вкр. ВКР Лазарева. Имитационное моделирование систем массового обслуживания с динамическим приоритетом

• Название: Имитационное моделирование систем массового обслуживания с динамическим приоритетом
• Дата: 07.01.2023
• Размер: 1.02 Mb.
• Имя файла: ВКР Лазарева.docx
• Тип: Документы; #875109
• страница: 3 из 5

Глава 2. Математическое описание модели

§2.1. Постановка задачи

Рассмотрим многоканальную СМО, в которую поступают заявки двух типов: первый тип – главные, но поступающие редко заявки, второй тип – второстепенные, но зачастую поступающие заявки, которые при этом невозможно терять. Заявки обоих типов поступают самостоятельно друг от друга и образуют простейшие потоки с интенсивностями ,



Рис.2.Схема СМО.

Обслуживают заявки операторов имеющих одинаковую квалификацию со средним временем обслуживания для первого типа заявок и для второго. Для всего типа заявок формируется отдельная неограниченная очередь.

Всеобщая очередь в данном случае, видимо, не результативна, поскольку в таком случае главные, но редкие заявки первого типа будут долго ожидать начала обслуживания, что может быть недопустимо. Иные стратегии распределение источника (в данном случае операторов), такие как стратегия абсолютного приоритета или стратегия подвижной границы [26], [37] также не результативны, так как допускают либо потери заявок второго типа либо большую часть времени операторы, зарезервированные под заявки первого типа, будут простаивать.

Следственно, предложена дальнейшая тактика с динамическим приоритетом. Заявки первого типа имеют относительный приоритет (ждут окончания обслуживания текущей заявки и после этого встают на внеочередное обслуживание). После обслуживания заявки первого типа приоритет переходит к заявкам второго типа, если есть заявки второго типа в очереди для заявок второго типа. Если заявок второго типа в очереди нет, то приоритет остается у заявок первого типа. Подобно, после выхода из СМО обслуженной заявки второго типа приоритет переходит к заявкам первого типа, если есть заявки первого типа в соответствующей очереди. Если заявок первого типа в очереди нет, то приоритет остается у заявок второго типа. То есть при наличии заявок обоих типов заявки проходят на обслуживание «через одного», а при отсутствии заявок одного из типов (заявки первого типа реже по условию) приоритет (очередность) не передается. Таким методом достигается приемлемое среднее время ожидания начала обслуживания для редких, но главных заявок первого типа при отсутствии необслуженных заявок второго типа и минимальных простоях операторов.

§2.2. Математическая модель

1. Опишем сначала работу по обработке заявок первого типа.

Введем считающие процессы: - число заявок первого типа, поступивших в систему за время , ; - число обслуженных заявок первого типа за время , .

Точечные процессы , определяются своими компенсаторами и в соответствии с разложением Дуба-Мейера для субмартингалов [29]:

, (1)

, (2)

где и – неубывающие предсказуемые процессы и – мартингалы.

Для рассматриваемой в данной работе системы – пуассоновский процесс с компенсатором:

(3)
Компенсатор для процесса определяется следующим соотношением:
(4)
Здесь – число заявок первого типа в СМО в момент времени (в очереди или на обслуживании), – число заявок первого типа в очереди в момент времени . Соответственно это число заявок первого типа, находящихся непосредственно на обслуживании в момент времени .

Кроме этого, для в момент времени можно написать следующее основное балансовое соотношение:
. (5)
2. Аналогично опишем работу по обработке заявок второго типа.

Введем считающие процессы: - число заявок второго типа, поступивших в систему за время , ; - число обслуженных заявок второго типа за время , .

Точечные процессы , также определяются своими компенсаторами и :

, (6)

, (7)

где и – неубывающие предсказуемые процессы и – мартингалы.

Аналогично – пуассоновский процесс с компенсатором:
(8)
Компенсатор для процесса определяется следующим соотношением:
(9)
Здесь – число заявок второго типа в СМО в момент времени (в очереди или на обслуживании), – число заявок второго типа в очереди в момент времени .

Для в момент времени также можно написать основное балансовое соотношение:
. (10)
3. Опишем управление приоритетом через регулирование размеров очередей.

Для размера очереди из заявок первого типа в момент времени можно написать следующее балансовое уравнение:


(11)
где индикаторная функция, . Логика построения уравнения (11) следующая. Во-первых, размер очереди заявок первого типа может увеличиться на одну заявку, если поступит заявка первого типа ( ) в момент, когда все операторов заняты ( ). Во-вторых, размер очереди заявок первого типа может уменьшиться на одну заявку, если закончится обслуживание заявки первого типа ( ), заявок второго типа в очереди нет ( ), а заявки первого типа в очереди есть ( ). В-третьих, размер очереди заявок первого типа может уменьшиться на одну заявку, если закончится обслуживание заявки второго типа ( ) и есть заявки первого типа в очереди ( ).
Аналогичное уравнение верно и для размера очереди из заявок второго типа :


. (12)
Логика построения уравнения (12) полностью совпадает с предыдущей формулой. Во-первых, размер очереди заявок второго типа может увеличиться на одну заявку, если поступит заявка второго типа ( ) в момент, когда все операторов заняты ( ). Во-вторых, размер очереди заявок второго типа может уменьшиться на одну заявку, если закончится обслуживание заявки второго типа ( ), заявок первого типа в очереди нет ( ), а заявки второго типа во второй очереди есть ( ). В-третьих, размер очереди заявок второго типа может уменьшиться на одну заявку, если закончится обслуживание заявки первого типа ( ) и есть заявки второго типа в очереди ( ).