Доказательство. Прежде всего заметим, что почти для всех х Е будет
 K. (2)
В самом деле, из последовательности {fn(x)} можно (на основании теоремы Рисса) извлечь частичную последовательность { (x)}, которая сходится к F(x) почти везде. Во всех точках, где
(x) F(x),
можно перейти к пределу в неравенстве  K, что и приводит к (2).
Пусть теперь есть положительное число. Положим,
An() = E( )), Bn() = E( ).
Тогда
  =  +  .
В силу неравенства   + , почти для всех х из множества An() будет
2K,
так что по теореме о среднем
2KmAn() (3)
(то обстоятельство, что неравенство < 2К может не выполняться на множестве меры 0, несущественно. Можно, например, функцию на этом множестве изменить, сделав ее равной нулю; тогда неравенство (3) будет выполняться во всех точках А. Но так как изменение функции на множестве меры 0 не влияет на величину интеграла, то (3) верно и без такого изменения).
С другой стороны, опять-таки в силу теоремы о среднем,
mBn() mE.
Сопоставляя это с (3), находим, что
2K mAn() + mE. (4)
Заметив это, возьмем произвольное > 0 и найдем столь малое > 0, что
mE  .
Фиксировав это , мы, на основании самого определения сходимости по мере, будем иметь, что при n
mAn() 0
и, стало быть, для n > N окажется
2KmAn() .
Для этих nнеравенство (4) примет вид
,
что и доказывает теорему.
Легко понять, что теорема остается верной и в том случае, когда неравенство
K
выполняется только почти везде на множестве Е. Доказательство остается прежним.
Далее, поскольку сходимость по мере общее обычной сходимости, то теорема и подавно сохраняет силу для того случая, когда
fn(x) F(x)
почти везде (и тем более везде).
5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
Пусть на сегменте [а, b] задана (не обязательно конечная) функция f(х). Пусть
x0 [a, b] и > 0. Обозначим через m(x0) и М(х0) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функции f(x) наинтервале (х0 - , x0 + )
m(x0) = inf{f(x)}, M(x0) = sup{f(x)} (х0 - x x0 + ).
(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала
(х0 - , x0 + ), которые лежат также и на сегменте [а, b].)
Очевидно,
m(x0) f(x0) M(x0).
Если уменьшается, то m(x0) не убывает, a M(x0) не возрастает. Поэтому существуют определенные пределы
m(x0) =  m(x0), M(x0) = M(x0),
причем, очевидно,
m(x0) m(x0) f(x0) M(x0) M(x0).
Определение. Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f(x).
Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х0. Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было
m(x0) = M(x0). (*)
Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в точке x0. Взяв произвольное > 0, найдем такое > 0, что как только
 ,
так сейчас же
 .
Иначе говоря, для всех х (х0 - , x0 + ) будет
f(x0) - f(x) f(x0) + .
Но отсюда следует, что
f(x0) - m(x0) M(x0) f(x0) + ,
а стало быть, и тем более
f(x0) - m(x0) M(x0) f(x0) + ,
откуда, ввиду произвольности , и вытекает (*). Итак, необходимость условия (*) доказана.
Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда, очевидно,
m(x0) = M(x0) = f(x0)
и общее значение функций Бэра в точке x0 конечно.
Возьмем произвольное > 0 и найдем столь малое > 0, что
m(x0) - m(x0) m(x0), M(x0) M(x0) M(x0) + .
Эти неравенства означают, что
f(x0) - m(x0), M(x0) f(x0) + .
Если теперь x (х0 - , x0 + ), то f(x) лежит между m(x0) и M(x0), так что
f(x0) - f(x) f(x0) + .
Иначе говоря, из того, что вытекает, что
,
т. е. функция f(x) непрерывна в точке х0.
Основная лемма. Рассмотрим последовательность дроблений сегмента [а, b]
a =    = b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a =    = b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
причем при i
i = max[ - ] 0.
Пусть  есть точная нижняя граница значений функции f(x) на сегменте
[ , ]. Введем функцию i(x), полагая
i(x) = при x ( , )
i(x) = 0 при x = , , , .
Если х0 не совпадает ни с одной точкой (I = 1, 2, 3, ; k = 0, 1, 2, , ni), то
 i(x0) = m(x0).
Доказательство. Фиксируем какое-нибудь iи назовем через [ ,  ] тот из сегментов i-го способа дробления, который содержит точку х0. Так как х0 не совпадает ни с одной из точек деления, то
x0
и, следовательно, при достаточно малых > 0 будет
(х0 - , x0 + ) [ , ],
откуда следует, что
 m(x0)
или, что то же самое, что
i(x0) m(x0).
Устремив к нулю и перейдя к пределу, находим, что при любом i
i(x0) m(x0).
Этим самым лемма уже доказана для случая т(х0) = . Пусть т(х0) и пусть
h m(x0).
Тогда найдется такое > 0, что m(x0) h.
Фиксировав это , найдем столь большое i0, что при ii0будет
[ , ] (х0 - , x0 + ),
где, как и выше, [ , ] есть сегмент, содержащий точку х0. Существование такого i0следует из условияi 0.
Для таких i будет
m(x0) h,
или, что то же самое,
i(x0) h.
Итак, для всякого hm(x0) найдется такое i0, что при ii0
h i(x0) m(x0),
а это и значит, что i(x0) m(x0). Лемма доказана.
Следствие 1. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.
В самом деле, множество точек деления { } счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что i(x) m(x) почти везде.
Но i(x) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит измерима я функция т(x). Для верхней функции Бэра М(х) рассуждение аналогично.
Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция f(x) ограничена, то
(L)  (L)  .
Действительно, если K, то, очевидно,
 K,  K,
откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы (L), после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что
(L) =  =  = si,
где siесть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Таким образом, следствие 2 означает, что при i
si (L) .
Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу Si при возрастании iстремится к интегралу от верхней функции Бэра
Si (L)  .
Но в таком случае
Si - si (L)  .
С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R), необходимо и достаточно, чтобы было Si – si 0.
Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы было
(L) = 0. (1)
Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) - т(х) эквивалентна нулю, но так как эта разность неотрицательна, то и обратно из (1) следует, что
т(х)
М(х). (2)
Итак, интегрируемость (R) ограниченной функции f(x) равносильна соотношению (2).
Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему.
Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R),необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.
Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости (R). В частности, она оправдывает сделанное в пункте 2 замечание, что интегрируемыми (R) могут быть только «не очень разрывные» функции.
Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет
т(х) = М(х).
Но ведь
т(х) f(x) М(х).
Значит, почти везде
f(x) = m(x),
и f(x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема (L), то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.
Наконец, из эквивалентности функций f(x) и т(х) следует, что
(L)  = (L) .
Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой (R) функции f(x) будет
si (R) ,
где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-муспособу дробления. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами,
si (L) ,
мы видим, что
(R) = (L) .
Таким образом, имеет место
Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо интегрируема и (L), и оба ее интеграла равны между собой.
В заключение отметим, что функция Дирихле (x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема (R), так что теорема 3 не обратима.
|
Скачать 1.07 Mb.