интеграл+лебега. Интеграл Лебега
 Скачать 1.07 Mb.
|
|
3. Основные свойства интеграла В этом параграфе мы установим ряд свойств интеграла от ограниченной измеримой функции. Теорема 1. Если измеримая функция f(x) на измеримом множестве Е удовлетворяет неравенствам af(x) b, то a mE  b mE.Это теорема обычно называется теоремой о среднем. Доказательство. Пусть n натуральное число. Если мы положим A = a -  , B = b + ,то окажется, что Af(x) B, и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент [А, В]. Но еслиAykB, то, очевидно, A   B или, что то же самое, A mE s B mE, откуда и в пределе  mE  mE.В силу произвольности числа n, теорема доказана. Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий. Следствие 1. Если функция f(x) постоянна на измеримом множестве Е и f(x) = с, то = cmE.Следствие 2. Если функция f(x) не отрицательна (не положительна), то таков же и ее интеграл. Следствие 3. Если тЕ = 0, то для любой ограниченной функции f(x), заданной на множестве Е, будет = 0.Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств E =  (Ek = 0, k k’),то = Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью. Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум Е =  +  ( = 0).Если на множестве Е A < f(x) < B и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у0, y1, , уn, составим множества ek = E(yk f yk+1), ek’= E’(yk f yk+1), ek’’= E’’(yk f yk+1), то, очевидно, будем иметь ek = ek’ + ek’’ (ek’ek’’ = 0), откуда = +  н в пределе, при 0,  =  +  Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств. Остается рассмотреть случай, когда E =  .В этом случае  = mE,так что при nбудет  0. (*) Заметив это, положим  = Rn.Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже доказана, то  =  +  .В силу теоремы о среднем A mRn  B mRn,а в силу (*) мера mRn множества Rn стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что 0.Но это и означает, что = Из этой теоремы вытекает ряд следствий. Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f(x) и g(x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то = .Действительно, если А = Е(fg), B = E(f = g), то mA = 0 и  =  = 0.На множестве же В обе функции тождественны и  =  .Остается сложить это равенство с предыдущим. В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю. Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо. Например, если f(x) задана на сегменте [-1, +1], так:  1 при x 0, f(x) = -1 при x 0, то  = + = -1 + 1 = 0,хотя функция f(x) и не эквивалентна нулю. Однако справедливо Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной измеримой ограниченной функции f(x) равен нулю (f(x) 0),то эта функция эквивалентна нулю. В самом деле, легко видеть, что E(f0) =  .Если бы f(x) не была эквивалентна нулю, то необходимо нашлось бы такое n0, что mE  = 0.Полагая A = E , B = B - A,мы имели бы, что   ,  0,и, складывая эти неравенства, мы получили бы ,что противоречит условию. Теорема 3. Если на измеримом множестве Q заданы две измеримые ограниченные функции f(x) и F(x), то  =  +  .Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f(x) и с есть конечная постоянная, то  = c .Следствие. Если f(x) и F(х) измеримы и ограничены на множестве Е, то  =  - .Теорема 5. Пусть f(x) и F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если f(x) F(x), то .Действительно, функция F(x)—f(x) не отрицательна, так что  - =  0.Теорема 6. Если функция f(x) измерима и ограничена на измеримом множестве E, то   4. Предельный переход под знаком интеграла Здесь мы рассмотрим следующий вопрос: пусть на измеримом множестве E задана последовательность измеримых ограниченных функций f1(x), f2(x), f3(x), , fn(x), которая в каком-нибудь смысле (везде, почти везде, по мере) сходится к измеримой ограниченной функции F(x). Спрашивается, будет ли справедливо соотношение   =  (1)Если (1) верно, то говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла. Легко видеть, что, вообще говоря, это не так. Например, если функции fn(x) определены в сегменте [0, 1] следующим образом:  n при x  , fn(x) = 0 при x  ,то при всяком x [0, 1] будет fn(x) = 0, но  = 1,и этот интеграл не стремится к нулю. Поэтому естественно поставить вопрос о тех дополнительных ограничениях, которые нужно наложить на функцию fn(x), чтобы равенство (1) все же имело место. Мы ограничимся доказательством следующей теоремы. Теорема (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность f1(x), f2(x), f3(x), измеримых ограниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой ограниченной функции F(х) fn(x) F(x). Если существует постоянная К, такая, что при всех п и лри всех х  K,то = (1) |