матстат КР. Индивидуальные семестровые задания Теория вероятностей
 Скачать 479.93 Kb.
|
|
Индивидуальные семестровые задания «Теория вероятностей» Вариант 1 1. Решить задачу с использованием классической формулы подсчета вероятностей. Ребенок играет с буквами разрезной азбуки А, А, А, К, Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово АТАКА? 2. Решить задачу с использованием теорем сложения и умножения. Работают одновременно три радиолокационные станции, которые засекают некоторый объект с вероятностями 0,1; 0,2; 0,3. Определить вероятность того, что: а) хотя бы одна из радиолокационных станций засечет объект; б) все станции засекут объект. 3. Решить задачу с использованием формулы полной вероятности. В магазин поступили однотипные изделия с 3-х заводов, причем 1-й завод поставляет 20% изделий, 2-ой – 30%, 3-й – 50%. Среди изделий 1-го завода 80%, 2- го – 60%, 3-го – 50% первосортных. Покупатель приобрёл первосортное изделие. Какова вероятность, что оно поступило с третьего завода? 4. Решить задачу с использованием формулы Бернулли. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход исключен) три партии из пяти или пять из восьми? 5. Решить задачу с использованием формул Пуассона или Муавра-Лапласа. Монета подброшена 40 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет в 25 случаях. 6. Распределения дискретных случайных величин. Случайная величина Х задана рядом распределения Х –1 1 2 4 Р с 0,3 0,4 0,1 Найти: а) с; б) функцию распределения и построить ее график; в) , , , 1 M X D X X P X 7. Распределения непрерывных случайных величин. Дана плотность распределения , [1; ]; 0, [1; ]. A x e f x x x e Найти 3 , , , , 2 4 e e A M X D X F x P X Индивидуальные семестровые задания «Теория вероятностей» Вариант 2 1. Решить задачу с использованием классической формулы подсчета вероятностей. В цехе работают 10 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам случайно отобрано 6 человек. Найти вероятность, что среди отобранных окажутся: а) пять женщин; б) хотя бы два мужчины. 2. Решить задачу с использованием теорем сложения и умножения. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем, в три места. 3. Решить задачу с использованием формулы полной вероятности. В группе 25 студентов, в том числе 4 отличника, 10 хорошо успевающих и 11 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки, хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью как отличную, так и хорошую оценки. Слабо занимающиеся студенты с равной вероятностью могут получить хорошую, удовлетворительную или неудовлетворительную оценки. Для сдачи экзамена наугад приглашается один из студентов. Какова вероятность того, что он получит отличную или хорошую оценку? 4. Решить задачу с использованием формулы Бернулли. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта во время гарантийного срока равна 0,1. Найти вероятность того, что из шести проданных в данный день телевизоров во время гарантийного срока потребует ремонта: а) ровно два; б) хотя бы один. 5. Решить задачу с использованием формул Пуассона или Муавра-Лапласа. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз. 6. Распределения дискретных случайных величин. Для дискретной случайной величины X с заданным рядом распределения: а) найти вероятности 2 P X , 4 P X , 1 3 P X ; б) построить график функции распределения случайной величины X ; в) составить ряд распределения случайной величины 3 1 Y X ; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y X –3 –1 0 2 4 9 p 0,1 0,2 0,2 0,1 0,3 0,1 7. Распределения непрерывных случайных величин. Дана плотность распределения 2 , при 0; ( ) 0, при 0. x Axe x f x x Найти , , , , A M X D X F x P X M X Индивидуальные семестровые задания «Теория вероятностей» Вариант 3 1. Решить задачу с использованием классической формулы подсчета вероятностей. В лотерее участвуют 30 билетов. Известно, что выигрышными являются 8 билетов. Некто покупает 6 билетов. Какова вероятность, что среди приобретенных билетов: а) будет хотя бы один выигрышный; б) будет 3 выигрышных билета. 2. Решить задачу с использованием теорем сложения и умножения. В первой урне 5 белых, 11 черных, 8 красных шаров, Во второй соответственно 10, 8, 6. Из обеих урн извлекают по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета? 3. Решить задачу с использованием формулы полной вероятности. Вероятность того, что изделие соответствует стандарту, равна 0,94. Принятая система проверки изделий на стандартность обеспечивает выбраковку негодных изделий с вероятностью 0,95, а вероятность забраковать стандартное изделие равна 0,03. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие будет признано стандартным? 4. Решить задачу с использованием формулы Бернулли. Пассажирское авто-предприятие, обеспечивающее автобусами городской маршрут, имеет 7 машин. Для нормальной перевозки пассажиров требуется не менее 6 автобусов. Найти вероятность нормального обслуживания пассажиров на ближайший день, если вероятность невыхода каждого автобуса на линии равна 0.15. Какова вероятность, что на линию выйдет не менее пяти автобусов? 5. Решить задачу с использованием формул Пуассона или Муавра-Лапласа. Фабрика выпускает в среднем 70% изделий первого сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760. 6. Распределения дискретных случайных величин. Для дискретной случайной величины X с заданным рядом распределения: а) найти вероятности 3 P X , 5 P X , 1 8 P X ; б) построить график функции распределения случайной величины X ; в) составить ряд распределения случайной величины 2 Y X ; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y X –2 –1 2 5 8 9 p 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 0,1 7. Распределения непрерывных случайных величин. Функция распределения непрерывной случайной величины задана формулой: 0, 0; 1 , 0. x x F x A e x Найти , , , , 0 1 A M X D X f x P X Индивидуальные семестровые задания «Теория вероятностей» Вариант 4 1. Решить задачу с использованием классической формулы подсчета вероятностей. В урне находится 7 шаров, из которых четыре красных и три синих. Наудачу из урны вынимают три шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров: а) все синие; б) не менее 2 синих. 2. Решить задачу с использованием теорем сложения и умножения. Работают одновременно три радиолокационные станции, которые засекают некоторый объект с вероятностями 0,1; 0,2; 0,3. Определить вероятность того, что: а) хотя бы одна из радиолокационных станций засечёт объект; б) все станции засекут объект. 3. Решить задачу с использованием формулы полной вероятности. Проверка качества выпускаемых изделий показала, что брак по продукции в среднем составляет 5%. Принятая система проверки изделий на стандартность позволяет пропустить бракованное изделие с вероятностью 0,04, а вероятность забраковать стандартное изделие равна 0,02. Найти вероятность того, что изделие признанное стандартным, действительно соответствует стандарту. 4. Решить задачу с использованием формулы Бернулли. Вероятность того, что автомобильный двигатель потребует ремонта после пробега в 100000 км, равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти автомобилей, имеющих пробег более 100000 км, капитальному ремонту не подвергались двигатели: а) на двух автомобилях; б) хотя бы на одном. 5. Решить задачу с использованием формул Пуассона или Муавра-Лапласа. Среднее число вызовов, полученных телефонисткой в час равно 120. Какова вероятность, что в ближайшую минуту она не получит вызов? 6. Распределения дискретных случайных величин. Для дискретной случайной величины X с заданным рядом распределения: а) найти вероятности 1 P X , 2 P X , 2 6 P X ; б) построить график функции распределения случайной величины X ; в) составить ряд распределения случайной величины 3 Y X ; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y X –4 –2 0 1 3 6 p 0,1 0,2 0,1 0,2 0,3 0,1 7. Распределения непрерывных случайных величин. Дана плотность распределения x f x A e . Найти: , , , , A M X D X F x 1 P X Индивидуальные семестровые задания «Теория вероятностей» Вариант 5 1. Решить задачу с использованием классической формулы подсчета вероятностей. В бригаде 5 мужчин и 3 женщины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся: а) две женщины; б) хотя бы один мужчина. 2. Решить задачу с использованием теорем сложения и умножения. В урне 2 белых, 3 чёрных, 5 красных шаров. Вынимают по очереди три шара. Определить вероятность того, что последние два шара красные. 3. Решить задачу с использованием формулы полной вероятности. Статистика кредитов в банке такова: 20% – государственные органы и другие банки, 50% – предприятия, остальные – физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита составляют, соответственно: 0,01, 0,03 и 0,15. Найти вероятность невозврата очередного выданного кредита. 4. Решить задачу с использованием формулы Бернулли. Всхожесть семян огурцов из данной партии составляет 90%. Найти вероятность того, что из 12 посеянных семян взойдет: а) десять семян; б) не менее одиннадцати. 5. Решить задачу с использованием формул Пуассона или Муавра-Лапласа. Проводятся испытания 1000 образцов на усталость. Вероятность поломки для каждого в течение суток 0,001. Найти вероятность того, что в течение суток сломается менее 2-х образцов. 6. Распределения дискретных случайных величин. Для дискретной случайной величины X с заданным рядом распределения: а) найти вероятности 2 P X , 4 P X , 0 7 P X ; б) построить график функции распределения случайной величины X ; в) составить ряд распределения случайной величины 2 3 Y X ; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y X –4 –2 0 2 6 7 p 0,1 0,1 0,3 0,2 0,1 0,2 7. Распределения непрерывных случайных величин. Функция распределения непрерывной случайной величины задана формулой 2 0, 1; ( ) , 1 2; 1, 2. x F x Ax Bx x x Найти: , , , , , 3 A B M X D X f x P X Индивидуальные семестровые задания «Теория вероятностей» Вариант 6 1. Решить задачу с использованием классической формулы подсчета вероятностей. На вечеринку приглашены 12 человек, в том числе Катя и Андрей. Приглашенные случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что Катя и Андрей окажутся сидящими рядом. 2. Решить задачу с использованием теорем сложения и умножения. При повышении напряжения в сети машина А выходит из строя с вероятностью 0,1, а машина В – с вероятностью 0,2. Определить вероятность того, что: а) обе машины выйдут из строя; б) хотя бы одна из машин выйдет из строя, если машины выходят из строя независимо друг от друга. 3. Решить задачу с использованием формулы полной вероятности. Анализ невозврата кредитов в банке показывает, что в среднем кредит не возвращают 7% клиентов. Принятая в банке система контроля за выдачей кредита позволяет отсеять 96% ненадежных заемщиков, но в то же время отклоняет запросы на кредит 5% платёжеспособных клиентов. Найти вероятность того, что очередной клиент, которому отказано в выдаче кредита действительно является неплатёжеспособным. 4. Решить задачу с использованием формулы Бернулли. В агентстве по продаже железнодорожных билетов 5 касс. Вероятность того, что в данный момент времени у произвольной кассы образовалась очередь равна 0,9. Найти вероятность того, что при появлении очередного покупателя в кассовом зале не будет свободных касс. 5. Решить задачу с использованием формул Пуассона или Муавра-Лапласа. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 опытах. 6. Распределения дискретных случайных величин. Для дискретной случайной величины X с заданным рядом распределения: а) найти вероятности 4 P X , 5 P X , 3 8 P X ; б) построить график функции распределения случайной величины X ; в) составить ряд распределения случайной величины 2 Y X ; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y X –2 2 5 6 8 9 p 0,2 0,2 0,3 0,1 0,1 0,1 7. Распределения непрерывных случайных величин. Плотность распределения имеет вид: sin , [0, ]; 0, [0, ]. A x x f x x Найти , , , , 2 A M X D X F x P X Индивидуальные семестровые задания «Теория вероятностей» Вариант 7 1. Решить задачу с использованием классической формулы подсчета вероятностей. «Секретный» замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделён на 5 секторов с различными на них цифрами. Замок открывается в том случае, если диски установлены так, что цифры дисков образуют определённое четырёхзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок модно будет открыть. 2. Решить задачу с использованием теорем сложения и умножения. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 2-х независимых выстрелах равна 0,75. Найти вероятность двух попаданий при двух выстрелах. 3. Решить задачу с использованием формулы полной вероятности. В цехе три группы станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество выпускаемой на них продукции разное. Известно, что станки первой группы дают 4% брака, второй – 5%, третьей – 2%. Все произведенные детали в нерассортированном виде поступают на склад. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной, если станков первой группы 5, второй – 3, третьей – 2. 4. Решить задачу с использованием формулы Бернулли. По статистике каждый пятый клиент банка приходит в банк брать проценты с вклада. В данный момент времени ожидают своей очереди обслуживания 8 человек. Какова вероятность того, что из них будут брать проценты: а) хотя бы один человек; б) ровно половина стоящих в очереди. 5. Решить задачу с использованием формул Пуассона или Муавра-Лапласа. Имеем 2000 элементов. Вероятность отказа любого элемента за сутки 0,001. Найти среднее число отказавших за сутки элементов и вероятность того, что все элементы целы. 6. Распределения дискретных случайных величин. Для дискретной случайной величины X с заданным рядом распределения: а) найти вероятности 1 P X , 4 P X , 2 7 P X ; б) построить график функции распределения случайной величины X ; в) составить ряд распределения случайной величины 3 4 Y X ; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y X –3 1 2 3 7 8 p 0,1 0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 7. Распределения непрерывных случайных величин. Функция распределения непрерывной случайной величины задается формулой 2 0, 0; , [0;1]; 1, 1. x F x Ax B x x Найти , , , , , 4 4 A B M X D X f x P X |