выш мат. Алексеев-В.В.-Алгебра-логики. Инистерство образования и науки российской федерации
 Скачать 6.59 Mb.
|
|
Возможно два варианта представления логических переменных с помощью двух уровней напряжения. В первом варианте за 1 принимается высокий уровень напряжения, обозначаемый латинской буквой H (от англ. high). Во втором варианте логическая единица отображается низким уровнем напряжения - L (от англ. low). Первый вариант называют соглашением положительной логики (U0 < U1), второй - соглашением отрицательной логики (U0 > U1). Изменение способа представления переменных ведет к изменению логической функции, выполняемой данным элементом (принцип двойственности). Например, пусть имеется элемент, функционирующий следующим образом:
где Х1 и Х2 - входные сигналы, Y - выходной сигнал Приняв положение положительной и отрицательной логики, соответственно получаем: Положительная логика: L=”0”, H=”1”.
Согласно определению, видно, что в данном случае элемент выполняет операцию И Отрицательная логика: L=”1”, H=”0”.
В этом случае элемент, как видно, выполняет операцию ИЛИ. Т.е. для операции И в положительной логике имеем Y=Х1Х2. Инвертируя все переменные получаем : Преобразуя это выражение по правилу де Моргана имеем: Y=Х1vХ2, т.е. для отрицательной логики этот элемент выполняет операцию ИЛИ. Правило соответствия для основных операций и соглашений положительной и отрицательной логики имеет вид: ИИЛИ; И-НЕИЛИ-НЕ; М2М2. При разработке логических комбинационных схем возникает проблема простейшего представления соответствующих им логических функций, которая сводится к проблеме выбора базиса и проблеме более экономного представления функции в этом базисе. В настоящее время существенные результаты в решении задач минимизации получены лишь для базиса, состоящего из отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Минимизация логических функций в зависимости от их сложности и формы представления может производиться различными методами, например, непосредственно с использованием теорем и свойств АЛ, с помощью карт Карно, методом неопределенных коэффициентов, методом Квайна – Мак-Класски, и т.д. В интегральной схемотехнике наиболее применяются элементы и устройства реализуемые в базисе И-НЕ или в базисе ИЛИ-НЕ, которые представляют, как уже отмечалось, функционально полный базис, т.е. позволяют реализовать любую логическую функцию: Рис.3.1 Реализация элементов основного базиса на элементах И-НЕ а) инвертор б) дизъюнкция в) конъюнкция Действительно, в базисе И-НЕ имеем: а) , т.е. инвертор реализуется элементом И-НЕ с запараллеленными входами (рис.3.1 а); б) , т.е. дизъюнктор реализуется тремя элементами И-НЕ (рис.3.1 б); в) , т.е. конъюнктор реализуется двумя элементами Шеффера (рис.3.1 в). В базисе ИЛИ-НЕ: а) , т.е. инвертор реализуется элементом ИЛИ-НЕ с запараллеленными входами ( рис. 3.2 а); б) , т.е. дизъюнктор реализуется двумя элементами ИЛИ-НЕ ( рис. 3.2 в); в) т.е. конъюнктор реализуется тремя элементами ИЛИ-НЕ ( рис. 3.2 б); Рис.3.2 Реализация элементов основного базиса на элементах ИЛИ-НЕ а) инвертор б) конъюнктор в) дизъюнктор Таким образом, все основные операции (НЕ, И, ИЛИ) могут быть реализованы на элементах любого из рассмотренных базисов. Рассмотрим пример схемной реализации логической функции, заданной табличным методом:
В СНДФ функция будет иметь вид: Минимизируем данную функцию с помощью карты Карно: получаем: Реализуем данную функцию в базисе И-НЕ: Из последнего выражения видно, что для реализации данной функции необходимо иметь 3 элемента типа 3И-НЕ, 1 элемент типа 2И-НЕ, 1 элемент типа 4И-НЕ и 3 элемента типа НЕ. Рис.3.3 На рисунке 3.3 приведена соответствующая логическая схема, реализующая заданную функцию в базисе элементов И-НЕ. Аналогично можно данную функцию реализовать и в других элементных базисах. 3.2 Триггеры Еще одним важнейшим элементом цифровых устройств, являющимся основополагающим, так сказать – «атомарным», является триггер. Триггер - функциональное устройство с двумя устойчивыми состояниями выхода, содержащее элементарную запоминающую ячейку и схему управления, преобразующую поступающую информацию в комбинацию сигналов, действующих непосредственно на входы элементарной запоминающей ячейки. Применение триггеров: счетчики, делители частоты, пересчетные устройства, регистры, накапливающие сумматоры, устройства управления, формирователи импульсов и т.д., т.е. триггер является фундаментальным элементом средств цифровой техники. Другими словами-триггер является простейшим, элементарным цифровым автоматом, обладающий памятью и служащий для хранения одного бита информации. Триггер, как конечный автомат характеризуется следующими свойствами: Возможное число внутренних состояний - два, это логические “0” и “1”, что соответствует одной внутренней переменной Z, обозначаемой для триггеров обычно буквой Q. Число выходных переменных y - одно; значение переменной y совпадает со значением Q, т.е. , поэтому триггер является автоматом Мура. Число переменных x зависит от типа триггера. Наряду с выходом Q, называемым прямым, триггер имеет, как правило, другой (инверсный) выход . Обобщенная схема триггера Обобщенная схема триггерного устройства (собственно триггера) чаще всего представляется в виде, показанном на рисунке 3.4, где -информационные входы, - входы синхронизации, - управляющие входы, - установочные входы, - информационные входы, - прямой и инверсный выходы соответственно. Рис. 3.4. Обобщенная схема триггера Коммутационные входы используются для внешних соединений в универсальных триггерах. В реальных схемах триггеров некоторые входные сигналы и связи могут отсутствовать. Функциональное обозначение и правила их изображений в технической документации определяются ГОСТом 2.743-82. Для информационных входов приняты следующие обозначения: S (Set-установка) -вход для раздельной установки триггера в состояние “1” (, ); R (Reset-сброс) -вход для раздельной установки триггера в состояние “0” (, ); T (Toggle-релаксатор) - счетный вход; J (Jerk-внезапное включение) - вход для раздельной установки триггера в состояние “1” в универсальном JK-триггере; K (Kill-внезапное отключение) - вход для раздельной установки триггера в состояние “0” в универсальном JK-триггере; D (Delay-задержка, или Drive-передача) - информационный вход для установки триггера в состояние “1”или “0”; V (Valve-клапан, вентиль) - управляющий вход для разрешения приема информации или тактовых сигналов; C (Clock-источник сигналов синхронизации) - тактовый вход. Классификация триггеров По способу организации логических связей или по функциональному признаку классификация триггеров может быть представлена следующим рисунком: (рис. 3.5). Рис. 3.5 Классификация триггеров по функциональному признаку По способу записи информации классификацию триггеров можно представить как: Рис. 3.6. Классификация триггеров по способу записи информации В синхронных триггерах со статическим управлением записью тактовый импульс начинает оказывать влияние только тогда, когда его уровень возрастает до “1” или уменьшается до “0” в зависимости от элементной базы. Триггеры, состояние которых изменяется в интервале действия уровней “1” или “0” ТИ (тактового импульса) называются триггерами, срабатывающими по уровню, а триггеры, состояние которых изменяется по окончании действия уровней “1” или “0” ТИ, называются триггерами с внутренней задержкой. В синхронных триггерах с динамическим управлением записью информация поступает в момент изменения амплитуды ТИ в определенном направлении, т.е. при или . По количеству информационных входов триггера классифицируются на одновходовые, двухвходовые и многовходовые. Не следует путать количество информационных входов с количеством фактических входов, на которые поступают информационные сигналы, т.к. реально действующий информационный вход в структуре триггера может быть конъюнкцией (), дизъюнкцией (V) или какой-либо функцией нескольких логических переменных, действующих на информационных входах. Например, для JK триггеров имеет место: ; . По количеству тактовых входов триггеры классифицируют: одно, двух и многовходовые. Иногда к двухтактным триггерам относят двухступенчатые триггеры (MS-схемы), однако основное назначение последних - получение эффекта временной задержки информационных сигналов в триггере. По виду выходных сигналов триггера классифицируются на статические и динамические. Для первых - значения выходных сигналов не изменяются во времени, т.е. , а для вторых - значения выходных сигналов изменяются во времени. По способу запоминания информации триггеры могут быть с логической и физической организацией памяти. Первые выполняются на логических элементах И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ, И-ИЛИ-НЕ, а во вторых запоминание информации осуществляется изменением каких - либо свойств элемента, Например, триггера на ферритовых элементах и т.п. По способу хранения информации различают триггеры с активным хранением информации, когда выходной сигнал действует постоянно, и с пассивным хранением информации, когда выходной сигнал может быть получен только с помощью специального опросного сигнала. Параметры триггеров К параметрам триггера необходимо отнести собственно и параметры логических элементов, на которых выполнен триггер, а именно: - коэффициент объединения по входу; - коэффициент объединения по выходу; - уровни логического нуля и единицы; - входные и выходные токи и т.п.. Основными параметрами триггера являются: - разрешающее время триггера - наименьший интервал времени между входными сигналами минимальной длительности, вызывающими бесперебойное переключение триггера. - максимальная частота переключения. Поскольку выходные сигналы триггера при воздействии входных сигналов с частотой имеют длительность , то учитывая длительность фронтов нарастания и спада, можно сделать вывод, что эти выходные сигналы являются недостаточными для надежной передачи информации в логические цепи, т.к. уровни ”1” и ”0” в этом случае не будет фиксироваться. Для обеспечения их фиксирования принято уменьшать частоту 1.5 раза и считать ее рабочей, т.е. . Параметр указывается в паспорте или технических характеристиках на соответствующий триггер. - минимальная длительность входного сигнала, которая определяется как:, где n-количество элементов в цепочке от входа информационного или тактового сигнала до входа элемента, на котором замыкается триггерное кольцо обратной связи. - время задержки переключения триггера: , где l - количество элементов в цепочке от входа информационного или тактового сигнала до выхода элемента, на котором подтверждается состояние триггера. Из определения и следует: l=k+1. Совокупность параметров , , определяет быстродействие триггеров и в конечном счете - быстродействие цифровых устройств, построенных на их основе. Триггер как элементарный последовательстный автомат Итак, триггеры представляют собой элементарные последовательностные автоматы и характеризуются: числом информационных входов не более трех; (большинство реализованных схем триггеров имеет не более двух входов.) числом внутренних состояний равное двум, чему соответствует одна внутренняя переменная Q; числом выходных переменных y не более одной, причем y совпадает с Q. Наряду со значением Q в триггере имеется инверсная переменная ; функцией переходов или связи внутренних переменных для момента времени t со значениями входных и выходных переменных для момента времени t+1, называемых характеристическими уравнениями , являющимися полными, т.е. триггеры обладают полной системой переходов. Значения , - это значения переменных до перехода информационного или тактового сигнала, а - после прихода информационного или тактового импульса. Триггер может иметь пять логических состояний на выходе: . Число теоретически возможных типов триггеров с n информационными входами равно . 5 - количество возможных состояний на выходе, - количество наборов по входным переменным. При n=1 имеем 25, а при n=2 - 625 типов триггеров, однако часть из них тривиальна, бессмысленна, или триггеры дуальны. Технически реализуемых триггеров с одним информационным входом только два, с двумя информационными входами - 24. Наиболее распространены двухвходовые триггеры, из которых синтезировано только восемь типов и среди которых три - универсальные. Правила функционирования триггеров могут быть заданы: словесным описанием; в виде таблицы переходов триггере; в виде характеристических уравнений ; в виде графа; в форме микропрограммного автомата. |