Интеллектуальный анализ данных

• Название: Интеллектуальный анализ данных
• Дата: 11.10.2022
• Размер: 7.76 Mb.
• Имя файла: iad_iadl.pdf
• Тип: Учебное пособие; #726651
• страница: 7 из 23

3. Классификация динамических систем
Если ДС задана уравнением (2), то постулируется, что каждому x(t
0
) в фа- зовом пространстве ставится в соответствие состояние x(t), t> t
0
, куда за время t − t
0
переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением (2).
В операторной форме (2) можно записать в виде x(t) = T
t x(t
0
), где T
t
– закон (оператор) эволюции.
Если этот оператор применить к начальному состоянию x(t
0
), то получим x(t), то есть состояние в момент времени t> t
0
. Так как x(t
0
) и x(t) принадлежат од- ному и тому же фазовому пространству ДС, то математики говорят в данной си- туации: оператор T
t
отображает фазовое пространство системы на себя. В

50 соответствии с этим можно называть оператор T
t
оператором отображения или просто отображением.
ДС можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображе- ния и структуры фазового пространства.
Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: T[x(t) + y(t)] = Tx(t) + Ty(t).
Если оператор нелинейный, то и соответствующая ДС называется нели- нейной.
Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно систе- мы с непрерывным и дискретным временем. Системы, для которых отображение x(t) с помощью оператора T может быть определено для любых t > t
0
(непрерывно во времени), называют также потоками по аналогии со стационарным течением жидкости. Если оператор отображения определен на дискретном множестве зна- чений времени, то соответствующие ДС называют каскадами или системами с
дискретным временем.
Способы задания оператора отображения T также могут различаться. Опе- ратор T можно задать в виде дифференциального или интегрального преобразо- вания, в виде матрицы или таблицы, в виде графика или функции и т.д.
4. Колебательные системы и их свойства
Важную группу динамических систем представляют системы, в которых возможны колебания. Колебательные системы с точки зрения их математических моделей разделяют на определенные классы.
Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредото- ченные и распределенные, консервативные и диссипативные, автономные и не- автономные.
Особый класс представляют так называемые автоколебательные системы.
Основные свойства указанных систем подробно обсуждаются в работах по теории колебаний.
Колебательная система называется линейной или нелинейной в зависимо- сти от того, линейна или нелинейна описывающая ее система дифференциаль- ных уравнений. Линейные системы являются частным случаем нелинейных. Од- нако в силу принципиальной важности линейных систем при исследовании вопро- сов устойчивости колебаний, а также возможности использования принципа су- перпозиции решений такая классификация оправданна.
ДС, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они опи- сываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы.
Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться либо как сосредоточенная, либо как распределенная.
Математические модели распределенных систем – это дифференциальные
уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные
уравнения с запаздывающим аргументом.
Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения ее состояния.
По энергетическому признаку ДС делятся на консервативные и неконсер-
вативные. Консервативные системы характеризуются неизменным во времени запасом энергии. В механике их называют гамильтоновыми.

51
Для консервативных систем с n степенями свободы определяется гамиль- тониан системы H(p, q), где q i
– обобщенные координаты, p i
– обобщенные им- пульсы (mv) системы, i = 1, 2, …, n.
Гамильтониан полностью характеризует динамическую природу системы и с физической точки зрения в большинстве случаев представляет собой ее полную энергию. Эволюция во времени консервативных систем описывается уравнениями механики Гамильтона








( , )
( , )
,
i
i
i
i
H p q
H p q
q
p
p
q
ДС с изменяющимся во времени запасом энергии называются неконсерва-
тивными. Неконсервативные системы, в которых энергия уменьшается во време- ни из-за трения или рассеяния, называются диссипативными.
В соответствии с этим системы, энергия которых во времени нарастает, на- зываются системами с отрицательным трением или отрицательной диссипацией.
Такие системы можно рассматривать как диссипативные при смене направления отсчета времени на противоположное.
ДС называются автономными, если они не подвержены действию внешних сил, переменных во времени. Уравнения автономных систем явной зависимости от времени не содержат.
Большинство реальных колебательных систем в физике, радиофизике, биологии, химии и других областях знаний неконсервативны. Среди них выделя- ется особый класс автоколебательных систем, которые принципиально некон- сервативны и нелинейны.
Автоколебательной называют ДС, преобразующую энергию источника в энергию незатухающих колебаний, причем основные характеристики колебаний
(амплитуда, частота, форма колебаний и т.д.) определяются параметрами систе- мы и в определенных пределах не зависят от выбора исходного начального со- стояния.
5. Фазовые портреты типичных колебательных систем
Геометрическое представление колебаний. Метод анализа колебатель- ных процессов с помощью исследования фазовых траекторий ДС был введен в теорию колебаний Л.И. Мандельштамом и А.А. Андроновым и с тех пор стал при- вычным при исследовании различных колебательных явлений.
Обсудим несколько простых, но типичных примеров представления дина- мических процессов в виде траекторий изображающей точки в фазовом простран- стве.
Консервативный осциллятор. Рассмотрим линейный осциллятор без по- терь, уравнения которого можно сформулировать на примере колебательного LC- контура (рис. 1, а), предположив амплитуду колебаний достаточно малой. Выбрав в качестве переменной заряд q на конденсаторе, с помощью уравнений Кирхгофа получим




1
(
)
0
q
LC
q
Помножив обе части уравнения на 
Lq , получим
2 2
2 2
1 1
2 2
(
)
(
)
0 2
2
l
c
dq
dq
L dq
dq
Lq
q
dt
C
dt
dt
C dt
d Lq
q
d
E
E
dt
C
dt














52 то есть для любого момента времени выполняется равенство


l
c
E
E
const , от- ражающие постоянство во времени полной энергии осциллятора (суммы магнит- ной E
L и электрической E
C
энергий).
Введем замену времени  
t
LC
, dt
LCd

2 2
2 2
0 2
2 2
2
Lq
q
q
q
a
C
C
C






Или, обозначая для общности q через x:




2 2
2
,
x
x
a
a
const
Рис. 1. а – колебательный контур, моделируемый в задаче; б – фазовый портрет колебаний при заданном уровне энергии
Для фазовых координат



1 2
,
x
x
x
x эти уравнения преобразуются к виду

 




2 2
2 1
2 2
1,
1 2
,
x
x
x
x
x
x
a
Фазовый портрет системы представляет собой окружность радиуса a с цен- тром в начале координат. Точка в фазовом пространстве, в которой вектор фазо- вой скорости обращается в нуль, называется особой, и в данном случае нуль ко- ординат есть особая точка типа центр.
Наличие интеграла движения у рассматриваемой системы, отражающее факт сохранения энергии, дает возможность описать ее с помощью уравнения 1- го порядка. Действительно, определив новую переменную φ соотношениями




1 2
sin ,
cos
x
a
x
b
получим уравнения  



1,
0
a
которые и представляют закон движения фазовой точки. Во времени эволюционирует одна переменная φ, и фазовое пространство консервативного осциллятора, таким образом, одномерно.
Гармоническим колебаниям осциллятора отвечает равномерное движение изображающей точки по окружности радиуса a, как это показано на рис. 1б.
Если консервативная система нелинейна, то ее фазовый портрет услож- няется. Проиллюстрируем это на примере уравнения 

 sin
0
x
x
В фазовых переменных



1 2
,
x
x
x
x это уравнение сводится к следую- щим:
1 2
2
,
sin( )
x
x
x
x

 



53
Состояния равновесия нелинейного маятника на фазовой плоскости распо- ложены вдоль оси x
1
(x
2
= 0) в точках x
1
= 0, ±π, ±2π, …. Соответствующий фазо- вый портрет системы представлен на рис. 2.
Рис. 2. Фазовый портрет осциллятора
Видно, что особые точки x
1
= 0, ±2π, ±4π, … типа центр, а x
1
= ±π, ±3π, … – неустойчивые точки типа седло.
Вблизи центров фазовый портрет соответствует линейному осциллятору: траектории представляют собой замкнутые кривые, близкие к окружностям, что отвечает по амплитуде колебаниям, близким к гармоническим.
Через неустойчивые точки проходят особые интегральные кривые Γ
0
, назы- ваемые сепаратрисами. Они разделяют фазовое пространство на области с раз- личным поведением. С увеличением энергии маятника его колебания от квази- гармонических вблизи точек типа центр эволюционируют к нелинейным периоди- ческим колебаниям вблизи сепаратрис.
Дальнейшее увеличение энергии приведет к вращательному движению
(движение вне сепаратрис). Малейшие отклонения энергии в ту или иную сторону от энергии движения по сепаратрисе приводят к качественно различным типам движения: колебательному или вращательному.
Линейный осциллятор с затуханием. Диссипация энергии, обусловленная наличием потерь, оказывает принципиальное влияние на характер движения сис- темы. Наиболее простые закономерности проявляются в системах с полной дис- сипацией энергии, когда силы трения действуют по всем степеням свободы, а по- ступление энергии извне отсутствует.
Рассмотрим процессы в линейном диссипативном осцилляторе, когда сила трения пропорциональна скорости изменения координаты. Примером такой сис- темы служит колебательный контур, содержащий активное сопротивление R.
Уравнение контура





0
q
Lq
Rq
C
заменой переменных сводится к безразмерной форме










1 2
0,
2
,
L
x
x
x
R
C
LC
При δ = 0 имеем консервативный линейный осциллятор, рассмотренный выше. Введение малого трения качественно меняет фазовый портрет системы.
Для 0 < δ < 1 решением последнего уравнения (20) является

54










2
exp(
)cos(
),
1
x
A
t
где A и ψ – произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.
На фазовой плоскости для любых начальных данных имеют место скручи- вающиеся спирали, по которым фазовые точки асимптотически приближаются к началу координат, характеризуя затухающий колебательный процесс.
Нуль координат является особой точкой системы, которая в случае δ < 1 есть устойчивый фокус (рис. 3а).
Рис. 3. Фазовый портрет диссипативного осциллятора с параметром δ < 1 (а) и δ > 1
Если коэффициент трения δ>1, процесс в системе апериодический: x = A
1 exp(λ
1
τ) + A
2 exp(λ
2
τ), λ
1, 2
= [−δ ± (δ
2
− 1)
1/2
]/2 и фазовые траектории выглядят как семейство характерных кривых, по которым, как и в предыдущем случае, изображающие точки стремятся к нулю координат
(рис. 3б).
Особая точка в указанных условиях является устойчивым узлом.
Итак, при любых значениях физических параметров системы, когда δ > 0, диссипативный маятник характеризуется единственным глобально устойчивым состоянием равновесия в нуле фазовых координат. Независимо от выбора на- чальных условий наблюдается затухающее колебательное или апериодическое движение.
При

t
∞ любая изображающая точка стремится к началу координат либо в устойчивый фокус, либо в узел.
Описанное свойство является общим для динамических систем с полной
диссипацией энергии. Положения равновесия типа устойчивого фокуса или узла являются здесь глобально притягивающими в том смысле, что фазовые траекто- рии из любой точки фазового пространства асимптотически к ним стремятся.
Стационарные незатухающие колебания в линейных диссипативных систе- мах оказываются невозможными. С физической точки зрения это понятно – нет условий поддержания колебаний. Энергия, расходуемая на преодоление сил тре- ния, не восполняется.
6. Автоколебательные системы
Возможность существования периодического асимптотически устойчивого движения, изображаемого изолированной замкнутой траекторией в фазовом про- странстве, к которой со временем притягиваются траектории из некоторой окрест- ности независимо от начальных условий, обеспечивается только в нелинейных диссипативных системах. Этот тип динамических систем настолько важен при

55 изучении колебательных процессов, что для его выделения А.А. Андронов пред- ложил специальный термин – автоколебательные системы.
Математическим образом автоколебаний служит предельный цикл Пуанка-
ре – замкнутая изолированная траектория в фазовом пространстве, отвечающая периодическому движению.
В качестве примера ДС с предельным циклом Пуанкаре рассмотрим клас- сический нелинейный осциллятор Ван дер Поля, уравнение колебаний которого






2
(1
)
0
x
a
bx x
x
Параметр a, характеризующий подкачку энергии в систему от внешнего ис- точника, является существенным параметром осциллятора и называется пара-
метром возбуждения. Из сравнения уравнений Ван дер Поля и диссипативного осциллятора следует, что осциллятор Ван дер Поля описывает более сложный колебательный контур, характер диссипации в котором зависит от переменной x.
В фазовых координатах уравнение колебаний осциллятора Ван дер Поля представляется как






2 1
2 2
1 2
1
,
(1
)
x
x
x
a
bx x
x
, причем


2 1
(1
)
0
a
bx
Аналитически представленные уравнения не решаются, и исследования проводятся с использованием численных методов.
В практически важном случае (a>0, b>0) данные уравнения имеют единст- венное устойчивое решение в виде предельного цикла Γ, изображенного на рис.
4a.
Рис. 4. Предельный цикл системы; расчет для значений параметров a = 1, b = 0,3
(а).
Проекция двумерного тора на плоскость переменных x1, x2 ; численное интегри- рование уравнений для значений параметров a = 1, b = 0,3, B = 1,0, ϕ0 = 0 (б)

56
Положение в начале координат, в котором вблизи нуля можно пренебречь нелинейностью, является неустойчивым фокусом. Траектории из окрестности со- стояния равновесия асимптотически стремятся к предельному циклу. Как показы- вает анализ, предельный цикл является устойчивой изолированной структурой, притягивающей к себе траектории из любой точки на фазовой плоскости.
Таким образом, в динамических системах с нелинейной зависимостью дис- сипации энергии от переменной, совершающей колебания, впервые появляется принципиально новый тип устойчивого предельного множества фазовых траекто- рий – предельный цикл. На предельном цикле за время периода колебаний доли рассеиваемой и вносимой энергии строго компенсируются.
Наконец, рассмотрим еще один случай типичной структуры в фазовом про- странстве ДС, возникающей, например, при периодическом возмущении системы с устойчивым предельным циклом.
Добавим в уравнение Ван дер Поля источник гармонического действия сравнительно малой амплитуды B и частоты p, которую считаем рационально не связанной с частотой периодических колебаний автономного осциллятора:









2 0
(1
)
sin(
)
x
a
bx x
x
B
p
Периодическая модуляция предельного цикла автономной системы приво- дит к тому, что фазовая траектория с заданной частотой p вращается вокруг пре- дельного цикла и лежит на двумерной поверхности, представляющей собой по- верхность тора. Аналогично случаю предельного цикла эта поверхность будет ус- тойчивым предельным множеством, к которому стягиваются со временем все тра- ектории из некоторой окрестности тора (как изнутри него, так и снаружи). Нетруд- но представить себе, что минимальная размерность фазового пространства, в ко- торое можно вложить двумерный тор, равна трем.
На рис. 4б показана проекция на плоскость переменных x
1
, x
2
фазовой тра- ектории на двумерном торе, полученная численным интегрированием системы уравнений колебаний осциллятора Ван дер Поля.