интеграл+лебега. Интеграл Лебега

• Название: Интеграл Лебега
• Дата: 09.10.2021
• Размер: 1.07 Mb.
• Имя файла: интеграл+лебега.doc
• Тип: Курсовая; #244133
• страница: 1 из 4

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА


Курсовая работа на тему:
«Интеграл Лебега»

Выполнила: студентка 3мфА

Сенченко Ю. В.

Проверила: Панфилова Т. Л.

Вологда

2000

Содержание.
1. Введение.

1.1.Простые функции.

1.2.ИнтегралЛебега от простых функций.
2. Определение интнгралаЛебега.
3. Основные свойства интеграла.
4. Предельный переход под знаком интеграла.
5. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
6. Примеры.
7. Литература.

1. Введение

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на аб­страктном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие интеграла, вве­денное Лебегом.

Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в отличие от интеграла Римана, точки х группируют­ся не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Это сразу же позволяет рас­пространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций.

Кроме того, интеграл Лебега определяется совершенно оди­наково для функций, заданных на любых пространствах с ме­рой, в то время как интеграл Римана вводится сначала для функций одного переменного, а затем уже с соответствующими изменениями переносится на случай нескольких переменных. Для функций же на абстрактных пространствах с мерой инте­грал Римана вообще не имеет смысла.

Всюду, где не оговорено противное, будет рассматриваться некоторая полная -аддитивная мера , определенная на -алгебре множеств с единицей X. Все рассматриваемые множества А  Х будут предполагаться измеримыми, а функции f(x) - определенными для x Х и измеримыми.

1.1. Простые функции.

Определение 1. Функция f(x), определенная на некото­ром пространстве Х с заданной на нем мерой, называется про­стой, если она измерима и принимает не более, чем счетное число значений.

Структура простых функций характеризуется следующей теоремой.

Теорема 1. Функция f(x), принимающая не более чем счет­ное число различных значений

y₁, y₂, … , y_n, … ,

измерима в том и только том случае, если все множества

A_n={x : (x)=y_n}

измеримы.

Доказательство. Необходимость условия ясна, так как каждое A_n есть прообраз одноточечного множества {y_n}, а вся­кое одноточечное множество является борелевским. Достаточ­ность следует из того, что в условиях теоремы прообраз f^-1(B) любого борелевского множества есть объединение не более чем счетного числа измеримых множеств A_n, т. е. измерим.

Использование простых функций в построении интеграла Ле­бега будет основано на следующей теореме.

Теорема 2. Для измеримости функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций.

Доказательство. Для доказательства необходимости рас­смотрим произвольную измеримую функцию f(x) и положим f_n(х)=m/п, если т/п f(x)(m+1)/n (здесь т - целые, а п - целые положительные). Ясно, что функции f_n(x) простые; при п они равномерно сходятся к f(x), так как f(x)- f_n(x)1/n.

1.2.Интеграл Лебега для простых функций.

Мы введем поня­тие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше простыми, т. е. для измеримых функций, принимающих конечное или счетное число значений.

Пусть f—некоторая простая функция, принимающая зна­чения

y₁, y₂, … , y_n, … ; y_i y_jпри i j,

и пусть А — некоторое измеримое подмножество X.

Естественно определить интеграл от функции f по множе­ству А равенством

= , где A_n={x: x A, f(x)=y_n}, (1) если ряд справа сходится. Мы приходим к следующему опре­делению (в котором по понятным причинам заранее постули­руется абсолютная сходимость ряда).

Определение 2. Простая функция f называется интегри­руемой или суммируемой (по мере ) на множестве A, если ряд (1) абсолютно сходится. Если f интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от f по множеству А.

В этом определении предполагается, что все у_n различны. Можно, однако, представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида c_k(B_k) и не предпо­лагая, что все c_k различны. Это позволяет сделать следующая лемма.

Лемма. Пусть А= , B_i B_j= при i j и пусть на каждом множестве B_k функция f принимает только одно значе­ние c_k; тогда

= , (2) причем функция f интегрируема на А в том и только том слу­чае, когда ряд (2) абсолютно сходится.

Доказательство. Легко видеть, что каждое множество

А_n={х: хА, f(x)=y_n}

является объединением тех B_k, для которых с_k=y_n. Поэтому

= = .

Так как мера неотрицательна, то

= = ,

т. е. ряды и абсолютно сходятся или расходятся одновременно. Лемма доказана.

Установим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций

A) = + ,

причем из существования интегралов в правой части равенства следует существование интеграла в левой.

Для доказательства предположим, что f принимает значения f_i на множествах F_iA, a g — значения g_j на множествах G_j  A, так что

J₁= = , (3)

J₂= = . (4)

Тогда в силу леммы

J= = ; (5)

так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная сходимость ряда (5); при этом

J=J₁+J₂.

Б) Для любого постоянного k

=k ,

причем из существования интеграла в правой части следует су­ществование интеграла в левой части. (Проверяется непосред­ственно.)

В) Ограниченная на множестве А простая функция f инте­грируема на А, причем, если f(x)M на A, то

  M_(A).

(Проверяется непосредственно.)
2. Определение интеграла Лебега

Классическое определение интеграла, данное О. Коши и разви­тое Б. Риманом, состоит, как известно, в следующем: рассматри­вается конечная функция f(x), заданная на сегменте [a, b]; этот сегмент разбивается на части точками

x₀ = a  x₁  x₂  x_n = b

в каждой части [x_k, x_k+1] выбирается точка _k и составляется риманова сумма

 = .

Если сумма  при стремлении к нулю числа

 = max(x_k+1 – x_k).

стремится к конечному пределу I, не зависящему ни от способа дробления [a, b], ни от выбора точек _k, то этот предел I назы­вается интегралом Римана функции f(x) и обозначается символом

.

Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о римановом интеграле, пишут

(R) .

Функции, для которых интеграл Римана существует, называются интегрируемыми в смысле Римана или, короче, интегрируемыми (R). Для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо, чтобы она была ограниченной.

Еще Коши установил, что всякая непрерывная функция интегри­руема (R). Существуют также и разрывные функции, интегрируе­мые (R). В частности, такова любая разрывная монотонная функция.

Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не будет интегрируемой (R). Рассмотрим, например, функцию Ди­рихле , которая определяется на сегменте [0, 1] следующим образом

1, если x рационально,

(x) =

0, если x иррационально.
Легко видеть, что эта функция не интегрируема (R), ибо сумма  обращается в 0, если все точки  иррациональны и  = 1, если все рациональны.

Таким образом, риманово определение интеграла страдает суще­ственными недостатками - даже очень простые функции оказываются неинтегрируемыми.

Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства.

Дело заключается в следующем: при составлении сумм Римана , мы дробим сегмент [a, b] на мелкие части [x₀, x₁], [x₁, x₂],  ,[x_n-1, x_n] (назовем их через e₀, e₁,  , e_n-1), в каждой части e_kберем точку _kи, составив сумму

 = ,

требуем, чтобы она имела предел, не зависящий от выбора точек _k в множествах е_k. Иначе говоря, каждая точка х из множества е_kможет быть взята за _k, а варьирование этой точки не должно заметно влиять на значение суммы . А это возможно лишь в том случае, когда варьирование точки _k мало изменяет величину f(_k). Но что же объединяет между собой различные точки х множества e_k? Их объединяет то, что они близки друг другу, ибо е_k есть малый сегмент [x_k, x_k+1].

Если функция f(x) непрерывна, то достаточная близость абсцисс х влечет за собой и близость соответствующих значений функции и мы вправе ждать, что изменение точки _k в пределах множества e_k мало влияет на величину суммы , но для функция разрывной это вовсе не так.

Иначе можно сказать, что множества e_k составлены так, что только для непрерывных функций значение f(_k) можно считать нор­мальным представителем других значений функции на e_k.

Таким образом, самое определение риманова интеграла можно считать вполне оправданным лишь для функций непрерывных, для прочих же функций оно выглядит довольно случайным. Ниже мы убедимся, что для интегрируемости (R) необходимо, чтобы рас­сматриваемая функция не была «слишком разрывной».

Желая обобщить понятие интеграла на более широкие классы функций, Лебег предложил другой процесс интегрирования, в котором точки xобъединяются в множества e_kне по случайному признаку своей близости на оси Ох, а по признаку достаточной близости соответствующих значений функции. С этой целью Лебег разбивает на части не сегмент [a, b], расположенный на оси абсцисс, а сег­мент [А, В], лежащий на оси ординат и включающий все значения функции f(x):

A = y_o  y₁  y_n = B

Если составить множества e_kтак:

e_k = E(y_k  f  y_k+1),

то ясно, что различный точкам х  е_kи в самом деле отвечают близкие значения функции, хотя, в отличие от римановского процесса, сами точки x могут быть весьма далеки друг от друга.

В частности, хорошим представителем значений функции на мно­жестве e_kможет служить, например, y_k, так что естественно поло­жить в основу понятия интеграла сумму

.

Перейдем теперь к точному изложению вопроса.

Пусть на измеримом множестве E задана измеримая ограниченная функция f(x), причем

A(1)

Разобьем сегмент [А, В] на части точками

y_o = A  y₁  y₂  y_n = B

и соотнесем каждому полусегменту [у_k, у_k+1) множество

e_k = E(y_k  f  y_k+1)

Легко проверить четыре свойства множеств e_k:

1) Множества e_kпопарно не пересекаются: e_ke_k = 0 (kk').

2) Эти множества измеримы.

3) E =

4) тЕ =

Введем теперь нижнюю и верхнюю суммы Лебега sи S:
S = S =
Если мы положим

 = max (y_k+1 – y_k),

то будем иметь

0 S – smE. (2)

Основное свойство сумм Лебега выражает

Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента [А, В] отвечают суммы Лебега s₀ и S₀. Если ми добавим новую точку дробления и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется

s₀ s, S  S₀.

Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Доказательство. Допустим, что

y_i y_i+1. (3)

Тогда при kiполусегменты [y_k, у_k+1), а с ними и множества e_k, фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент же [y_i, y_i+1) при переходе к новому способу заменяется двумя полусегментами

[y_i, ), [ , y_i+1),

в связи с чем и множество e_i разбивается на два множества

= E(y_i f  ), = E(  f  y_i+1).

Очевидно, что

e_i = + , = 0,

так что

me_i = m + m . (4)

Из сказанного ясно, что сумма s получается из суммы s₀заменой слагаемого y_ime_i двумя слагаемымиy_im + m , откуда, в связи с (3) и с (4), и следует, что ss₀.

Для верхних сумм рассуждение аналогично.

Следствие. Ни одна нижняя сумма s не больше ни одной верхней суммы S.

Доказательство. Рассмотрим два каких-нибудь способа дробления I и II, сегмента [А, В]. Пусть этим способам отвечают соответственно нижние суммы s₁ и s₂ и верхние суммы S₁ и S₂.

Составим третий способ дробления [А, В] - способ III, в котором точками деления служат точки деления обоих способов I и II. Если способу III отвечают суммы s₃иS₃, то, в силу леммы, s₁s₃, S₃S₂, откуда, в связи с тем, что s₃S₃, ясно, что s₁S₂, а это и тре­бовалось доказать.

Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S₀. Так как для всякой нижней суммы sбудет sS₀, то множество {s} всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченный сверху. Пусть Uесть его точная верхняя граница U = sup{s}.

Тогда, ясно, что

US₀.

Ввиду произвольности суммы S₀, последнее неравенство доказы­вает, что множество {S} всех верхних сумм Лебега ограничено снизу. Назовем через Vего точную нижнюю границу

V = inf{S}.

Очевидно, при любом способе дробления будет

S  U  V  S.

Но, как мы отмечали, S – smE, откуда

0 V – UmE

и, так как произвольно мало, то

U = V.

Определение. Общее значение чисел Uи Vназывается инте­гралом Лебега функции f(x) по множеству Е и обозначается символом

(L)

В тех случаях, когда смешение с другими видами интеграла исключено, пишут просто



В частности, если Е есть сегмент [а, b], употребляют символы

(L)

Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограни­ченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче, инте­грируема (L). Уже из этого замечания видно, что процесс интегри­рования (L) приложим к гораздо более широкому классу функций, чем процесс интегрирования (R). В частности, совершенно отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости, которые для интегралов (R) имеют сравнительно сложный характер.

Теорема 1. Если  0, то суммы Лебега s и S стремятся

к интегралу

Теорема непосредственно вытекает из неравенств

S   S, S – s  mE.

Из этой теоремы, между прочим, следует, что значение инте­грала Лебега, которое в силу самого определения его связано с числами А и В, насамом деле от них не зависит.

Действительно, допустим, что

A < f(x) < В, A < f(x) <B*,

причем В* < В. Раздробим сегмент [А, В] на части

A = у₀ < у₁ <  < y_n= В,

причем включим и точку В* в число точек деления В* = у_т.

Если мы составим множества e_k, то легко убедиться, что

e_k = 0 (k  m).

Значит,

s = = = s*,

где s* есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из сег­мента [А, В*]. Сгущая точки дробления и переходя к пределу, най­дем, что

I = I*,

где I и I* суть значения интегралов Лебега, отвечающие сегмен­там [А, В] и [А, В*]. Таким образом, изменение числа В не отра­жается на величине интеграла. То же относится и к числу А. Этот факт весьма существенен, ибо только теперь определение интеграла оказывается освобожденным от случайного характера выбора то­чек А и В.