность рассчитать атом водорода, прежде всего его энергетические уровни, и сравнить их со спектрами излучения. Высокая степень совпадения расчета с опытами впечатляет и по сей день, однако, как оказалось, более тонкие эксперименты выявили массу особенностей, которые модель Бора никак не предсказывала. Под давлением опытных данных от полуклассической модели Бора в итоге отказались (её трудно было развивать, так как она изначально мало что объясняла, базируясь на постулатах) и заменили ещё менее внятной и ещё более перегруженной постулатами квантово- механической моделью, основанной на уравнении Шрёдингера. Все модели атома водорода традиционно проверяются по энергии связи электрона с протоном. А энергия вычисляется, конечно же, по тончайшим спектральным опытам. Следовательно, собирая И. Мисюченко Последняя тайна Бога 199 свою версию модели атома водорода, мы должны как минимум объяснить энергию связи. Понимая теперь, что энергия связи напрямую связана с дефектом массы в системе элементарных зарядов, мы можем сразу рассчитать дефект массы (т.е. дефект инерции), а из неё уже энергию. Явление дефекта масс обнаружено для ядер атомов, существует ли дефект масс при присоединении к ядрам электронов, кажется, никто не изучал. Мы теперь понимаем, что дефект массы в ядрах возникает ровно по тому же механизму, по которому должен возникать дефект массы при образовании атомов. Просто «атомный дефект» на много порядков меньше по величине. Напомним, что (глава 5) явление дефекта массы объясняется как явление взаимоиндукции двух разноименных, близкорасположенных, ускоренно движущихся зарядов. Рис. 11.1. Взаимоиндукция электрона и протона в атоме водорода при ускоренном прямолинейном движении атома, как целого Для выяснения механизма образования дефекта масс нам необходимо принять некую модель строения атома водорода. Можно просто взять электрон и протон, отстоящие друг от друга на первый радиус Бора. В этом случае расчёты будут настолько просты, что читатель может легко проделать это самостоятельно. Но нам часто указывали, что электрон, дескать, движется и поэтому «размазан» по орбите и надо рассматривать размазанный, а не сосредоточенный электрон. Коль так, то мы рассмотрим именно такой «размазанный» электрон и покажем, что на результат это ни в малейшей степени не повлияет. Поскольку такая модель симметрична в любой плоскости, проходящей через центр системы (протон), то мы упростим модель до плоской, полагая электрон отрицательно заряженным тонким кольцом, а протон - сферическим зарядом в центре кольца. Радиус Бора B r на несколько порядков превышает как радиус протона, так и радиус электрона (рис. 11.1). Приняв указанную модель, рассмотрим, какие явления возникнут, если придать ускорение ar всей системе. Как мы уже отмечали в главе 5, в этом случае возникнут два рода явлений: во-первых, каждый компонент системы (протон и электрон) будут проявлять свойства самоиндукции, т.е. инерционной массы, а во-вторых, они будут И. Мисюченко Последняя тайна Бога 200 влиять друг на друга, то есть ускоряемый электрон будет оказывать особое силовое воздействие на протон и наоборот. Природа этого силового воздействия весьма проста: и протон и электрон, двигаясь равноускоренно, являют собой не только заряды, но и переменные токи, т.е. должны проявлять взаимоиндукцию. В силу специфически выбранной геометрии (рис. 11.1) мы уже не можем рассматривать электрон как точечный заряд и вынуждены рассмотреть взаимодействие протона с каждым бесконечно малым элементом dq полного заряда электрона, а затем проинтегрировать по кольцу. Сила, которую будет оказывать элемент заряда dq на протон, будет определяться через напряжённость электрического поля dE , создаваемого переменным магнитным полем dB ускоренно движущегося элемента dq : (11.1) qdE dF = Поскольку dE - это напряжённость поля самоиндукции, которую мы научились считать в главе 4, то: (11.2) dt dB r dE B 2 1 = , где B r - радиус Боровской орбиты, а dB есть магнитное поле, созданное меняющимся током, который является ускоренно движущимся элементом заряда dq . Соответствующая математика разработана Био, Саваром и Лапласом для магнитного поля элемента тока, однако в нашем случае есть отличие. Элемент dl не сонаправлен с током, а образует с ним некий угол α − 90 . Отметим, что угол α образуют также радиус, проведенный от элемента заряда dq к протону и направление действия ускорения a (рис. 11.1). Такая конфигурация элемента заряда и направления тока приводит к тому, что вместо длины dl элемента тока dI следует рассматривать его проекцию на направление действия ускорения a . Кроме того, поскольку весь заряд электрона q размещён на кольце радиуса B r , то элемент заряда dq может быть выражен через элемент длины dl как: (11.3) dl r q dq B π 2 = Таким образом, для элемента тока dI можем записать: (11.4) α π sin 2 dl v r q Idl dI B ⋅ = = , где v - скорость движения элемента заряда вдоль направления ускорения. Для такого элемента тока формула Био-Савара-Лапласа даёт выражение для его магнитного поля в месте нахождения протона: (11.5) α π μ α π π μ α π μ 2 3 2 0 2 2 0 2 0 sin 8 sin 2 4 sin 4 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = v r qdl v r dl r q r dI dB B B B B Определим теперь производную магнитного поля элемента тока по времени для подстановки в выражение (11.2): И. Мисюченко Последняя тайна Бога 201 (11.6) a r qdl dt dv r qdl dt dB B B ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = α π μ α π μ 2 3 2 0 2 3 2 0 sin 8 sin 8 Подставив результат в выражение (11.2), получим: (11.7) a r qdl dt dB r dE B B ⋅ ⋅ = = α π μ 2 2 2 0 sin 16 2 1 Подставив dE в выражение для силы (11.1), получим: (11.8) a r dl q qdE dF B ⋅ ⋅ = = α π μ 2 2 2 2 0 sin 16 Далее мы должны проинтегрировать все dF для всех возможных положений элементов dl . Чтобы перейти к интегрированию по углу, выразим dl через малый угол α d : (11.9) α α d r d r dl B B = ⋅ = sin , так как синус бесконечно малого угла равен самому углу. Таким образом, полная сила, действующая со стороны электрона-кольца на расположенный в центре точечный протон будет представлять собой интеграл элементарных сил dF по всем углам α от нуля до π 2 : (11.10) a r q d r a q d r r a q dF F B B B B r r r r ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ∫ ∫ ∫ π μ α α π μ α α π μ π π 16 sin 16 sin 16 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 0 Теперь вспомним, что не только электрон воздействует на протон, но и протон оказывает ровно такое же воздействие на электрон, причём силы эти сонаправлены. Следовательно, полученный результат (11.10) следует удвоить для получения полного значения «дефекта силы»: (11.11) a r q F F B полн r ⋅ = = π μ 8 2 2 0 Нетрудно проверить, что полученная нами полн F противонаправлена силе инерции. Таким образом, реакция на ускорение для системы электрон-протон оказывается меньше (чем простая сумма реакций протона и электрона) на величину (11.11), что воспринимается, как «дефект массы». (11.12) B r q m π μ 8 2 0 = Δ Замечательно то, что выражение для дефекта массы (11.12) имеет ровно тот же самый вид, что и выражение для самой массы элементарных частиц (5.18), только вместо радиуса частицы в выражение входит расстояние между частицами. Если через эту массу выразить энергию, пользуясь соотношением Эйнштейна, то получим: И. Мисюченко Последняя тайна Бога 202 (11.13) эВ r q c m W B 6 13 8 0 2 2 = = ⋅ Δ = Δ πε , что и являет собой известную из опыта энергию связи электрона в атоме водорода. Можно ли измерить массу атома водорода с такой точностью, что мы зафиксируем дефект массы? Нам это неизвестно, но несомненно, что рано или поздно такое измерение будет произведено и дефект массы атома водорода будет определён экспериментально. § 11.2. Постулаты Бора, квантовая механика и здравый смысл Вернёмся теперь к почти классическим представлениям Бора об атоме водорода от 1913 года и посмотрим, что же привело физиков к отказу от идей классической физики и зарождению квантовой механики. Если считать элементарные частицы точечными зарядами и не интересоваться их внутренним устройством, если ограничиться эмпирическим законом Кулона и не вдаваться в механизм взаимодействия зарядов, если чересчур буквально воспринять планетарную аналогию, то, конечно же, модель Бора оказывается крайне неудовлетворительной. Она не способна самостоятельно существовать без «костылей» - постулатов Бора. Постулаты всегда напоминают нам надгробия с надписью: «здесь умерло физическое объяснение». Но коль скоро можно заявить, что квантование орбит электрона есть фундаментальное явление и не нам, дуракам, искать ему причины, то почему бы не заявить, что квантованность вообще является свойством всего и вся? В принципе, такой взгляд есть всё та же ссылка Ньютона на волю Божью. В начале XX века, под грохот революций, революционная идея о всеобщей квантованности всего казалась ох какой многообещающей. Всерьёз никто так и не поставил вопрос: а почему? Почему электрон может вечно крутиться по стационарным орбитам, но не может и микросекунды прожить на произвольной орбите? Вместо ответа - постулаты. Вместо объяснений - уравнения. Так родилось больное дитя XX века квантовая механика. Понимая теперь, что элементарные частицы есть вращающееся вокруг центра поле, что скорость света есть тангенциальная скорость движения поля на «поверхности» любой частицы, мы понимаем и то, что каждая точка поверхности электрона при его движении по атомной орбите будет описывать циклоиду. Форма циклоиды зависит от радиуса электрона, скорости света, радиуса орбиты и скорости движения по орбите. Отсутствие излучения на стационарной орбите говорит о том, что электрон на этой орбите являет собой что-то вроде стоячей волны. Это означает, что при полном обороте вокруг ядра каждая точка поверхности электрона, описав циклоиду, должна вернуться в то самое положение, которое было ровно оборот тому назад. Можете проверить сами, что такое условие (с учётом жёсткой взаимосвязи в атоме водорода между размером орбиты и скоростью вращения электрона!) приводит к тому, что допустимыми оказываются не любые орбиты, а только те, что удовлетворяют условию h n vr m B = 0 . Ну и что тут загадочного, хотели бы мы спросить? Обыкновенный резонанс... Правда, чтобы всё выглядело так просто, надо понимать, как устроены элементарные заряды, а в этом вопросе физика и по сей день находится на средневековом уровне понимания. Да, вопрос о сущности заряда был трудным. Но здравый смысл исследователя заставляет нас искать ответы на трудные вопросы, поставленные классической физикой, а не отказываться чохом от всех её достижений только потому, что ответы не сразу нашлись. К этому мы призываем и наших читателей. Теперь хорошо бы понять, как именно наши представления изменят картину происходящего в атоме водорода и не выяснятся ли какие-то измеримые эффекты, позволяющие проверить изложенную гипотезу. И. Мисюченко Последняя тайна Бога 203 § 11.3. Индукционная поправка к энергии связи Как показано в главе 9, сама природа электрических зарядов тесно связана с криволинейными замкнутыми токами. Движущийся вокруг ядра в атоме водорода электрон являет собой также криволинейный ток. Криволинейный ток есть ток переменный. Переменный ток должен порождать явления индукции, то есть влиять на заряды, в том числе на заряд ядра. Предположим, что электрон движется в атоме H по кольцевой траектории с радиусом Бора B r и скоростью v . Здесь и далее под длиной электрона или длиной элемента тока будем понимать удвоенный радиус (т.е. диаметр) электрона. Тогда, мгновенный ток, текущий по кольцу-электрону, полагаем: (11.14) 0 2 r qv I π = Где 0 r - радиус электрона. Поскольку этот ток является криволинейным, то есть ускоренным, то он является переменным: (11.15) 0 0 2 2 r qa r qv dt d dt dI π π = = , где a - центростремительное ускорение, которое испытывает каждый элемент тока при движении по окружности со скоростью v Подставляя известное из кинематики выражение для ускорения B r v a 2 = , получим: (11.16) B B r r qv r qa dt dI 0 2 2 2 π π = = Понятно, что для элемента тока Idl можем записать: (11.17) dl r r qv dl r qa dt dIdl B B 0 2 2 2 π π = = Как следует из закона Био-Савара-Лапласа, каждый элемент тока Idl создаёт в точке нахождения пробного заряда «элементарное» магнитное поле: (11.18) 3 0 ] , [ 4 r r l d I dB r r π μ = Нами уже было показано в главе 4, что переменное магнитное поле элементарного тока порождает электрическое: (11.19) 2 0 ] , [ 8 2 1 r r l d I B d B B r B d v E d B r r &r r & r r r r π μ = = = Теперь подставим в это выражение значение производной элементарного тока из (11.17): И. Мисюченко Последняя тайна Бога 204 (11.20) ( ) r l d r r qv E d B β π π μ sin 2 8 0 2 0 r r ⋅ ⋅ = Это дополнительное электрическое поле, вызванное криволинейностью движения электрона по орбите, должно вносить поправку в величину силы, связывающей электрон с ядром. Сила воздействия этого поля на ядро пропорциональна заряду ядра и проявляется на расстоянии Бора. То есть: (11.21) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 8 2 2 8 sin 2 8 B B B B r v q r r r r v q r l d r r v q E qd dF ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = π μ π π μ β π π μ r r Центростремительная сила, уравнивающая силу Кулона в атоме, может быть определена как: (11.22) B цс r v r q a m F 2 0 2 0 0 8 ⋅ ⋅ = = π μ Тогда отношение найденной поправки (11.21) к силе Кулона будет равно: (11.23) δ π α π = = = 2 2 0 B цс r r F dF , где α ≈1/137 есть постоянная тонкой структуры. Мы получили поправку к силе, осталось определить поправку к энергии. Поскольку энергия ионизации - это работа, которую потребуется совершить, чтобы удалить электрон от Боровского радиуса на бесконечность, то можно проинтегрировать силу по dr . Следует учесть, однако, что Боровский радиус также изменится в силу поправки. Потенциал ионизации (энергия связи) для атома водорода хорошо известна и составляет по данным из [2] 13.598 эВ. Отметим это число, ввиду его довольно высокой точности и надёжности. Чтобы можно было бы заметить нашу поправку, следует рассмотреть более точную классическую модель атома водорода и учесть сначала всё, что только можно учесть в рамках классических представлений. И уж тогда постараться понять, отличается ли расчётная энергия от экспериментальной и если да, то может ли это расхождение объясняться нашей «индукционной» поправкой. Кстати говоря, криволинейность орбиты электрона в атоме должна приводить к тому, что атом водорода в целом должен обладать очень слабым отрицательным электрическим зарядом. Это означает, что атомы водорода должны испытывать очень незначительное взаимное отталкивание. А значит, при весьма низких температурах водород может находиться в атомарном состоянии, несмотря на то, что молекулярное состояние энергетически выгоднее. Насколько нам известно, атомарный водород давно уже получен в лабораториях и удержан в течение как минимум нескольких часов. § 11.4. Учет конечности массы ядра Хотя масса M ядра водорода (протона) в 1836 раз больше массы e m электрона, движущегося по орбите в атоме, было бы неправильным считать, что в этой И. Мисюченко Последняя тайна Бога 205 «динамической» модели атома протон покоится. Как указал А. Зоммерфельд (1916), в силу законов сохранения энергии и импульса ядро и электрон должны вращаться относительно общего центра масс с одинаковой угловой скоростью. Влияние этого движения ядра на энергию электронных состояний можно учесть, просто заменив массу электрона e m «приведенной массой». В этом случае величина уровней энергии атома изменится на коэффициент ) /( e m M M + , где M – масса ядра. Следовательно выражение для постоянной Ридберга примет вид, соответственно [5]: (11.24) ) /( e m M M R R + = ∞ Смещение уровней энергии приведет к сдвигу положения линий в спектре, называемому изотопическим сдвигом. Все энергетические уровни сместятся ровно настолько, насколько изменится постоянная Ридберга. Соответственно: (11.25) = + ⋅ = ) /( 0 e m M M W W 13.6058эВ*1836/1837=13.5984эВ. Именно эту величину рекомендует CODATA [6]. Впредь именно к этой величине мы и будем искать предложенную нами в (11.23) поправку. § 11.5. Расчет величины поправки и вычисление точного значения энергии ионизации Теперь попытаемся перейти от поправки для силы к поправке для энергии связи. Радиус первой орбиты изменится настолько, насколько изменится сумма сил Кулона и индукции. Для получения энергии ионизации следует вычислить энергию, необходимую для удаления электрона с поправленной орбиты Бора в бесконечность. Это можно сделать путём интегрирования силы Кулона: (11.26) 2 2 0 0 2 2 0 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 8 4 ) 1 ( α π α π δ δ πε πε δ δ + − = − + = − = Δ ∫ ∞ + W r q dr r q W B r B B здесь 0 W - это энергия ионизации, вычисленная без индукционных поправок. На основании (11.25), подставляя значения, получим : (11.27) эВ эВ W 5982 13 2 2 5984 13 2 2 = + − ⋅ = Δ α π α π Как видим, поправка эта мала, (11.28) эВ эВ W W 4 - 5 - 2 10 * 2.30 10 * 1.6947 5984 13 = ⋅ = Δ = π α δ порядка 10 -5 (четвёртый знак после запятой) и того же порядка малости π α 2 , что и так называемая релятивистская поправка Зоммерфельда (1931). Эффект достаточно мал. Существует ли этот эффект в реальности и влияет ли он на структуру энергетических спектров атома водорода - это хороший вопрос для экспериментальной физики. И. Мисюченко Последняя тайна Бога 206 Как известно, структура спектров атома водорода в современной физической литературе описывается с учётом релятивистских поправок как [3]: (11.29) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = 4 3 2 1 1 5984 13 2 2 2 , j n n n эВ W j n α где: α - постоянная тонкой структуры, j - собственное значение оператора углового момента, n - главное орбитальное квантовое число. Для случая наинизшего уровня энергии получим, что величина поправки к энергии 4 2 α δ ⋅ = W W , то есть близкого порядка величины к (11.28). Ещё одно выражение для релятивистской поправки дано в [4]: (11.30) 4 5984 13 2 1 6058 13 2 2 α δ α ⋅ = ⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = эВ W n Z эВ W n весьма близко к π α 2 полученной в (11.28)! Таким образом, предложенная в данной работе "индукционная" поправка к энергии ионизации атома водорода, с одной стороны, очень близка к известной релятивистской поправке Зоммерфельда, а с другой стороны, её величина находится на грани возможностей современного эксперимента. Мы полагаем, что при движении электрона в атоме водорода проявляются не релятивистские эффекты, а как раз индукционные явления, нигде и никем ранее не учтённые. Возможно, именно их и принимали исследователи за «релятивистский эффект». Точность экспериментального определения этой поправки, видимо, не позволяет выяснить прямо сейчас, что ближе к истине, наши π α 2 или же Зоммерфельдовские 4 2 α , однако, полагаем, что время и искусство экспериментаторов всё расставят по своим местам. § 11.6. Альфа и странные совпадения Как теперь мы твёрдо понимаем, любой заряд q ограниченных размеров r при попытке его ускоренно двигать с ускорением a оказывает сопротивление ускорению с силой F : (11.31) a m a r q a r q F ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ) 10 5 0 ( 8 2 7 2 0 π μ Коэффициент пропорциональности m , связывающий силу F и ускорение a , ранее назывался «массой» и, по сути, был введен без каких-либо попыток выяснения механизма И. Мисюченко Последняя тайна Бога 207 самого явления инерции. Ускоренное движение заряда эквивалентно протеканию переменного тока dt dI / в том месте, где расположен заряд q . Переменный ток всегда вызывает явления индукции и самоиндукции. В данном случае речь идёт именно о самоиндукции. Переменный ток ускоренно движущегося заряда создаёт ЭДС самоиндукции, направленную (по правилу Ленца) таким образом, чтобы воспрепятствовать ускорению. Для вычисления силы сопротивления заряда ускорению необходимо знать величину заряда q и характерный размер (радиус) этого заряда r , соответственно формуле (11.31). Обращаясь к движению электрона в атоме водорода, отметим, что нам известен радиус первой Боровской орбиты B R и скорость движения электрона по первой орбите v Отсюда мы можем получить ускорение электрона a и силу самоиндукции s F . Эта сила должна быть в точности равна силе Кулона c F , действующей между электроном на первой орбите и протоном ядра. Как известно из кинематики кругового движения, ускорение a равно: (11.32) R v a 2 = Тогда, в соответствии с главой 5, имеем для силы самоиндукции s F : (11.33) B S R v r q a r q F 2 0 2 0 0 2 0 8 8 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = π μ π μ С другой стороны, сила Кулона c F между двумя зарядами (протоном и электроном): (11.34) 2 2 0 4 1 B C R q F ⋅ = πε Из условия равенства сил самоиндукции (11.33) и Кулона (11.34) получим: (11.35) 2 2 0 2 0 2 0 4 1 8 B B R q R v r q ⋅ = ⋅ ⋅ πε π μ Сокращая и приводя подобные, получим: (11.36) B R r v / 2 / 0 2 0 0 = μ ε , или, выражая диэлектрическую и магнитную постоянные через скорость света c : (11.37) B R r c v 0 2 2 2 = , иначе говоря, радиус электрона 0 r можно выразить через радиус первой Боровской орбиты B R , скорость движения электрона по первой Боровской орбите v и скорость света c : И. Мисюченко Последняя тайна Бога 208 (11.38) 2 2 0 2 c v R r B ⋅ = , т.е. половина Боровского радиуса делить на отношение квадратов скоростей. Подставляя хорошо известные значения: B R =5.292*10 -11 м, v =2.18*10 6 м/c, c =3*10 8 м/c, получим: (11.39) 15 2 2 0 10 4 1 2 − ⋅ ≈ ⋅ = c v R r B То есть именно тот радиус электрона, который мы получали ранее из других соображений (магнитных, электростатических, энергетических и т.д). Попутно отметим, что отношение скоростей есть постоянная тонкой структуры «альфа», соответственно: (11.40) 2 2 2 2 0 137 1 2 2 2 ⋅ ≈ ⋅ = ⋅ = B B B R R c v R r α Теперь зададимся вопросом, а не имеет ли место полученное нами соотношение (11.39) и для других орбит атома водорода в модели Бора (n=2, 3…)? Как ни удивительно, но ответ: да, имеет. В самом деле, поскольку [2] между скоростью движения электрона по некоторой Боровской орбите и радиусом этой орбиты существует известная зависимость: (11.41) n n R m q v 0 0 2 2 4 πε = , где 0 m - масса электрона, n v - скорость на орбите, n R - радиус орбиты, n - номер орбиты. Здесь 0 ε - диэлектрическая проницаемость вакуума, q - элементарный заряд. Подставляя это значение квадрата скорости и радиус n-й орбиты в (11.39) получим: (11.42) 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 8 8 2 1 m q c m q c v R r n n π μ πε = = = Здесь 0 μ - магнитная проницаемость вакуума. То есть получили выражение для радиуса электрона 0 r , не зависящее от номера орбиты. То есть верное для любой орбиты. И, разумеется, это выражение полностью согласуется с нашей многократно выведенной формулой для массы электрона. Отсюда можно сделать вывод, что стационарные орбиты и соответствующие скорости электронов в атоме водорода таковы, каковы они есть, именно благодаря определённому размеру электрона и присущей ему внутренней скорости движения поля. § 11.7. Загадочный гидрид-ион и шесть процентов А что если усложнить задачу и поставить интересный вопрос, а какова энергия связи и связанный с ней полный дефект масс в отрицательном ионе водорода H - , который является уже гелий-подобным атомом? И. Мисюченко Последняя тайна Бога 209 По привычной уже схеме можно в первом приближении сказать, что дефект масс будет складываться из дефекта создаваемого взаимодействием каждого электрона с протоном плюс взаимодействие электронов. Причём взаимодействие электронов будет иметь отрицательный знак дефекта масс (т.е. положительный знак массы). Однако, электроны находятся друг от друга на расстоянии вдвое большем, чем до протона, значит, этот субдефект будет вдвое меньше: (11.44) B B B r q r q r q m π μ π μ π μ 8 2 3 2 16 8 2 2 0 2 0 2 0 ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = Δ (Обратите внимание, что взаимодействий электронов с протоном четыре, а взаимодействий электрона с электроном два, и они учитываются только один раз внутри скобок, второй раз учёт происходит при умножении всей скобки на 2). Если бы радиус Бора не изменился, энергия, соответственно, составила бы: (11.45) эВ эВ r q c m W B 4 20 6 13 2 3 8 2 3 0 2 2 = ⋅ = ⋅ = ⋅ Δ = Δ πε , что разительно отличается от экспериментального значения 14.4 эВ = 1.395 кДж/моль. Теперь мы должны пересмотреть Боровский радиус B r для случая двух электронов. Кулоновское взаимодействие каждого электрона с протоном будет ослаблено вторым электроном на четверть (так как сила Кулона обратно квадратична по расстоянию, а расстояние до второго электрона вдвое больше, чем до протона). Поскольку радиус Бора определяется по условию равенства центробежной силы и силы Кулона, то в нашем случае можем записать: (11.46) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = B B B r v m r v r q r q 2 0 2 0 2 0 2 0 2 8 4 π μ πε , где v - скорость электрона. Вторым равенством, позволяющим найти и скорость и радиус Бора, традиционно считается выражение для импульса электрона: (11.47) B B vr r q vr m 0 2 0 0 8 π μ = = h Из этих выражений видим, что радиус Бора ' B r увеличится (в случае двух электронов) на ту же четверть, на которую ослабела сила Кулона. Значит, полученную в выражении (11.45) энергию можно записать как: (11.48) моль кДж эВ эВ r q c m W B / 482 1 3 15 4 20 4 3 8 4 3 0 2 2 = = ⋅ = ⋅ = ⋅ Δ = Δ πε Экспериментальная же энергия связи составляет 14.4 эВ = 1.395 кДж/моль. То есть ошибка составила около 6%. Это существенное расхождение, которое нам до сих пор не удалось объяснить феноменологически. Мы пытались учесть и магнитные поля частиц, и взаимоиндукцию между ними, но всё это давало лишь поправки четвёртого-пятого И. Мисюченко Последняя тайна Бога 210 порядка малости. На данный момент мы придерживаемся осторожной гипотезы, что возможно при чётном числе электронов на внешней орбите имеет место другая кинематика , т.е. спаренные электроны движутся не так, как одиночный электрон. Например, совершают совместное вращение ещё и в другой плоскости. Из-за этого орбита оказывается чуть дальше, а энергия отрыва чуть ниже. Причиной такого поведения спаренных электронов служит симметрия системы. Система с одним электроном менее симметрична, и, по-видимому, не может совершать вращение одновременно в двух плоскостях. Впрочем, мы надеемся, что и с этим вопросом разберутся те читатели, которые имеют больше опыта или времени. Попутно отметим, что из (11.46) непосредственно следует выражение для радиуса электрона из характеристик атома водорода: (11.49) м r c v r B 15 2 2 0 10 4 1 2 1 − ⋅ = = , где v =2.18 Мм/c - скорость электрона в атоме H, c =2.99٠10 8 м/с - скорость света в вакууме, B r =5.29٠10 -11 м - радиус Бора. Попробуем посчитать дефект масс и энергию связи для гелия. Два протона, два электрона. Заряд ядра увеличился вдвое. Значит: (11.50) B B B B B r q r q r q r q r q m π μ π μ π μ π μ π μ 16 7 16 8 4 2 16 8 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 = − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = Δ Радиус Бора теперь, понятно, уменьшился вдвое из-за увеличения заряда ядра и увеличился на одну восьмую из-за второго (экранирующего) электрона, так что окончательно имеем: (11.51) B B B r q r q r q m π μ π μ π μ 128 98 16 7 8 7 2 16 7 2 0 2 0 ' 2 0 = ⋅ ⋅ = = Δ , (11.52) эВ эВ r q c m W B 3 83 6 13 16 98 8 16 98 0 2 2 = ⋅ = ⋅ = ⋅ Δ = Δ πε =8.066 кДж/моль Экспериментальное значение - 79 эВ=54.4+24.6 эВ = 7.607 кДж/моль. Что показывает хорошее совпадение с результатом, и, тем не менее, не вполне удовлетворительное. Снова два электрона на внешней орбите, как в случае гидрид-иона, и снова расхождение с экспериментом в энергии связи. И снова в ту же сторону. По- видимому, мы имеем дело с тем же явлением – вращением пары электронов гелия ещё и в другой плоскости. Литература 1. К.Ленг. Астрофизические формулы. Часть 1. Издательство «Мир». Москва. 1978. С. 328. 2. Википедия. Атом водорода http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%82%D0%BE%D0%BC_%D0%B2%D0%B E%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0#.D0.AD.D0.BD.D0.B5.D И. Мисюченко Последняя тайна Бога 211 1.80.D0.B3.D0.B5.D1.82.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B9_.D1.81.D0.B F.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80 3. Ю.К.ЗЕМЦОВ, К.В.БЫЧКОВ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АТОМНОЙ ФИЗИКЕ http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_3_Hydrogen/Chapter_13/Chapter_13.htm 4. Лабораторная работа 1.5 В.Ж.Мадирбаев, Стр. 2, 5 и 6 http://www.phys.nsu.ru/atom/text/Labwork(atom)1-5.pdf 5. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 1998*,†Peter J. Mohr and Barry N. Taylor National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, Maryland 20899-8401 6. Атом водорода. Линейчатые спектры. «Мир Физики» http://www.fizmir.org/bestsoft/9_3.htm |